М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 70

12.1, с заменойкоординаты и импульса на операторы.Через âг (t) мы можем выразить гайзенберговские операторы координаты и импульса и получить для них «с точностью до шляпок» классическиеформулы эволюции гармонического осциллятора:1 âг (t) + â†г (t)√= √ e−iωt âш + eiωt â†ш =221−iωt Q̂ш + iP̂шiωt Q̂ш − iP̂ш√√e+e== √222Q̂г (t) == cos(ωt) Q̂ш + sin(ωt) P̂ш .12.6. П РЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЙЗЕНБЕРГАДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА373Формулу для импульса мы можем получить аналогично через âг и â†г , а можем просто продифференцировать координату по обезразмеренному времени ωt:P̂г (t) =i1 dQ̂г=[Ĥ, Q̂г ] = − sin(ωt) Q̂ш + cos(ωt) P̂ш .ω dth̄ωТаким образом, точно так же как в классикеQ̂г (t) = cos(ωt) Q̂г (0) + sin(ωt) P̂г (0),P̂г (t) = − sin(ωt) Q̂г (0) + cos(ωt) P̂г (0).Если теперь усреднить эти уравнения по произвольной волновой функции(напомним, гайзенберговские волновые функции не зависят от времени), тосредние значения (т.

е. уже не операторы, а числа) будут колебаться совершенно классическим образом:Qг (t) = cos(ωt) Qг (0) + sin(ωt) Pг (0),Pг (t) = − sin(ωt) Qг (0) + cos(ωt) Pг (0).(12.39)12.6.2. Роль эквидистантности уровней*Посмотрим на представление Гайзенберга с несколько иной точки зрения и попытаемся понять с чем связано, что гайзенберговская эволюцияописывается одной частотой ω.Как мы знаем, матричный элемент не зависит от представления, в частностиφш |Âш |ψш t = φг |Âг |ψг t .Для понижающего оператора все отличные от нуля матричные элементыимеют вид n − 1|â|n.

Стационарные шрёдингеровские состояния эволюiционируют со временем как |nш (t) = e− h̄ En t |nш (0). Таким образом,n − 1|âг (t)|n = (n − 1)ш |âш |nш t =En −En−1−ih̄=etn − 1|âш |n0 = e−iωt n − 1|âш |n0 .Поскольку для всех ненулевых матричных элементов оператора âг (t) эволюция описывается одним и тем же фазовым множителем e−iωt , мы можемзаписать для самого оператораâг (t) = e−iωt âш .374ГЛАВА 12Нам удалось это благодаря тому, что все ненулевые матричные элементыоператора â берутся для состояний с одинаковой разностью энергий, т. е.благодаря тому, что â спускает каждое стационарное состояние по лестницеэнергий на одну и ту же величину h̄ω.12.7.

Когерентные состояния гармоническогоосциллятора*Выше мы уже рассматривали когерентные состояния, обращающие соотношение неопределённостей для пары операторов Â, B̂ в равенство (7.6).Такие состояния должны быть собственными для оператора вида iγ  + B̂.Именно такой вид имеют операторы â и ↠для гармонического осциллятора, поэтому их собственные состояния должны быть когерентными дляпары наблюдаемых координата-импульс.Легко видеть, что оператор ↠не имеет собственных состояний5 .Состояния, удовлетворяющие условиюâ|ψz = z|ψz ,z ∈ C,(12.40)называются когерентными состояниями гармонического осциллятора.

Такие состояния существуют для всех z и одно из таких состояний мыуже знаем — это основное состояние гармонического осциллятора |0(см. (12.21)).+ iP̂Мы знаем, что â = Q̂ √, пусть аналогично2z=α + iβ√ ,2α, β ∈ R.Тогда уравнение (12.40) перепишется какQ̂ + iP̂α + iβ√|ψz = √ |ψz 22⇔[(Q̂ − α) + i(P̂ − β)]|ψz = 0.Таким образом, состояния |ψz с произвольным z ∈ C получаютсяиз |0 сдвигом по координате на α и импульсу на β.5 Попробуйте доказать это от противного, предположив, что ↠|ψ = Z|ψ, и разложив |ψпо базису состояний |n. (При каком минимальном n коэффициент разложения может бытьотличен от нуля?)12.7.

К ОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА *375В координатном представлении получаем(Q−α)21· eiβQ− 2 .ψz (Q) = √4πОднако при вычислении средних по когерентному состоянию осциллятора можно обойтись без этой формулы, используя вместо этого уравнение (12.40). Это работает для любых операторов, выражающихся через Q̂и P̂ (а значит, выражающихся через â и ↠).Продемонстрируем это на примере вычисления средней энергии гармонического осциллятора в когерентном состоянии |ψz . В первую очередьнадо записать оператор через â и ↠так, чтобы в каждом слагаемом всеоператоры ↠были левее всех операторов â (используя коммутатор [â, ↠] == 1 (12.8), для расстановки лестничных операторов в правильном порядке):6h̄ω †(â â + 12 )|ψz .ψz |Ĥ|ψz = ψz |2После этого действуем всеми операторами â налево, а всеми операторами ↠направо, используя (12.40) и эрмитово сопряжённое соотношение:â|ψz = z|ψz ,ψz |↠= ψz |z ∗ ,h̄ωh̄ω(|z|2 + 12 ).ψz |Ĥ|ψz = ψz | (z ∗ z + 12 )|ψz =2212.7.1.

Временная эволюция когерентного состояния*Для изучения временной эволюции когерентного состояния воспользуемся представлением Гайзенберга:|ψz (t) = Ût |ψz ,â|ψz = z|ψz ⇒ Ût â|ψz = Ût z|ψz = z|ψz (t).Мы знаем, что âг (t) = Ût−1 âÛt = e−iωt â, поэтомуÛt â|ψz = Ût âÛt−1 Ût |ψz = âг (−t)|ψz (t) = eiωt â|ψz (t).

âг (−t)|ψz (t)Таким образом,eiωt â|ψz (t) = z|ψz (t) ⇒ â|ψz (t) = e−iωt z|ψz (t).6 Этоназывается — нормальное упорядочение.376ГЛАВА 12Мы получили, что исходное состояние |ψz эволюционировало за время tв состояние |ψz (t), которое снова оказалось собственным для оператора â,но уже с собственным числом z(t) = e−iωt z. Средниезначения координаты√и импульса (вещественная и мнимой части 2 z) зависят от времени также, как для классического осциллятора, при этом дисперсии координатыи импульса остаются неизменными, т. е.

волновой пакет осциллирует какцелое, не расплываясь.Мы получили временную эволюцию когерентного состояния с точностью до зависящего от времени фазового множителя. Точную временнуюэволюцию когерентного состояния мы можем легко получить, разложив егопо базису чисел заполнения.12.7.2. Когерентные состояния в представлении чисел заполнения**Результаты данного подраздела можно получить более громоздкими прямолинейным путём, подставляя в уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) волновую функцию, разложеннуюпо |n и исследуя рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения7 .

Однако мы нашли полезным для любознательных студентов использовать более изощрённый подход (поставив на заголовок лишнюю звёздочку).Мы можем разложить произвольную волновую функцию по базисным† n)состояниям |n = (â√n!|0:∞∞(↠)ncn |n =cn √ |0 =|ψ =n!n=0n=0∞c√n (↠)nn!n=0|0 = f (↠)|0.Таким образом, волновая функция может быть представлена как результатдействия на основное состояние |0 некоторой функции f от оператора ↠.Функция f задаётся с помощью формального степенного ряда:∞c√n xn .f (x) =n!n=0Мы можем считать, что функция f (x) является иным представлением волновой функции |ψ.

Вопрос о сходимости ряда, который задаёт функцию f (x) при тех или иных значениях аргумента, не имеет физического7 Читательможет проделать эти вычисления в качестве упражнения.12.7. К ОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА *377смысла и нас не интересует. Единственная сходимость, которую следуеттребовать для f (x), — сходимость квадрата нормы волновой функции:2∞∞1 dn f (0) 22ψ =|cn | =.n! dxn n=0n=0Производная здесь понимается как формальная производная ряда.Оператор ↠действует на волновую функцию, представленную как f (x)∂ 8путём умножения на x, а оператор â действует как ∂x.Таким образом, уравнение для когерентного состояния гармоническогоосциллятора (12.40) переписывается следующим образом:9â|ψz = z|ψz ⇒df= zf.dxРешая это уравнение, находим:f (x) = c · ezx†|ψz = c · ezâ |0 = c⇒†|ψz = c · ezâ |0.∞∞zn † nzn√ |n.(â ) |0 = cn!n!n=0n=0∞2(z ∗ z)n= |c|2 e|z| .ψz = |c|n!n=02Теперь мы можем написать нормированное на единицу когерентное состояние:|z|2†|ψz = e− 2 · ezâ |0.(12.41)Используя представление Гайзенберга, мы можем теперь получить временную эволюцию когерентного состояния со всеми фазовыми множителями:|ψz (t) = Ût e−|z|22†· ezâ |0 = e−|z|22†Ût ezâ Ût−1 · Ût |0 = e−|z|22†ezâг (−t) · |0t .Таким образом, используя соотношение â†г (t) = eiωt ↠, находим|ψz (t) = e−|z|22−iωteze↷ e−iωt2|0 = e−iωt2|ψz(t) ,z(t) = ze−iωt .(12.42)8 Проверьте это.

Предварительно выведите, используя (12.8), следующую формулу:[â, (↠)n ] = n(↠)n−1 . Мы можем также символически написать â = ∂∂↠. Для сравнениясм. также раздел 13.2.4 «Производная по операторному аргументу».9 Мы также получаем ещё одно доказательство отсутствия ненулевых состояний, удовлетворяющих уравнению ↠|ψ = z|ψ, которое переписывается в виде x f (x) = z f (x).378ГЛАВА 1212.8. Разложение по когерентным состояниям**Набор когерентных состояний со всевозможными параметрами z ∈ Cне является линейно независимым и выступать в роли базиса в не может.Тем не менее, рассмотрим проекцию некоторого состояния |ψ = f (↠)|0на когерентное состояние |ψz∗ .dn2 f ∞∞nn2|z|dx 2 z 1√ x=0 |n2 =ψz∗ |ψ =n1 |e− 2 √n!n2 !1n1 =0n2 =0∞n|z|2 d f zn,= e− 2ndx x=0 n!n=0ψz∗ |ψ = e−|z|22f (z)(12.43)— это амплитуда вероятности того, что находившаяся в состоянии ψ система будет найдена в когерентном состоянии ψz∗ .

Таким образом, введённаяранее аналитическая функция комплексного аргумента f (z) приобрела физический смысл.Комплексный аргумент z выражается через средние значения обезразмеренных координаты и импульса в когерентном состоянии ψz∗ , что соответствует представлению оператора ↠через соответствующие операторы:z=Q − iP√,2↠=Q̂ − iP̂√.2Обозначим |f = f (↠)|0.Скалярное произведение должно быть определено так, чтобы выполнялось условие ортонормированности базиса стационарных состояний гармонического осциллятора:/ n2 n1 0 zz√n2 |n1 = √= δn2 n1 .n2 ! n1 !В терминах функций f скалярное произведение может быть записанокак интеграл по комплексной плоскости:21f2 |f1 =f2∗ (z) f1 (z) e−|z| dz dz ∗ .(12.44)πC12.8.

РАЗЛОЖЕНИЕПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ **379Пространство аналитических функций с конечным скалярным квадратомf |f , на котором задано скалярное произведение (12.44) называют пространством Баргмана-Фока.Мы видим, что между функциями комплексного аргумента z вида|z|2F (z) = √1π e− 2 f (z) и волновыми функциями ψ(x) = x|f (↠)|0 ∈ L2 (R)имеется взаимно-однозначноесоответствие.Q−iP√Функция F (z) = Fпохожа на невозможный в квантовой ме2ханике объект: волновую функцию, зависящую одновременно от координаты и соответствующего импульса.dЗапишем матричные элементы от операторов ↠= z и â = dz:F2 |↠|F1 =1F2 |â|F1 =πCF2∗ (z) z F1 (z) dz dz ∗ .Ce−zz∗df1 (z) dz dz ∗ =f2∗ (z)dzF2∗ (z) z ∗ F1 (z) dz dz ∗ .CВ последнем выражении интеграл по z взят по частям, с учётом того, что∗∗df2∗de−zz= −z ∗ e−zz .dz = 0,dzАналогичную формулу можно получить для любого произведения операторов â и ↠, в котором множители упорядочены антинормальным упорядочением: сначала идут все множители â, а потом — â†n2 †n1F2 |â â |F1 = F2∗ (z) z ∗n2 z n1 F1 (z) dz dz ∗ .CТакже и для произвольной антинормально упорядоченной функцииA(â, ↠) 10 имеемF2 |A(â, ↠)|F1 = F2∗ (z) A(z ∗ , z) F1 (z) dz dz ∗ .CВ частности для средних значений (диагональных матричных элементов)мы получаем такое выражение, как если бы функция |F (z)|2 была плот10 При разложении функции A(â, ↠) по степеням операторов â и ↠каждый член разложения должен быть антинормально упорядочен.380ГЛАВА 12ность вероятности на комплексной плоскостиz, т.