М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 17

Этосоответствует тому, что никаких экранов между источником и пластинкой3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)65больше нет, и мы вернулись к первоначальной ситуации. Зато теперь мы понимаем, что амплитуда попадания частицы из одной точки в другую можетбыть вычислена суммированием (интегрированием) амплитуд по всем возможным траекториям, по которым частица могла бы пройти. При формализации этих качественных рассуждений мы получим метод фейнмановскихинтегралов по траекториям, широко применяемый в современной квантовой теории.w(x)2|?exp(iS[x(t)/h])Dx(t)| ==|lim ?A1A1®2'...An®f|An®f2A1xРис. 3.9. Снова, как в оптике, мы можем считать, что частица распространяетсяпо всем траектория одновременно, а амплитуда вероятности задаётся как сумма(точнее интеграл) по всем возможным траекториям.Амплитуда вероятности задаётся как экспонента от действия вдольтраектории⎛⎞t1iiexpS[x(t)] = exp ⎝L(x, ẋ) dt⎠.(3.26)h̄h̄t0Амплитуда быстро колеблется при переходе от траектории к траектории,поэтому вклад большинства траекторий взаимно уничтожается.

Основнойвклад, как правило, дают те траектории, около которых эти колебания замедляются, для которых действие S[x(t)] при малой вариации траекторииδx(t) меняется мало, т. е. если выполняется условиеδS[x(t)] = S[x(t) + δx(t)] − S[x(t)] + o(δx) =∂== 0,∀δx(t).S[x(t) + ε · δx(t)]∂εε=0(3.27)66ГЛАВА 3В этом случае вклады соседних траекторий складываются с одинаковойфазой и усиливают друг друга.

Условие (3.27) совпадает с принципом экстремального действия в теоретической механике, который, таким образом,в некотором смысле «выводится» из квантовой механики.При суммировании амплитуд свой вклад вносят и траектории, невозможные с классической точки зрения, например в рассматриваемом вышепримере мы учитывали траектории, на которых частица сама собой разворачивается в пустом пространстве, нарушая, тем самым, закон сохраненияимпульса. Следует учитывать и траектории, для прохождения которых у системы не хватает энергии. С этим связан туннельный эффект, позволяющий частице с некоторой вероятностью проходить через потенциальныйбарьер, для преодоления которого у неё недостаточно энергии.Метод интегралов по путям естественно обобщается на процессы,в ходе которых частицы могут рождаться, уничтожаться и превращаться друг в друга. В этом случае надо дополнительно просуммировать повсем возможным процессам взаимопревращений частиц.

Так, например,для описания рассеяния электрона на электроне надо суммировать амплитуды процессов на рис. 3.10.++++++Рис. 3.10. Рассеяние электрона на электроне определяется как суперпозиция следующих процессов: электроны свободно движутся; электроны свободно движутся, но мы их перепутали (поскольку электроны принципиально неразличимы, надосуммировать амплитуды, а не вероятности), электроны обменялись одним виртуальным фотоном (для которого энергия и импульс связаны «неправильным образом»),электроны обменялись одним виртуальным фотоном и перепутались, электроны обменялись сперва одним фотоном, а потом вторым, электроны испустили по фотону,и каждый поглотил «чужой» фотон, и т. д.(**) Диаграммы на рис. 3.10 являются на самом деле формулами.

Каждая линия изображает распространение частицы между начальным и конечным состояниями всеми возможными способами. Интеграл по траекториям,соответствующий одной такой линии (пропагатор), мы можем вычислитьодин раз, а далее использовать готовое выражение.

После этого вычисле-3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)67ние амплитуды процесса будет сводиться к суммированию всех возможныхдиаграмм, в которых имеются два начальных электрона, два конечных, а всевершины имеют вид как на рис. 3.114 .Рис. 3.11. Вершина для взаимодействия электрона с электромагнитнымполем.Рис. 3.12. Ричард Филлипс Фейнман(1918–1988).Такие рисунки и соответствующие им амплитуды называются диаграммами Фейнмана.

Здесь ровные линии со стрелками обозначают электроныи позитроны, а волнистые — фотоны. Всевозможных промежуточных процессов бесконечно много, но, как правило (в хороших теориях), хорошееприближение получается суммированием первых самых простых диаграммФейнмана. Подобный набор картинок, изображающих протекание процессавсеми возможными способами, задаёт для этого процесса ряд теории возмущений, причём степень малости вклада каждой диаграммы определяетсячислом вершин (каждая вершина — множитель).3.2.1. Большое в малом (ф*)Конечно, это были совсем не пчёлы; по правде говоря, этобыли слоны, в чём Алиса очень скоро убедилась.Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Мы можем придти к следующему общефилософскому заключению.В квантовой системе, как правило, может произойти всё, что не запрещено законами сохранения, хотя и с различными амплитудами вероятности.Так, если мы столкнём на ускорителе две частицы с энергией, достаточной4 Поскольку здесь важна идея вычисления амплитуды как суммы амплитуд всех возможныхпроцессов, мы не останавливаемся на деталях диаграммной техники.68ГЛАВА 3Рис.слон.3.13.

ЗазеркальныйРис. 3.14— Взгляни-ка на то облачко, . . . — Это вьются Бегемошки. . . .— А что они едят? — снова спросила Алиса.— Мелкую рыбёшку и лягушек! . . .— А если рыбок не будет? . . .— Тогда они, конечно, умрут, . . .— И часто так бывает?— Всегда, . . . .Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Как и бегемошкам, виртуальным частицам не хватает энергии, чтобы существовать, и они всегда распадаются5для рождения зелёного слоника, то с некоторой ненулевой вероятностьюзелёный слоник возникнет (хотя эта вероятность будет заметно меньше, чемвероятность самопроизвольной сборки слоника из отдельных атомов в результате броуновского движения, а среднее время ожидания такого событияна много порядков превысит возраст Вселенной).

Но даже если энергиянашего ускорителя недостаточна для рождения зелёных слонов, то в процессе столкновения двух частиц зелёный слоник может возникнуть в промежуточном состоянии, чтобы потом распасться (аналогично прохождениючастицы при туннельном эффекте через потенциальный барьер, высота которого превышает энергию частицы). Правда существовать такой виртуальный слоник сможет очень короткое время, определяемое соотношениемнеопределённостиδE · δt ∼ h̄,(3.28)где δE — энергия, которой нам не хватает, чтобы создать слоника, δt —время его существования, а h̄ — постоянная Планка. Хотя вклад процессовс участием виртуальных слоников в рассеяние элементарных частиц исчезающе мал, но другие, не столь тяжёлые, объекты действительно начинают заметно (измеримо) влиять на жизнь элементарных частиц на энергияхмного меньших, чем энергия, необходимая для их рождения.5 Рисунки слона и бегемошки художника И.

И. Казаковой воспроизведены по изданию Льюис Кэрролл «Приключения Алисы в стране чудес; Алиса в Зазеркалье», Петрозаводск: Карелия, 1979.3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)69Так, например, при β-распаде свободного нейтрона (см. рис. 3.156 )он испускает виртуальный калибровочный W − бозон, который тяжелеенейтрона в 80 раз, и энергии на образование которого у нейтрона «почестному» нет. В процессе испускания W − нейтрон n превращается в протон p (который лишь чуть-чуть легче нейтрона), а W − очень быстро распадается на электрон e− и электронное антинейтрино ν̄e . Поскольку длянастоящего рождения W − бозона не хватает очень большого количестваэнергии, время существования W − крайне мало, а время жизни свободного нейтрона очень велико — почти 15 минут7 .Принцип «возможно всё, что разрешенозаконами сохранения» «объясняет» нестабильность всех частиц, которым есть куда распадаться.

Нейтрону энергетически выгодно распасться на протон, электрон и электронное антинейтрино, никакие законы сохранения емуэтого не запрещают, вот он это и делает.Протон, конечно, тоже может испустить Рис. 3.15. Распад нейтрона.виртуальный W + и превратиться в нейтрон, Изображена диаграмма, даюс дальнейшим распадом W + → ēνe , вот толь- щая главный вклад в ампко для того, чтобы нейтрон, позитрон и ней- литуду процесса.

Виртуальтрино стали реальными частицами, им не хва- ный W − выступает в ролитает энергии, а потому им надо быстро-быстро бегемошки с рис. 3.14.(за время, отводимое соотношением неопределённости) собраться обратно в протон и сделать вид, что всё так и было.(Как показывает квантовая теория поля, подобные процессы действительновлияют на свойства элементарных частиц.)Аналогично все фермионы второго и третьего поколений могут (через слабое взаимодействие) превратиться в фермионы первого поколения(которым дальше распадаться некуда), и поэтому они так делают.6 Сплошная стрелка — фермион (длинная — барион, короткая — лептон), прозрачная стрелка — заряд. Для античастицы сплошная стрелка рисуется на заднем конце.

Для заряженнойчастицы прозрачная стрелка рисуется на переднем конце для положительного заряда, и назаднем — для отрицательного. Непрерывность стрелок каждого типа позволяют проследитьсохранение электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел.7 Внутри стабильного атомного ядра условия иные, и нейтрон может жить неограниченнодолго.ГЛАВА 4Математические понятияквантовой теории. . .

между математическими понятиями подчас возникают совершеннонеожиданные связи и . . . именно эти связи позволяют нам удивительноточно и адекватно описывать различные явления природы. . . . в силупоследнего обстоятельства (поскольку мы не понимаем причин,делающих математические понятия столь эффективными) мы не можемутверждать, является ли теория, сформулированная на языке этихпонятий, единственно возможной.Юджин Вигнер, «Непостижимая эффективность математикив естественных науках»В этой главе вводятся основные математические понятия, на языке которых квантовую механику удобно излагать и понимать.