М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 44

В этом случае мы не можем7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ227определить состояния подсистем через волновые функции или матрицыплотности так, чтобы по состояниям подсистем можно было восстановитьсостояние сложной системы (см. 4.8.2 «Матрица плотности для подсистемы*»).Если в запутанном состоянии зацеплены состояния подсистем, которые удалены друг от друга в пространстве, то такие запутанные состоянияназываются нелокальными состояниями.7.5.2. Зацепленные состояния при селективном измерении (ф*)Если измерению подвергается подсистема, входящая в некоторуюсложную систему, то оператор Â1 ∈ H1 ⊗ H1∗ , действующий на состояние подсистемы, следует заменить на оператор Â1+2 = Â1 ⊗ 1̂2 , где1̂2 ∈ H2 ⊗ H2∗ — единичный оператор, действующий на остальную частьсложной системы.

Аналогичный вид имеют и проекторы, переводящие состояние до измерения, в состояние после измерения при определённом исходе:P̂1+2 = P̂1 ⊗ 1̂2 .Если состояния подсистем незацеплены, то состояние системы представимо в виде произведения состояний подсистем |ψ = |ψ1 |ψ2 , и после измерения состояние второй подсистемы не изменяется:(P̂1 ⊗ 1̂2 )|ψ1 |ψ2 = (P̂1 |ψ1 )(1̂2 |ψ2 ) = (P̂1 |ψ1 )|ψ2 .В этом случае, если производить измерения над второй подсистемой, товероятности исходов не будут зависеть от того, что было ранее сделанос первой подсистемой.Однако, если состояния подсистем зацеплены, то результат измерения над второй подсистемой может зависеть от того, что ранее происходило с первой.

Пусть, например, исходное состояние имело вид |ψ1 |ψ2 ++ |ψ1 |ψ2 , тогда(P̂1 ⊗ 1̂2 )(|ψ1 |ψ2 + |ψ1 |ψ2 ) = (P̂1 ⊗ 1̂2 )|ψ1 |ψ2 + (P̂1 ⊗ 1̂2 )|ψ1 |ψ2 == (P̂1 |ψ1 )|ψ2 + (P̂1 |ψ1 )|ψ2 .Если векторы P̂1 |ψ1 и P̂1 |ψ1 параллельны (например, если проектор P̂1является проектором на одномерное пространство P̂1 = |φ1 φ1 |), тоP̂1 |ψ1 = c|φ1 ,c = φ1 |ψ1 ,P̂1 |ψ1 = c |φ1 ,c = φ1 |ψ1 .228ГЛАВА 7В этом случае после измерения состояние «распутывается»:(P̂1 ⊗ 1̂2 )(|ψ1 |ψ2 + |ψ1 |ψ2 ) = |φ1 (c|ψ2 + c |ψ2 ).Амплитуды c и c , с которыми состояния |ψ2 и |ψ2 входят в суперпозицию, зависят от того, в каком состоянии |φ1 оказалась после измеренияподсистема-1.

Состояние |φ1 является собственным состоянием оператора наблюдаемой, которая измерялась для подсистемы-1. И хотя наблюдатель-1 не может влиять на квантовые вероятности исходов данного конкретного измерения, он может выбрать какую именно наблюдаемую мерить.Результат его выбора после измерения мгновенно отразится на состоянииподсистемы-2. В этом состоит нелокальность квантовой механики.Например, если мы имеем перепутанное состояние двух спинов, отвечающее суммарному спину 0:| ↑| ↓ − | ↓| ↑| →| ← − | ←| →=,22где| → =| ↑ + | ↓√,2| ← =| ↓ − | ↑√,2(7.14)то обнаружение 1-й частицы в состоянии спин вверх | ↑ или спин вниз| ↓, спин вправо | → или спин влево | ← автоматически переводит 2-ючастицу в состояние с противоположным направлением спина.

Наблюдатель-1 может при этом выбрать будет ли он измерять проекцию спина наось вверх-вниз (и обнаружит | ↑ или | ↓), или на ось вправо-влево (и обнаружит | → или | ←), хотя и не может предрешить результат выбранногоизмерения.Если бы наблюдатель-1 всё время измерял один и тот же оператор, токвантовая нелокальность была бы полностью эквивалентна классической«нелокальности», возникающей тогда, когда мы, обнаружив, что надели направую ногу чёрный ботинок, а на левую коричневый, мгновенно определяем, что дома остался левый чёрный ботинок и правый коричневый (см.рис.

7.8). В классической физике мы не можем обнаружить ботинок в сос√√тоянии чёрный+коричневыйили коричневый−чёрный, но в квантовой физике спин22√√= вправо или вниз−вверх= влевоэлектрона может быть направлен вверх+вниз22(см. (7.14)).Как мы увидим далее, квантовая нелокальность не может быть использована для передачи со сверхсветовой скоростью какой-либо информации.7.5.

К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ229Рис. 7.8. Кадры из фильма «Высокий блондин в чёрном ботинке» (второй кадр данв зеркальном отражении, для соответствия мысленному эксперименту).Чтобы эту нелокальность обнаружить, наблюдатели 1 и 2 должны провестисерию измерений над запутанными состояниями и убедиться, что их результаты скоррелированы между собой. Однако результаты каждого наблюдателя в отдельности никаких странностей не проявляют.

(См. следующиеразделы.)7.5.3. Зацепленные состояния при неселективном измерении (ф*)Выше мы увидели, что измерение, совершаемое наблюдателем-1 надодной подсистемой запутанной системы, может мгновенно влиять на состояние другой подсистемы. Мы рассматривали это измерение как селективное, т. е. предполагали, что его результат известен наблюдателю-2, которыйэкспериментирует со второй частью системы. Однако наблюдатель-2 не может знать волновую функцию своей собственной подсистемы-2, до тех порпока ему не сообщили результаты измерения наблюдателя-1, а до тех порон может говорить лишь о вероятности той или иной волновой функцииподсистемы-2.Таким образом, если экспериментаторы вместе с подсистемами удалены друг от друга, то результаты наблюдателя-1 сразу после измерения неизвестны наблюдателю-2, а значит измерение над подсистемой-1 с точкизрения наблюдателя-2 следует рассматривать как неселективное и описывать состояния подсистем в помощью матриц плотности:ρ̂1 = tr2 ρ̂, ρ1 (x1 ; x2 ) = dy ρ(x1 , y; x2 , y).При вычислении частичного следа на результат влияют только диагональные по переменным интегрирования y компоненты матрицы полной матрицы плотности.230ГЛАВА 7При неселективном измерении наблюдаемой величины a(y) (коммутирующей (одновременно измеримой) с y и описывающей подсистему-2)в матрице плотности обнуляются все компоненты ρ(x1 , y1 ; x2 , y2 ), для которых a(y1 ) = a(y2 ):ρпосле (x1 , y1 ; x2 , y2 ) = ρ(x1 , y1 ; x2 , y2 ) · δa(y1 ),a(y2 ) .Диагональные по y компоненты матрицы плотности при этом не меняются,поэтому не меняется матрица плотности для подсистемы-1.Какую бы наблюдаемую Â для подсистемы-2 мы не измеряли, мыможем выбрать в качестве y набор наблюдаемых, коммутирующих с Â,и представить наблюдаемую в виде функции a(y).Таким образом, никакое неселективное наблюдение, выполненноенад подсистемой-2, не может изменить состояния (матрицу плотности)подсистемы-1 и наоборот.

В этом состоит локальность квантовой механики.Как мы только что убедились, описанная выше нелокальность квантовой механики проявляется только для селективных измерений, а значит онане может привести к мгновенной передаче информации на расстоянии и непротиворечит специальной теории относительности.7.5.4. Классические измерения (ф*)Почти все результаты, которые были получены для селективныхи неселективных измерений выше, можно повторить и для классическихизмерений.Состояния классической системы, состоящей из двух подсистем, мыможем описать совместным распределением вероятностей (x, y), где наборы наблюдаемых x и y описывают первую и вторую подсистемы соответственно.Состояние является коррелированным (аналог запутанного), еслионо не может быть представлено как произведение распределений для отдельных подсистем:(x, y) = 1 (x) · 2 (y).Если над подсистемой-2 совершается селективное измерение и в результате установлено, что y ∈ W (W — область с ненулевым объёмом), тосостояние системы в целом умножится на характеристическую функцию(см.

(3.10)) множества W :после (x, y) = (x, y) · IW (y).7.5. К ВАНТОВАЯ ( НЕ ) ЛОКАЛЬНОСТЬ231При точном измерении y, показавшем, что y = y0 , распределение надоаналогично умножить на δ-функцию:после (x, y) = (x, y) · δ(y − y0 ).При таком измерении новое распределение уже оказывается некоррелированным (т. е. представляется как произведение независимых распределенийдля подсистемы-1 (x, y0 ) и подсистемы-2 δ(y − y0 )).Распределение для подсистемы-1 получается интегрированием по переменным подсистемы-2. Таким образом, до измерения мы имеем1 (x) = dy (x, y),(7.15)а после селективного измерения1после (x) = (x, y0 )или1после (x) =dy (x, y).WТаким образом, селективное измерение, выполненное над подсистемой-2,мгновенно изменило распределение вероятностей для подсистемы-1.Если же измерение над подсистемой-1 является неселективным, тораспределение вероятностей для подсистемы-2 неизвестно, и мы должныусреднить это распределение по всем возможным y, что снова, как и доизмерения, даёт (7.15).

То есть неселективное измерение, выполненное надодной подсистемой, в классической теории не может изменить распределение вероятностей для другой подсистемы.Таким образом, все рассуждения о селективных и неселективных измерениях систем в запутанных состояниях переносятся из квантовой теориив классическую за одним принципиальным исключением: в классическойтеории любые наблюдаемые считаются одновременно измеримыми (вспомним ещё раз ботинок Пьера Ришара, рис. 7.8).