М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 72

Тем самым автоматически запрещается существование двух фермионов в одном состоянии.Для фермионов также вводятся операторы рождения и уничтожения,но для этих операторов коммутационные соотношения заменяются на антикоммутационные, которые нами пока не обсуждаются.Рассмотрение кристаллической решётки очень похоже на рассмотрение поля, с той разницей, что значения поля задаются не во всех точках,а только в узлах решётки, а допустимые значения волнового вектора оказываются обрезаны сверху значениями порядка 2πa , где a — период решётки.386ГЛАВА 12За счёт этого число степеней свободы оказывается конечным, хотя и большим. Конечной оказывается и энергия нулевых колебаний.

Элементарныевозбуждения в этом случае считаются не частицами, а квазичастицами.Например, возбуждения (кванты) упругих (звуковых) колебаний решёткиназываются фононами. Квазичастицы описываются с помощью того же математического аппарата, что и настоящие частицы. Для них также можнописать энергию, импульс, число частиц, операторы рождения, уничтожения, распределения Бозе (для свободных бозонов) и Ферми (для свободныхфермионов) и пр.12.11.1. Классический предел (фф*)Для колебаний квантованных полей, как и для гармонического осциллятора, мы можем получить из соотношения неопределённостей энергия–время соотношение фаза–номер уровня (12.48), которое теперь понимаетсякак соотношение фаза волны–число частиц:δϕ · δn 1.2Как и для гармонического осциллятора, наиболее классическимисостояниями бозонного поля принято считать когерентные состояния.Причём чем больше средняя энергия (число частиц) когерентного состояния, тем более классическим оно является.

Именно состояния, похожие накогерентные чаще всего возникают на экспериментах «сами собой», состояния же с определённым числом частиц, как правило, приходится специально приготавливать. Например, если мы ослабим с помощью светофильтровимпульс лазера так, что в нём будет в среднем один фотон, то точное числофотонов в таком состоянии окажется неопределённым.

В некоторых опытахкогерентные состояния очень хорошо умеют притворяться классическимиполями, в частности при рассмотрении расщепления слабого (в среднемменьше 1 фотона) лазерного импульса на полупрозрачном зеркале при обнаружении фотона в одном плече вероятность обнаружения фотона во втором плече не уменьшается, а увеличивается.Число фермионных возбуждений (частиц) в одном состоянии можетбыть только 0 или 1. Это препятствует точному определению фазы фермионных волн, а значит и созданию для них состояний, близких к классическим.ГЛАВА 13Переход от квантовой механикик классическойСогласно принципу соответствия (2.4 «Принцип соответствия (ф)»)квантовомеханическое и классическое описания природы должны соответствовать друг другу в области применимости обоих теорий, т.

е. онидолжны давать для таких случаев согласующиеся предсказания.Это соответствие проявляется в целом ряде теорем и утверждений,некоторые из которых будут обсуждаться далее, однако было бы неверно сводить всё соответствие, например, к теореме Эренфеста. Формальный предел h̄ → 0 вовсе не исчерпывает вопроса о получении классической механики из квантовой. Соответствие квантовой механики и классической — сложный вопрос, предполагающий обращение к основам обоихтеорий, включая скользкие вопросы интерпретации квантовой механики.Более того, во многих случаях заранее не ясно, в чём именно состоит соответствие между двумя теориями, а также есть ли это соответствие вообще,или в каком-то вопросе две теории радикально расходятся между собой.Какой теории отдать предпочтение при таком расхождении также не всегдаясно: хотя квантовая механика более общая теория и квантовый взгляд намир снимает многие классические проблемы, он приносит свои собственные проблемы, связанные с интерпретацией квантовых загадок и парадоксов.13.1.

Волны де Бройля. Фазовая и групповая скоростьНа заре квантовой теории в 1923 году Луи де Бройль предложил рассматривать частицу как волну с волновым вектором, выражаемым черезимпульс и циклической частотой, выражаемой через энергию:k=p,h̄ω=E.h̄388ГЛАВА 13Постоянная Планка h̄ является размерной константой, а следовательно может быть приравнена единице, выбором соответствующих единиц измерения. Таким образом, мы можем считать, что импульс и энергия — это и естьволновой вектор и циклическая частота, просто выраженные в других единицах измерения.В 1927 году гипотеза де Бройля была подтверждена в экспериментахпо дифракции электронов на кристалле.Волна де Бройля имеет видei(kr−ωt) .Её фазовая скорость — vф = ωk . Однако фазовая скорость волны де Бройляне имеет физического смысла.

В частности, при сдвиге нулевого уровняэнергии меняется фазовая скорость. Более того,для релятивистского соотношения между энергией и импульсом E = p2 c2 + m2 c4 фазовая скорость обратно пропорциональна классической скорости и превышает скорость света:p 2 c2 + m 2 c4c2vф ==> c.pvклЭто и понятно: фаза волновой функции не влияет на вероятность обнаружения частицы.Естественно попытаться отождествить классическую скорость с групповой скоростью, т.

е. со скоростью, с которой перемещается волновой пакет:1∂ω.vгр =∂kДанное выражение уже не меняется при сдвиге нулевого уровня энергии,а движение волнового пакета соответствует смещению места наиболее вероятного обнаружения частицы, что уже может быть наблюдаемо на опыте.Если теперь переписать выражение для групповой скорости черезэнергию и импульс (умножить числитель и знаменатель на h̄), то мы получим∂E∂H(x, p)vгр =.,v α = ẋα =∂p∂pαВ последнем выражении, переписанном через компоненты, легко узнатьклассические уравнения Гамильтона.

Это позволяет определить область1 Одномерные волновые пакеты и их групповая скорость уже рассматривались в разделе 6.3.6 «Волновые пакеты».13.2. Ч ТОТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ?389применимости классической механики как область применимости приближения волновых пакетов.Следует, однако, отметить, что простая замена частицы волновым пакетом в обычном пространстве, или даже замена системы волновым пакетом в конфигурационном пространстве, не описывает исчерпывающимобразом перехода от квантовой механики к классической.

Для большинствасистем волновой пакет за конечное время расплывётся до макроскопических размеров. Например, можно было бы ожидать, со времени своего возникновения планеты существенно «размазались» по орбитам вокруг Солнца, что плохо соотносится с классической картиной. Чтобы предотвратитьэто расплывание, следует время от времени включать какую-то процедуруизмерения.Расплывание волновых пакетов имеет свой аналог и в классическоймеханике (расплывание облака вероятностей), понимаемой как теория эволюции распределений вероятностей для классической системы (см.

раздел 2.5.1 «Вероятностная природа классической механики (ф)»).13.2. Что такое функция от операторов?При рассмотрении соответствия между квантовой механикой и классической часто встречаются выражения типа «классический гамильтониан, в который в качестве аргументов подставлены квантовые операторы».С точки зрения строгого математического понятия функции такое выражение бессмысленно: функция — это правило, которое ставит в соответствиеобъекту из области определения функций объект из области её значений.Для классической наблюдаемой мы можем записать:F :RNобл. определения→R.обл. значенийПри этом конкретный способ описания соответствия значения функциизначению аргумента может быть различен: явная алгебраическая формула,неявная формула (значение функции — корень алгебраического уравнения),задание в квадратурах (через определённые интегралы), задание функциикак решения дифференциального уравнения, задание функции таблицейзначений, или графиком.Поскольку набор операторов, который нам надо подставлять в функцию числовых аргументов, не входит в область определения (не является390ГЛАВА 13набором чисел), то, строго говоря, вычислить функцию с такими аргументами невозможно.Тем не менее, в некоторых случаях мы можем обобщить (доопределить) функции числовых аргументов на операторные аргументы определённого вида, хотя такое соответствие часто не будет взаимнооднозначным.13.2.1.

Степенные ряды и полиномы коммутирующих аргументовПростейший случай, с которым мы можем столкнуться, — доопределение числовой функции на наборе взаимнокоммутирующих операторов.Порядок умножения таких операторов не имеет значения. Так что если исходная функция задаётся полиномом или степенным рядом (хотя бы формальным рядом), мы можем определить оператор, являющийся значениемфункции как ряд (полином) по степеням соответствующих операторов.Таким образом мы определяем, например, такие операторы, как• K(p̂) =p̂22m— кинетическая энергия,• U (x̂) — потенциальная энергия (если функция U (x) может быть заданарядом или полиномом),a• ei h̄ p̂ — оператор сдвига по координате,b• e−i h̄ q̂ — оператор сдвига по импульсу,• e−i h̄ Ĥ — оператор эволюции (сдвига по времени),t• ei h̄ (p̂z +p0 l̂z ) — оператор винтового сдвига.a13.2.2.