М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 67

Для таких («новыхканонических») координат x мы обозначим тензор кривизны I (это тот жетензор J, но в других координатах)expj = pj = Pj − Aj (Q),c[x̂K , x̂L ] = ih̄I KL , {xK , xL } = I KL ,ixq = q i = Qi ,eeI pi pj = Fij = (∂i Aj − ∂j Ai ).ccСимплектическая форма ω задаётся матрицей обратной к матрице I,Mт. е. ωKL I LM = δK.Iqipji= −I pj q = δji ,Iqi jqωqi pj = −ωpj qi = −δji ,= 0,eωqi qj = Fij ,cωpi pj = 0.12 Isidro J.

M., de Gosson M. A. A gauge theory of quantum mechanics// Mod. Phys. Lett. A.2007. Vol. 22, Pp. 191–200.352ГЛАВА 11Если не включать в число координат время (как обычно принято внерелятивистской квантовой механике), то в рамках данного подхода можноописать статическое магнитное поле, компоненты которого задаются компонентами тензора Fij (Fxy = −Hz , прочие компоненты получаем циклическими перестановками индексов).Данный подход отличается от общепринятого только выбором координат в фазовом пространстве.

В качестве примера приведём гамильтониандля системы частиц в магнитном поле в канонических и «новых канонических» координатах:H= (Pa −aea2c A(Qa ))2ma= p2a.2maaЗдесь a — номер частицы, координаты и импульсы относящиеся к одной частицы объединены в трёхмерные векторы. Магнитное поле, в каноническихкоординатах описывается векторным потенциалом A(Qa ) (H = rot A), который входит в гамильтониан, а коммутационные соотношения (и тензоркривизны фазового пространства J) не зависят от полей. В «новых канонических» магнитное поле исчезает из гамильтониана и описывается через коммутационные соотношения для компонент кинематических импульсов pa , входя в тензор кривизны фазового пространства I.Для того, чтобы описать в рамках данного подхода переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время t и соответствующий времени обобщённый импульс p0 = −Eкак дополнительные координаты.

При этом время в квантовой механике неможет рассматриваться в полной мере, как координата, волновая функция,по своему физическому смыслу, должна быть квадратично интегрируемойпо пространственным координатам, но не по времени, поскольку суммарная вероятность должна сохраняться.ГЛАВА 12Гармонический осцилляторГармонический осциллятор (грузик на пружинке) очень любим в теоретической механике как точно решаемая система, во многих случаях хорошо описывающая в первом приближении малые колебания различных систем. Эти достоинства гармонического осциллятора сохраняются и в квантовой механике.На самом деле, в квантовой механике гармонический осциллятор любят даже больше, чем в классической. Это связано с тем, что гармонический осциллятор приобретает фундаментальное значение при рассмотренииквантованных бозонных полей (в том числе электромагнитного поля), которые без учёта взаимодействия описываются набором невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов (см.

ниже раздел 12.11).Решать задачу о квантовом гармоническом осцилляторе можно разными способами. Метод лестничных операторов, который вводится здесь, неявляется универсальным способом решения задач квантовой механики: онхорош только для гармонического осциллятора и похожих на него систем,однако именно этот способ задаёт специальный язык, который интенсивно используется во многих разделах квантовой теории, включая квантовуютеорию поля (КТП).Знакомство с данным методом очень полезно для изучающих квантовую теорию.

Помимо того, что этот способ просто красив, он приучает,столкнувшись с задачей, хорошенько подумать, прежде чем писать уравнение Шрёдингера в форме дифференциального уравнения (хотя бы потому,что дифференциальные уравнения могут вообще не понадобиться).Как обычно, начнём решение задачи с выписывания соответствующегогамильтониана. Удобно записывать уравнения не через жёсткость пружины k, а через собственную циклическую частоту ω = k/m:Ĥ =kx̂2p̂2mω 2 x̂2p̂2+=+.2m22m2(12.1)354ГЛАВА 1212.1. ОбезразмериваниеДля упрощения выкладок полезно обезразмерить гамильтониан, представив его в виде: (число с размерностью энергии) × (безразмерный оператор).

«Число с размерностью энергии» удобно взять не случайным образом,а естественным, т. е. скомбинировать константу с размерностью энергиииз параметров задачи. Из унаследованных от классического осцилляторапараметров m и ω составить константу с размерностью энергии («естественную единицу энергии») для гармонического осциллятора невозможно,однако в квантовой задаче у нас появляется ещё один масштаб — постоянная Планка h̄, имеющая размерность действия. Эта размерность может быть представлена как (действие) = (масса) × (длина)2 /(время) == (энергия) × (время) = (импульс) × (длина). Произведение h̄ω имеет какраз размерность энергии, вынося его за скобку, получаем 2p̂mω x̂2Ĥ = h̄ω+.(12.2)2h̄ωm2h̄От постоянных множителей в скобках мы можем избавиться, выбрав подходящие единицы измерения координаты и импульса.

Поскольку выражениев скобках безразмерно, новые координата Q̂ и импульс P̂ оказываются безразмерными:P̂ 2Q̂2Ĥ = h̄ω+,(12.3)22&mωp̂p̂x̂P̂ = √Q̂ = x̂,(12.4)= ,=p0h̄x0h̄ωm&√h̄,p0 x0 = h̄p0 = h̄ωm,x0 =(12.5)mω— осцилляторные единицы импульса, координаты и действия (последняя,естественно, совпадает с постоянной Планка h̄). До сих пор все наши выкладки можно было один к одному повторить для классического осциллятора, стерев шляпки над буквами и считая h̄ просто некоторой константойс размерностью действия.Поскольку коммутатор координаты и импульса [x̂, p̂] = ih̄ имеетв квантовой механике фундаментальное значение, перепишем его в обезразмеренных операторах (числовые множители можно выносить из-под12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ355коммутатора):&[Q̂, P̂ ] = x̂! &mωmωp̂1[x̂, p̂]√,√= i.=[x̂, p̂] =h̄h̄h̄h̄ωmh̄ωm[Q̂, P̂ ] = i.(12.6)В классической механике роль, аналогичную коммутатору, играет скобкаПуассона, и в точности те же выкладки можно проделать для неё, используясоответствие [·, ·]/(ih̄) −→ {·, ·}.12.2.

Представление чисел заполнения12.2.1. Лестничные операторыВ переменных Q, P эволюция классического осциллятора сводитсяк вращению точки на фазовой плоскости вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью ω.Рис. 12.1. Эволюция классического осциллятора сводится к вращению точки нафазовой плоскости (Q, P ).Вращение с постоянной угловой скоростью удобно описывается с помощь комплексной переменной z = const · (Q + iP ). Вращение задаётсяумножением на фазовый множитель: z(t) = e−iωt z(0).356ГЛАВА 12Поскольку в квантовой механике комплексные числа и фазовые множители вида e−iωt являются неотъемлемой частью математического аппарата, представляется естественным попробовать ввести аналогичные величины для описания квантового осциллятора:â =Q̂ + iP̂√,2↠=Q̂ − iP̂√.2(12.7)В отличие от Q̂ и P̂ операторы â и ↠не являются эрмитовыми.Вычислим коммутатор введённых операторов (коммутатор можно рассматривать как разновидность умножения, и раскрывать скобки обычнымобразом, с учётом порядка сомножителей, т.

е. операция взятия коммутатора дистрибутивна относительно сложения):%$1Q̂ + iP̂ Q̂ − iP̂†√[â, â ] =[Q̂, Q̂] − i[Q̂, P̂ ] + i[P̂ , Q̂] + [P̂ , P̂ ] =, √=222=1(0 − i · i + i(−i) + 0) = 1.2[â, ↠] = 1⇔â↠= ↠â + 1.(12.8)†Если бы операторы â и â коммутировали, то в соответствии с формулой1 (A − B)(A + B) = A2 − B 2 их произведение дало бы обезразмеренĤный гамильтониан ωh̄= 12 (Q̂2 + P̂ 2 ).

Однако с учётом некоммутативностиоператоров получаем:1Q̂ − iP̂ Q̂ + iP̂√Q̂ · Q̂ + iQ̂ · P̂ − iP̂ · Q̂ + P̂ · P̂ =↠â = √=2221 2Q̂ + i[Q̂, P̂ ] + P̂ 2 .=2Введём теперь оператор N̂ :1 2Q̂ − 1 + P̂ 2 ,2через который и выразим гамильтониан:11†= h̄ω N̂ +.Ĥ = h̄ω â â +22N̂ = ↠â =(12.9)(12.10)1 Эта формула справедлива тогда и только тогда, когда [A, B] = AB − BA = 0, поскольку(A − B)(A + B) = A2 − B 2 + AB − BA = A2 − B 2 + [A, B].12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕ357ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯЗадача исследования гамильтониана свелась к задаче исследования эрмитового2 оператора числа квантов N̂ = ↠â.Мы видим, что в данных выражениях отличие квантовых формул отклассических состоит в появлении константы 12 .

В классическом пределе,когда операторы Q̂ и P̂ могут быть заменены большими (по сравнениюс единицей) числами, этой добавкой можно пренебречь.Операторы â и ↠называют лестничными операторами. Смысл этоготермина мы сейчас раскроем, для этого вычислим их коммутаторы с оператором N̂ (воспользовавшись формулой [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ и формулой [A, B]† = [B † , A† ]):[N̂ , â] = [↠â, â] = ↠[â, â] + [↠, â]â = −â,[N̂ , â]† = [↠, N̂ ] = −↠.Таким образом мы можем записать коммутационные соотношения в единообразном виде:[N̂ , â± ] = ±â± ,â+ = ↠,â− = â.(12.11)Пусть |ψn — некоторое собственное состояние оператора N̂ :N̂ |ψn = n|ψn .(12.12)Исследуем как ведёт себя состояние |ψn под действием операторов â и ↠,подействовав на получившиеся состояния â|ψn и ↠|ψn оператором N̂ :N̂ â|ψn = (âN̂ + [N̂ , â])|ψn = (âN̂ − â)|ψn == â(N̂ − 1)|ψn = â(n − 1)|ψn ,†N̂ â |ψn = (↠N̂ + [N̂ , ↠])|ψn = (↠N̂ + ↠)|ψn == ↠(N̂ + 1)|ψn = ↠(n + 1)|ψn ,N̂ (â± |ψn ) = (n ± 1)(â± |ψn ).(12.13)Формула (12.13) означает, что для произвольного состояния |ψn , удовлетворяющего условию (12.12), состояния a± |ψn либо являются собственными, с собственными числами n ± 1, либо являются нулевыми векторами.Поэтому оператор a+ = a† называется повышающим оператором, а a− == a — понижающим оператором.2 Эрмитовостьоператора N̂ легко проверяется: N̂ † = (↠â)† = ↠ↆ = ↠â = N̂ .358ГЛАВА 12Оператор N̂ имеет только неотрицательные средние:ψ|N̂ |ψ = ψ|↠â|ψ = âψ|âψ 0.(12.14)Для собственного состояния имеемn |ψn = nψn |ψn 0ψn |N̂ |ψn = ψn | ⇒n 0.(12.15)числоВозьмём теперь произвольное собственное состояние и начнём на негомного раз действовать понижающим оператором:â|ψn ,â2 |ψn ,··· ,âk |ψn ,··· .Каждый раз оператор â либо понижает собственное число оператора N̂ наединицу, либо обнуляет состояние.

Поскольку, как мы показали только что,собственные числа оператора N̂ неотрицательны, рано или поздно очередное состояние|ψn0 = const · âk |ψn (12.16)обнулится под действием â:â|ψn0 = 0⇒↠â|ψn0 = N̂ |ψn0 = n0 |ψn0 = 0⇒n0 = 0.Мы видим, что это состояние — собственное для оператора N̂ с нулевымсобственным числом:â|ψ0 = 0.(12.17)Оно отвечает минимальной возможной энергии гармонического осциллятора E0 = h̄ω2 , а потому называется основным состоянием гармоническогоосциллятора.Легко видеть, что ненулевое состояние |ψ никогда не обнулится поддействием повышающего оператора ↠:↠ψ|↠ψ = ψ|â↠|ψ = ψ|N̂ + 1|ψ ψ|ψ > 0.(12.18)Таким образом, начиная с основного состояния |ψ0 и действуя на негораз за разом повышающим оператором ↠, мы получаем лестницу состояний, нумеруемых целыми неотрицательными числами. Однако надо уточнить следующие вопросы:• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψ0i , удовлетворяющих уравнению (12.17)? Сколько угодно.