М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 46

Чтобы обойти эту сложность, мы измеряем две некоммутирующиепеременные почти одновременно (разность времён меньше, чем расстояние, делённое на скорость света) на двух установках, удалённых друг отдруга. Конечно, квантовая теория учит, что квантовое состояние изменяется мгновенно, но если квантовая теория — лишь приближённая теория17 Гдемой канделябр!? :)238ГЛАВА 7к теории с локальными скрытыми переменными, то это мгновенное влияние на расстоянии следует считать нефизическим, тем более, что дажеквантовая теория обладает своего рода локальностью, которая не допускаетсверхсветовой передачи информации.Если продемонстрировать, что квантовая механика позволяет нарушатьнеравенство Белла для некоммутирующих переменных, то это будет означать, что квантовая механика принципиально отличается от любой локальной (без мгновенного дальнодействия) классической (в том числе классической вероятностной) теории.

Более того, экспериментальная проверка нарушения неравенств Белла будет экспериментом, способным опровергнутьвсе локальные классические теории разом.Корреляции для спинов*Этот раздел предполагает знакомство читателя со спиновыми волновыми функциями и операторами для спина 12 .Для построения в рамках квантовой механики контрпримера к неравенству Белла мы используем систему из двух спинов 12 , находящихся в состоянии с нулевым полным моментом:|ψ =| ↑| ↓ − | ↑| ↓√.2Здесь | ↑ и | ↓ — одночастичные состояния спин вверх и спин вниз.

Этосостояние переходит в себя при любых поворотах.Такие состояния называют ЭПР-состояниями. Они появляются приописании парадокса Эйнштейна – Подольского – Розена в формулировкеДавида Бома. Возможность нарушения неравенства Белла для такогосостояния является выделенной Беллом математической сущностью парадокса ЭПР.Измеряться будут удвоенные проекции спина одной из частиц на различные направления (они как раз могут принимать значения ±1, как и надопо условиям неравенства Белла).Если провести измерение проекции спина одной из частиц (пусть этобудет первая частица) на ось z (или на любую другую ось, т. к.

все направления для этого состояния равноправны!), то с равной вероятностью 12проекция будет равна ± 12 . После такого измерения проекции спинов обоихчастиц будут определены однозначно, причём их знаки всегда будут противоположны.7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ239Таким образом, измерение проекции спина первой частицы с равнымуспехом можно проводить как над самой первой частицей, так и над второй частицей: состояния после измерения для обоих случаев совпадают,а измеренные числа пересчитываются друг в друга заменой знака.Пусть второе измерение определяет проекцию спина первой частицына ось, повёрнутую на угол θ по отношению к оси, использованной при первом измерении.

Если первое измерение проводилось для оси z, а второе —для оси повёрнутой на угол θ вокруг оси x, то базисные одночастичныесостояния для первого и второго измерений 10|ψ1+ = | ↑ =,|ψ1− = | ↓ =;01|ψ2+ =cos θ2sin θ2,|ψ2− =− sin θ2cos θ2.Таким образом, последовательные измерения удвоенных проекций спинапервой частицы на оси, составляющие угол θ, дают значения ±1, ±1 соследующими вероятностями:P (+, +, θ) = 12 |ψ1+ |ψ2+ |2 =P (+, −, θ) = 12 |ψ1+ |ψ2− |2 =P (−, +, θ) = 12 |ψ1− |ψ2+ |2 =P (−, −, θ) = 12 |ψ1− |ψ2− |2 =12121212cos2 2θ ,sin2 2θ ,sin2 2θ ,cos2 2θ .Таким образом, коррелятор для проекций на указанные оси составляетab = P (+, +, θ) − P (−, +, θ) − P (+, −, θ) + P (−, −, θ) == cos2θ2− sin2θ2= cos θ.Этот результат можно записать так:(σ , n)(σ , n ) = (n, n ) = cos(∠nn ),|n| = |n | = 1.(7.23)Нарушение неравенства Белла в квантовой механикеПокажем, что направления осей, для которых измеряются удвоенныепроекции спина, могут быть выбраны так, что корреляции (7.23) будут нарушать неравенство Белла (7.22).240ГЛАВА 7Выберем три оси, отвечающие измерениям a, b и c, лежащими в однойплоскости под углом 2π3 друг к другу.

Все три пары осей равноправны и мыполучаем1ab = bc = ac = cos 2π3 = −2.При подстановке в неравенство Белла (7.22) получаем противоречие:| ab + bc | 1 + ac − 12− 12⇒11.2− 12Таким образом, действительно, с классической локальной точки зрения поведение квантовых коррелированных систем может быть парадоксальным, и парадокс ЭПР действительно является парадоксом. Впрочем,физики, последовательно придерживающиеся неклассического и/или нелокального взгляда на мир, могут не видеть здесь парадокса.Ещё раз отметим, что каждый раз при измерении пары величин измерения осуществляются над разными частицами практически одновременно(чтобы разность времен была недостаточна для путешествия сигнала соскоростью света), но результат всегда пересчитывается для первой частицы.

Реально для набора статистики нам понадобится проводить не 3, а покрайней мере 4 разных измерения. Например, измерения a каждый раз проводятся над первой частицей, измерение b — над второй, а измерение c —над второй или первой в зависимости от того, в паре с каким измерениемоно выполняется.Нарушение неравенства Белла на экспериментеНарушение неравенства Белла было экспериментально провереноА. Аспектом в 1982 году.

От описанной выше схемы эксперимент Аспектаотличался использование фотонов вместо электронов, что математическиэквивалентно, т. к. фотоны также имеют две независимых поляризации18 .Более существенно то, что большая часть фотонов в эксперименте Аспекта не регистрировалась детекторами.

Таким образом, реально наблюдаемые пробегали не 2 значения ±1, отвечающих двум поляризациям фотона/электрона, а три значения: добавлялся 0, отвечающий потере фотона.Если предположить, что потеря фотона может коррелировать с его поляризацией, то можно построить такой набор классических вероятностей для18 Т. к. спин фотонов неподелить на 2.1,2а 1, углы между направлениями анализаторов для фотонов надо7.6. Т ЕОРЕМАО НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ **241каждой из комбинаций трёх исходов, которая позволит воспроизвести экспериментальные корреляции.Таким образом, эксперимент Аспекта подтверждает нарушение неравенств Белла тольков предположении независимости события регистрации фотона от его поляризации.Теоретически это означает, что эксперимент Аспекта не полностью закрывает возможность построения локальной теории скрытых параметров, хотя и сильно ограничиваетРис. 7.12.

Алан Аспект.свойства таких теорий.7.6. Теорема о невозможности клонирования квантовогосостояния**Теорема о невозможности клонирования квантового состояния утверждает, что невозможно, имея квантовую систему в некотором произвольномнеизвестном состоянии ψ, приготовить две системы в том же состоянии ψ.Однако, если состояние ψ известно, то мы можем приготовить в этомсостоянии произвольное число систем, причём нам даже не нужна исходнаясистема-образец в этом состоянии.Приготовление системы подразумевает возможность произвольногочередования любых измерений с унитарной эволюцией под действием произвольных гамильтонианов с отбором систем по результатам измерений.Эти три процедуры позволяют также описать приготовление системы, которое зависит от результатов промежуточных измерений.Если не нормировать волновые функции на единицу, то процесс приготовления системы сводится к последовательному действию на исходноесостояние (здесь |φ0 — состояние окружения)|Ψ0 = |ψ|φ0 различных унитарных операторов эволюции и проекторов (или иных операторов, описывающих измерение), произведение которых даёт некоторыйлинейный оператор K̂, который может зависеть от результатов промежуточных измерений.Линейность оператора, приготовления состояния K̂ подсказывает идеюдоказательства:242ГЛАВА 7Начальное состояние |Ψ0 линейно по |ψ, следовательно, конечноесостояние |Ψ1 = |ψ|ψ|φ1 также должно быть линейно по ψ, что,вероятно, невозможно.Рассмотрим два линейно независимых состояния ψ1 и ψ2 и предположим, что мы можем клонировать и эти состояния, и их сумму ψ1 + ψ2с помощью одного оператора K̂.Для ψ1 и ψ2 получаемK̂|ψ1 |φ0 = |ψ1 |ψ1 |φ1 ,K̂|ψ2 |φ0 = |ψ2 |ψ2 |φ2 .Для ψ1 + ψ2 в силу линейности K̂K̂|ψ1 + ψ2 |φ0 = |ψ1 |ψ1 |φ1 + |ψ2 |ψ2 |φ2 + |ψ1 |ψ2 0 + |ψ2 |ψ1 0.С другой стороны, если состояние ψ1 + ψ2 клонируется тем же оператором K̂:K̂|ψ1 + ψ2 |φ0 = |ψ1 + ψ2 |ψ1 + ψ2 |φ1+2 == |ψ1 |ψ1 |φ1+2 + |ψ2 |ψ2 |φ1+2 + |ψ1 |ψ2 |φ1+2 + |ψ2 |ψ1 |φ1+2 .Из линейной независимости ψ1 и ψ2 следует линейная независимость ихтензорных произведений|ψ1 |ψ1 ,|ψ2 |ψ2 ,|ψ1 |ψ2 ,|ψ2 |ψ1 .В силу этого, сравнивая два выражения для K̂|ψ1 + ψ2 |φ0 , получаем, приравнивая последние тензорные множители при одинаковых первых двух:|φ1+2 =|φ1+2 =|φ1+2 =|φ1+2 =|φ1 ,|φ2 ,0,0.Таким образом, мы не можем клонировать с помощью одного и тогоже оператора K̂ даже состояния из двумерного линейного подпространства,натянутого на ψ1 и ψ2 .

Случай же одномерного подпространства интересане представляет, поскольку знание одномерного подпространства означаетзнание состояния (с точностью до множителя).Если можно было бы клонировать некоторое состояние системы, то мымогли бы, совершая различные измерения для разных «клонов», полностью7.6. Т ЕОРЕМАО НЕВОЗМОЖНОСТИ КЛОНИРОВАНИЯ **243(с точностью до общего множителя) определить волновую функцию системы, однако в силу теоремы о невозможности клонирования произвольнаяволновая функция единичной системы оказывается недоступна измерению.Невозможность клонирования также означает невозможность «подсмотреть» унитарную эволюцию системы, не прерывая её. В частности,это накладывает ряд принципиальных ограничений на работу с квантовымкомпьютером (невозможность «следить» за процессом вычислений, невозможность полностью использовать квантовый параллелизм и т.

д.).7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*)Теорема о невозможности клонирования квантового состояния гласит,что, имея некоторую систему в неизвестном (произвольном) квантовом состоянии, мы не можем приготовить две системы (или более) в таком жесостоянии. Разумеется, если мы знаем в каком состоянии система, то мыв принципе можем приготовить сколь угодно много систем в таком же состоянии.Чтобы понять, какие физико-философские последствия имеет теорема о невозможности клонирования, давайте предположим противное:представим себе, что у нас есть некоторое клонирующее устройство,осуществляющее клонирование квантового состояния, и изучим, к какимпоследствиям это может привести.Многократно измеряя для системы в одинаковом состоянии какойлибо полный набор совместных наблюдаемых n, мы можем (благодаряклонирующему устройству) набрать статистику и получить распределениевероятностей всевозможных исходов измерения, т.

е. определить функциюpn = |ψn |2 для данного базиса.Это пока не позволяет определить саму волновую функцию, т. к. мыпока знаем только модули амплитуд |ψn |, но не фазы arg(ψn ). Однако,обладая клонирующим устройством, мы можем набрать статистику длянескольких разных полных наборов наблюдаемых и получить распределения вероятностей для различных базисов.Неизмеримость волновой функции (ф*)Совокупность распределений вероятности для всевозможных наборов наблюдаемых называется квантовой томограммой19 .