Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 16

Описание файла

PDF-файл из архива "М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 16 страницы из PDF

он проецирует все волновыефункции на некоторое линейное подпространство волновых функций), чтоозначает, что двухкратное действие этого оператора даёт тот же результат,что и однократное2P̂[a,b] P̂[a,b] ψ(x) = I[a,b](x)ψ(x) = I[a,b] (x)ψ(x) = P̂[a,b] ψ(x).(3.11)Определяя произведение операторов как оператор, действие которого напроизвольную волновую функцию даёт тот же результат, что и последовательное действие (справа налево) всех сомножителей, мы можем записатьопределение проектора следующим образом:P̂ 2 = P̂ .(3.12)В дальнейшем мы будем иметь дело и с другими линейными операторами,действующими на волновые функции, при этом очень многие физическиосмысленные операторы окажутся связаны с проекторами.3.1.5.

Амплитуда при измерении и скалярное произведениеПусть волновая функция Ψ(n) задаёт амплитуду вероятности обнаружить систему во взаимоисключающих состояниях φn , нумеруемых дискретным параметром n. Состояния φn образуют максимальный набор взаимоисключающих состояний, т. е.

если система находится в состоянии φn ,то она не может быть найдена в состоянии φk (k = n), причём набор неможет быть расширен.Поскольку суммарная вероятность единица, следует положить условиенормировки на единицу:Ψ2 = Ψ|Ψ =|Ψ(n)|2 = 1.nТаким образом, у нас есть естественная операция взятия скалярного квадрата волновой функции. Имея операцию взятия скалярного квадрата, мыможем ввести операцию взятия скалярного произведения:Φ|Ψ =Φ∗ (n) Ψ(n).n3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ59Компонента волновой функции Ψ(n) может быть записана как скалярное произведение функции Ψ на базисную функцию φn (φn (k) = δnk ),которая также нормирована на единицу:1, n = k,∗Ψ(n) = φn |Ψ = Ψ|φn ,φn |φk = δnk =0, n = k.Мы уже знаем физический смысл компоненты Ψ(n) волновой функции, как амплитуды вероятности того, что система, находящаяся в состоянии Ψ, будет обнаружена в состоянии φn , и это позволяет нам установитьфизический смысл скалярного произведения двух нормированных на единицу волновых функций.

Аргументы скалярного произведения равноправны (с точностью до комплексного сопряжения), так что Ψ∗ (n) = Ψ|φn —амплитуда вероятности обратного процесса, т. е. амплитуда того, что система, находившаяся в состоянии φn , будет найдена в состоянии Ψ.Мы можем физически интерпретировать формулу для скалярногоумножения волновых функций в терминах умножения и сложения амплитудвероятности.Пусть Ψ определяет начальное состояние системы, а Φ — конечное(Ψ2 = Φ2 = 1). Мы рассматриваем измерение, которое должно ответить на вопрос «Находится ли система в состоянии Φ?» Прыжок в состояние Φ мы будем рассматривать как «благоприятный» результат измерения.Можно считать, что переход из состояния Ψ в состояние Φ осуществляется через любое промежуточное состояние φn , причём определить черезкакое именно из состояний φn прошла система в принципе невозможно.Амплитуда перехода из Ψ в Φ через φn задаётся как произведениеамплитуд перехода из Ψ в φn и из φn в Φ:AΦ←φn ←Ψ = Φ∗ (n) Ψ(n) .

Φ←φn φn ←ΨСуммарная амплитуда перехода задаётся суммой (интегралом, в случаенепрерывного спектра по n) по всем промежуточным состояниям φn :Φ∗ (n) Ψ(n) .(3.13)AΦ←Ψ =nΦ←φn ←ΨВычисление амплитуды перехода может быть представлено рис. 3.5,который по существу является другой записью формулы (3.13).Таким образом, оказывается, что для волновых функций имеется физически осмысленное скалярное произведение, дающее для нормированных на единицу волновых функций амплитуду вероятности перехода из60ГЛАВА 3n=1F*(1)Y(1)n=2FF*(2)F*(...)Y(2) YY(...)n = ...Рис. 3.5. Переход от Ψ к Φ совершается через все возможные взаимоисключающиесостояния n по стрелкам с соответствующими амплитудами согласно (3.13).одного состояния в другое при измерении.

Сама структура формулы скалярного произведения имеет физический смысл, показывая, что переходосуществляется через все возможные взаимоисключающие промежуточныесостояния.Наборы амплитуд Ψ(n) и Φ(n) можно рассматривать как компонентыкомплексных векторов. Тогда замена базиса будет соответствовать замененабора взаимоисключающих состояний φk (базиса) новым набором состояний (базисом) φk , который состоит из суперпозиций (линейных комбинаций)состояний старого базиса. Разложение по новому базису будет ничуть нехуже, чем разложение по старому, если новый базис также будет ортонормированным, т. е. если скалярное произведение (3.13) будет в нём задаваться прежней формулой.Оказывается естественным смотреть на волновые функции как на комплексные векторы (возможно, бесконечномерные).

Аргументы волновыхфункций при этом нумеруют компоненты вектора в конкретном базисе,а значение волновой функции в точке выступает как компонента вектора.3.1.6. Марковский процесс и квантовая эволюция*Марковский процесс — это случайный процесс, поведение которогозависит только от текущего состояния системы. Пусть p(n, t) — вероятность состояния номер n (из некоторого дискретного набора3 ) в момент3 В случае, если состояния нумеруются непрерывной переменной x, надо перейти к плотности вероятности (x, t) и от суммы к интегралу, причём функция M (x, x ) будет обобщённой,но идейно это нам ничего не даст, поэтому мы пока не будем усложнять рассмотрение.3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ61времени t. Марковский процесс с дискретным временем с шагом δt можноописать с помощью матрицы δt · M (n, n ), недиагональные компоненты которой задают условные вероятности переходов из n в n, а диагональные —условные вероятности ухода из данного состояния со знаком минус:p(n, t + δt) = p(n, t) + δt ·M (n, n ) p(n , t).(3.14)nЕсли устремить шаг по времени к нулю δt → 0, то получается линейноеуравнение для марковского процесса с непрерывным временем:∂p(n, t) =M (n, n ) p(n , t).(3.15)∂tn Просуммировав уравнение по n с учётом сохранения вероятностиn p(n, t) = 1 и произвольности p(n, t) получаем условие сохранения вероятностиM (n, n ) = 0.(3.16)nПомимо этого имеются условия на положительность вероятностейи условных вероятностей:M (n, n ) 0, n = nM (n, n) 0,p(n, t) 0.(3.17)(3.18)(3.19)Квантовый аналог марковского процесса, когда над системой не совершается наблюдений, можно получить заменив вероятности p(n, t) наамплитуды ψ(n, t), а условные вероятности в единицу времени M (n, n ) наусловные амплитуды в единицу времени A(n, n ).

Для дискретных состояний получаем∂ψ(n, t) =A(n, n ) ψ(n , t).(3.20)∂tnУравнение (3.20) — это временно́е уравнение Шрёдингера.Как и уравнение марковского процесса, уравнение Шрёдингера всегдалинейно.Согласно традициям квантовой механики матрица условных вероятностей A(n, n ) записывается через матрицу оператора Гамильтона H(n, n )A(n, n ) = −iH(n, n ).h̄62ГЛАВА 3Уравнение Шрёдингера (3.20) переписывается с следующем видеi ∂ψ(n, t) = −H(n, n ) ψ(n , t).∂th̄ (3.21)nУсловие сохранения вероятности в данном случае оказывается сложнее∂ψ ∗ (n, t)ψ(n, t)∂ψ ∗ (n, t)∂p(n, t)∂ψ(n, t)== ψ ∗ (n, t)+ ψ(n, t)=∂t∂t∂t∂t= ψ ∗ (n, t)A(n, n ) ψ(n , t) + ψ(n, t)A∗ (n, n ) ψ ∗ (n , t).n ∂p(n, t)n∂t=0=nψ ∗ (n, t)(A(n, n) + A∗ (n , n))ψ(n , t).n,nВ силу произвольности ψ(n, t) получаем условие сохранения вероятностиA(n, n ) + A∗ (n , n) = 0⇔H(n, n ) = H ∗ (n , n).(3.22)Однако, условия положительности, аналогичные (3.17), (3.18), (3.19)в квантовом случае отсутствуют! Это связано с тем, что вероятностиp(n, t) = |ψ(n, t)|2 положительны по определению, а промежуточные переходы не наблюдаются, а потому описываются не вероятностями, а амплитудами.Это приводит к важному физическому различию.

Классический марковский процесс либо тривиален (M (n, n ) ≡ 0), либо необратим, т. к. приизменении знака времени матрица M (n, n ) должна менять знак, что запрещено условиями положительности (3.17),(3.18). Уравнение Шрёдингера (квантовый аналог марковского процесса) наоборот, всегда обратимо,т. к. условие (3.22) сохраняется при изменении знака времени.3.2. Возможно всё, что может произойти (ф*)Рассмотрим квантовую эволюцию, описанную выше в разделе 3.1.6«Марковский процесс и квантовая эволюция*» с другой точки зрения.Представим себе следующий эксперимент, в котором частицы вылетают из источника и попадают на фотопластинку, на которой возникаетинтерференционная картина. Пусть вначале между источником и фотопластинкой нет никаких препятствий (рис.

3.6). Теперь поместим между фотопластинкой и источником экран с двумя щелями (рис. 3.7). Чтобы получить3.2. В ОЗМОЖНОВС Ё , ЧТО МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ( Ф *)63амплитуду вероятности попадания частицы в некоторую точку пластинки,мы должны сложить амплитуды попадания частицы в заданную точку двумя различными способами: через первую щель и через вторую. Каждая изэтих амплитуд вычисляется как произведение амплитуды попадания в соответствующую щель и условной амплитуды попадания из этой щели в заданную точку пластинкиAf = A1 A1→f + A2 A2→f .(3.23)w(x)xРис.

3.6. Частицы беспрепятственно падают на экран.Поставим после экрана с двумя щелями ещё один экран с двумя щелями (рис. 3.8). Теперь амплитуда попадания частицы в щели 1 и 2 определяется по аналогичным формулам:A1 = A1 A1→1 + A2 A2→1 ,A2 = A1 A1→2 + A2 A2→2 .(3.24)Если подставить эти формулы в (3.23), то получится сумма по всемкомбинациям щелей, через которые может пройти частица по пути к фотопластинке:Af = A1 A1→1 A1 →f + A2 A2→1 A1 →f ++ A1 A1→2 A2 →f + A2 A2→2 A2 →f . (3.25)Будем и далее добавлять между источником и фотопластинкой всё новые и новые экраны, а в экранах будем делать всё новые и новые ще-64ГЛАВА 3Рис.

3.7. Интерференция на 2 щелях.Рис. 3.8. Интерференция на 2 ширмах с 2 щелями каждая.ли. Амплитуда вероятности попадания частицы в заданную точку фотопластинки даётся всё более и более громоздкими суммами по всем возможнымкомбинациям щелей, через которые может пройти частица, а каждый членсуммы задаётся длинным произведением условных амплитуд вероятностипопадания частицы из одной точки в другую.В пределе мы можем поставить экраны всюду между источником и фотопластинкой, а в каждом экране сделать щели тоже всюду (рис. 3.9).

Свежие статьи
Популярно сейчас