М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 61

Этот метод называют иногдаметодом одноразовых шифровальных блокнотов (Алиса и Борис имеют набор попарно одинаковых блокнотов, в которых записаны ключи).Главная проблема метода — необходимость обеспечить секретную передачу обоим корреспондентам одинаковых длинных ключей. После этогокорреспонденты должны будут хранить секретные ключи так, чтобы исключить утечку информации вплоть до того момента, когда эти ключи будутиспользованы.10.1.2. Квантовая генерация ключейКвантовая механика позволяет Алисе и Борису получить пару заведомоодинаковых ключей, обмениваясь квантовыми битами по каналу связи, который допускает перехват информации, а также классической информацией по каналу, который допускает прослушивание.

При этом Алиса и Бориссмогут с любой степенью уверенности обнаружить перехват на квантовомканале.10.1. К ВАНТОВАЯКРИПТОГРАФИЯ **319Излагаемая ниже процедура генерации ключа была предложенав 1984 году Ч. Беннеттом и Дж. Брассардом1 . Эта процедура известна какпротокол ББ84.В дальнейших рассуждениях будут использоваться 4 состояния квантового бита, принадлежащих к двум ортонормированным базисам «0-1»и «±»:|0 + |1|0 − |1√√|0, |1,|+ =, |− =.221. Алиса передаёт Борису случайную последовательность квантовых битов в состояниях |0, |1, |+ или |−.2. Борис измеряет полученные от Алисы фотоны, используя случайнымобразом базисы «0-1» или «±», и получает цепочку нулей и единиц.3.

Алиса по открытому классическому каналу сообщает Борису, какой избазисов она использовала для каждого бита (но не говорит, какое издвух состояний было использовано).4. Борис сообщает Алисе, какой из двух базисов он использовал при измерении каждого бита (но не сообщает результат измерения).5. Алиса и Борис выбирают из цепочки только те биты, которые былииспущены и измерены в одинаковых базисах (это предварительныйключ).6. Алиса и Борис сравнивают (переговариваясь по открытому классическому каналу) некоторое количество случайно выбранных бит из предварительного ключа. Если проверенные биты совпадают, то делаетсявывод (с соответствующей численной оценкой), что перехвата на квантовом канале не было.7.

Из предварительного ключа исключаются биты, которые были использованы для проверки, остальное составляет секретный ключ.Если Ева пытается вести перехват на квантовом канале, то её измерение будет нарушать состояние кубитов, во всех случаях, когда она не угадала, какой из базисов использует Алиса. Это будет происходить в половинеслучаев.

После этого, если Ева не угадала базис, то поляризация, измеренная Борисом, будет полностью случайна. Также поляризация, измереннаяБорисом, полностью случайна, если Борис не угадал базис Алисы. Таким1 C. G. Bennett and G. Brassard, Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing,in: Proc. of the IEEE Inst. Conf on Computers, Systems, and Signal Processing, Bangalore, India(IEEE, New York, 1984), p.

175.320ГЛАВА 10образом, в восьмой части случаев перехвата Ева внесёт искажение в цепочку бит предварительного ключа. Это искажение должно быть выявленосравнением случайной выборки бит на этапе 6.В процессе генерации ключа Алиса и Борис не обмениваются никакойинформацией, которая позволила бы узнать содержание ключа, поэтому Еваможет сорвать генерацию ключа, но не может этот ключ перехватить.10.1.3. Квантовая линия связиКвантовые эффекты можно использовать не только для квантовой генерации ключа, но и для самой передачи информации.Например, для секретной передачи данных можно использовать квантовую телепортацию (7.7 «Квантовая телепортация**»).

При квантовой телепортации помимо квантовой линии для передачи коррелированных кубитов нам понадобится классическая линия, по которой будут передаватьсярезультаты измерений, не несущие информации о состоянии телепортируемого кубита.10.2. Квантовые компьютеры как аналоговые (ф)Как уже отмечалось ранее, описание квантовой системы требует существенно большего количества информации (задание волновой функции),чем описание классической системы (задание координат и импульсов). Соответственно, возрастает вычислительная сложность численного моделирования квантовых систем.

И хотя во многих случаях удаётся обойтись безявного моделирования волновой функции большого числа переменных, задача моделирования сколь-нибудь сложных квантовых систем для классического компьютера оказывается сложной (часто нерешаемой за разумноевремя).Ричард Фейнман в 1981 году предложил использовать одни квантовыесистемы для моделирования других2 .Моделирование одной физической системы с помощью другой, имеющей аналогичное математическое описание, — идея аналогового компьютера. Таким образом, может быть поставлена задача аналогового моделирования физических система с помощью квантовых систем, т.

е. задача созданияаналогового квантового компьютера.2 Feynman R. P. Simulating physics with computers // Int. J. Theor. Phys. — 1982. — Vol. 21,Nos. 6/7. — P. 467–488.10.3. К ВАНТОВЫЕКОМПЬЮТЕРЫ КАК ЦИФРОВЫЕ ( Ф )32110.3. Квантовые компьютеры как цифровые (ф)Если система ограничена в пространстве, то её энергетический спектрдискретен. Если при этом ограничена сверху и снизу также и энергия системы, то имеется только конечное число ортогональных состояний системы,т. е. пространство состояний H оказывается конечномерным, т. е.

H = CN ,где N конечно (хотя, может быть, велико).Таким образом, ограниченная в пространстве и по энергиям системадопускает конечный набор дискретных независимых наблюдаемых. При измерении такой системы мы можем получить только конечный объём информации, записывающийся с помощью конечного числа знаков какого-либоалфавита.

В классике это означало бы, что система имеет конечное число состояний, но в квантовом случае число состояний бесконечно, за счётлинейности пространства состояний (принципа суперпозиции).Таким образом, обладая конечным числом независимых квантовыхсостояний, ограниченная в пространстве и по энергии квантовая системаможет рассматриваться как квантовый аналог цифрового компьютера.10.4. Понятие универсального квантового компьютераВ литературе определение универсального квантового компьютера часто даётся в запутанной форме, либо не даётся вообще.

При этом, как правило, даётся ссылка на статью Дэвида Дойча 1985 года3 .Статья Дойча (1985) содержит достаточно расплывчатое определение«полного моделирования»4 одной системы с помощью другой:Вычислительная машина M может полностью моделироватьфизическую систему Y относительно данной разметки их входови выходов, если для M существует программа π(Y), которая делает M вычислительно эквивалентной Y относительно этой разметки. Другими словами, π(Y) превращает M в «чёрный ящик»,функционально неотличимый от Y.Универсальный квантовый компьютер при этом понимается как универсальное устройство для полного моделирования произвольной физической системы с любой наперёд заданной точностью.Это определение только затемняет вопрос, т.

к. вполне классическаяуниверсальная машина Тьюринга (универсальный классический компью3 Deutsch D., Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal QuantumComputer // Proc. R. Soc. Lond. — 1985. — A 400. — P. 97–117; перевод А. П. Бельтюкова.4 Perfect simulation.322ГЛАВА 10тер) при наличии неограниченного времени и неограниченной памяти способна численно решать уравнения квантовой механики с любой наперёдзаданной точностью и формально подходит под это определение, хотя автор, очевидно, имеет в виду нечто большее.Внимательное изучение реального физического содержания той жестатьи позволяет извлечь и настоящее определение универсального квантового компьютера:Универсальный квантовый компьютер — устройство, которое позволяет для системы L квантовых битов осуществлять преобразование,сколь угодно близкое к любому желаемому унитарному преобразованиюLпространства HL = C2 .В статье Дойча (1985) содержатся также рассуждения, обосновывающие возможность полного моделирования открытых квантовых систем, однако эти рассуждения не представляются в достаточной степени строгимии убедительными.10.5.

Квантовый параллелизмКвантовый параллелизм — возможность одновременного выполнениякаких-либо обратимых вычислений над разными членами квантовой суперпозиции.Набор из L классических битов может находиться в 2L различных состояниях. Однако для квантовых битов эти 2L состояний оказываются базисом линейного пространства и допустимы также любые их суперпозиции,в частности, состояние|0 + |1|0 + |1 |0 + |1√√√=···222L⎛=⎞1 ⎜⎟⎝|0 · · · |0|0 + |0 · · · |0|1 + |0 · · · |1|0 + |0 · · · |1|1 + · · · + |1 · · · |1|1⎠.2L/2 LLLLL2LТаким образом, мы получаем суперпозицию всех двоичных чисел от00 · · · 02 = 0 до 11 · · · 12 = 2L − 1. То же самое равенство мы можем пере Lписать так:L|X =|0 + |1√2⊗L=12L/2L2−1n=0|n.10.6. Л ОГИКА323И ВЫЧИСЛЕНИЯЕсли у нас есть некоторая функция f : {0, .

. . , 2L − 1} → {0, . . . , 2L − 1},тогда ей можно сопоставить унитарное преобразование Ûf , которое следующим образом действует на первых 2L базисных состояниях пространстваL+LHL+L = C2:Ûf | n ; 0 = | n ; f (n) .L кубит L кубитL кубит L кубитЛюбое унитарное преобразование Ûf может быть реализовано как операторэволюции для некоторого гамильтониана, задающего взаимодействие L+Lкубитов, т. е. может быть выполнено на универсальном квантовом компьютере2L −12L −11 1 Ûf |X; 0 = L/2|n; f (n).Ûf |n; 0 = L/222n=0n=0Таким образом, применение этого преобразования к состоянию |X; 0 позволяет вычислить функцию f одновременно для всех чисел от 0 до 2L − 1.С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики5можно сказать, что у нас имеется 2L эвереттовских миров, которые отличаются друг от друга только тем, какое число введено в квантовый компьютер, в каждом из этих миров идёт вычисление функции f для своегозначения аргумента.