М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 15

В третьейстрочке формулы мы воспользовались теоремой косинусов.Формула (3.5) отличается от (3.2) лишним членом, который называется интерференционным членом:√(A∗a Ab + Aa A∗b ) = 2|Aa | |Ab | cos(ϕa − ϕb ) = 2 pa pb cos(ϕa − ϕb ). (3.6)Интерференционный член, как правило, не является малой поправкой, онсравним по величине с классическими слагаемыми. В зависимости от разности фаз между амплитудами интерференционный член может быть положительным, отрицательным или нулём.

Так, если |Aa | = |Ab |, то квантовая вероятность p(a или b) = 2|Aa |2 (1 + cos(ϕa − ϕb )) может меняться отнуля до удвоенной классической вероятности 4|Aa |2 .Почему мы не видим интерференционного члена в классических опытах? Это может происходить по одной из двух причин.1. В классических опытах мы не можем зафиксировать фазы амплитудвероятности, которые случайно меняются от опыта к опыту.

В результате происходит усреднение по фазе, и интерференционный член исчезает.3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ53Если мы плохо различаем похожие, но не совпадающие состояния системы (как в классике), то мы вместо реальной интерференционной картинынаблюдаем усреднённую (сглаженную), а поскольку интерференционныйчлен оказывается быстро осциллирующим, при усреднении по несколькимпохожим результатам он может исчезнуть.2.

Другая причина исчезновения интерференционного члена — наблюдение (неконтролируемое взаимодействие системы с окружением, возможно непроизвольное), которое в принципе позволяет определить как именносистема прошла из начального состояния в конечное. Таким образом, попадание системы в одну точку разными путями будет различимым, посколькуинформация о пути либо известна, либо «записана» в окружении. А дляразличимых событий мы должны складывать не амплитуды, а вероятности,т. е. интерференционный член исчезает.3.1.2. Умножение вероятностей и амплитудЕсли событие происходит «в два приёма», т. е. если нас интересует вероятность того, что система из состояния 1 перейдёт сначала в состояние 2,а потом в состояние 3, то в классической теории вероятности нам надоумножить вероятность перехода 1 → 2 на вероятность перехода 2 → 3:p(1→2→3) = p(1→2) p(2→3) .(3.7)В квантовой теории данная формула переносится на амплитуды вероятностиA(1→2→3) = A(1→2) A(2→3) .(3.8)Подобно тому, как вероятность p(1→2) того, что после 1 произойдёт 2,называют условной вероятностью, амплитуду A(1→2) естественно назватьусловной амплитудой вероятности.Взяв абсолютные величины от левой и правой частей формулы (3.8)и возведя их в квадрат, мы получим в точности формулу (3.7).

Поэтому может возникнуть вопрос о том, получили ли мы что-нибудь новое при заменеформулы для вероятности на формулу для амплитуд. Однако вероятностине содержат информации о фазах, поэтому разница между умножением вероятностей и амплитуд станет важной, если амплитуду, полученную какпроизведение, нам придётся складывать с какой-то другой амплитудой.3.1.3. Объединение независимых подсистемЕщё один случай умножения вероятностей — объединение независимых подсистем.

Пусть одна подсистема описывается распределением 1 (x),54ГЛАВА 3а вторая — 2 (y), тогда совместное распределение задаётся их произведением. Такое произведение называется тензорным произведением:(x, y) = 1 (x) · 2 (y)⇔ = 1 ⊗ 2 .Аналогично если одна подсистема описывается волновой функцией ψ1 (x),а вторая — ψ2 (y), то совместная волновая функция задаётся их тензорнымпроизведением:ψ(x, y) = ψ1 (x) · ψ2 (y)⇔ψ = ψ1 ⊗ ψ2 .Ниже мы ещё вернёмся к обсуждению описания состояния сложной системы и её подсистем.3.1.4.

Распределения вероятностей и волновые функциипри измеренииСейчас мы приведём правила изменения распределения вероятностейпри классическом измерении и волновой функции при квантовом.В обоих случаях в результате измерения из плотности вероятности (какфункции измеряемых величин) или волновой функции (амплитуды вероятности, как функции измеряемых величин) вырезается кусок, который соответствует результату измерения.Описания обоих процедур ведётся почти одинаковыми словами. Различия в описаниях выделяются жирным шрифтом.Классический случайПусть классическая система находится в одном из состояний, нумеруемых параметром x, и нам задано распределение вероятностей, т. е.если x дискретно, то мы знаем вероятность px каждого значения x, а если x непрерывно, то мы знаем плотность вероятности (x), как функциюот x.

При этом суммарная вероятность, получаемая суммированием (интегрированием) вероятности (плотности вероятности) по всем значениям x,равняется 1:2+∞(x) dx = 1.−∞2 В этом разделе мы будем считать, что переменная x непрерывна, т. е. для любого конкретного значения x его вероятность равна нулю, хотя плотность вероятности может от нуляотличаться. Если есть некоторый дискретный набор W значений x, для которых вероятностиконечны, то к соответствующим интегралам придётся добавлять суммы. Теперь суммарная3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ55И пусть мы провели над этой классической системой измерение, которое установило, что x принадлежит определённому отрезку x ∈ [a, b].

Вероятность, что измерение даст такой результат, составляетbp[a,b] =(x) dx.aСразу после такого измерения вероятность (плотность вероятности) любого значения x вне заданного отрезка обратилась в нуль. Для точек внутри отрезка отношения вероятностей не изменились. Таким обравероятность будет задаваться так:+∞(x) dx +px = 1.x∈W−∞Мы можем упростить формулы для классических вероятностей, избавившись от сумм, если воспользуемся δ-функцией Дирака. δ(x) — бесконечно узкий и бесконечно высокий пик,сидящий в нуле, такой, что интеграл от него равен 1. δ-функция — не настоящая функция,а обобщённая.

Значение какой-либо обобщённой функции f (x) в точке x0 может быть неопределено, но зато для всякой «достаточно хорошей» функции ϕ(x) определён интеграл+∞f (x)ϕ(x)dx.−∞Определением δ-функции является соотношение:+∞δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0).−∞Мы можем модифицировать распределение вероятностей так, чтобы оно также описываловероятности дискретных событий:px0 · δ(x − x0 ).м (x) = (x) +x0 ∈WТеперь мы можем написать суммарную вероятность так:+∞м (x) dx = 1.−∞Следует заметить, что данный способ избавления от сумм не сработает для амплитуд вероятностей, т.

к. для этого пришлось бы извлекать из δ-функций квадратный корень, а извлечениекорня из обобщённых функций не определено.56ГЛАВА 3Рис. 3.3. Изменение распределения вероятностей при положительном и отрицательном результатах измерения.зом, из первоначального распределения вероятностей «вырезается» отрезок [a, b], все вероятности вне его обнуляются, а все вероятности на этомотрезке делятся на p[a,b] , чтобы суммарная вероятность нового распределения снова оказалась единицей.

Это соответствует переходу к условнымвероятностям, описывающим состояние системы, при условии, что реализовался данный исход измерения.Квантовый случайПусть квантовая система находится в суперпозиции состояний, нумеруемых параметром x, и нам заданы амплитуды вероятностей, т. е. если xдискретно, то возведение амплитуды по модулю в квадрат даёт вероятность каждого значения x, а если x непрерывно, то возведение амплитудыпо модулю в квадрат даёт плотность вероятности как функцию от x.

Приэтом суммарная вероятность, получаемая суммированием (интегрированием) вероятности (плотности вероятности) по всем значениям x, равняется 1.И пусть мы провели над этой квантовой системой измерение, котороеустановило, что x принадлежит определённому отрезку x ∈ [a, b]. Вероятность, что измерение даст такой результат, составляетbp[a,b] =a|ψ(x)|2 dx.3.1. В ЕРОЯТНОСТИИ АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТИ57Y(x)abxY(x)abxY(x)abxРис. 3.4. Изменение волновой функции при положительном и отрицательном результатах измерения.Сразу после такого измерения амплитуда вероятности любого значения xвне заданного отрезка обратилась в нуль. Для точек внутри отрезка отношения амплитуд вероятностей не изменились. Таким образом, из первоначальной волновой функции «вырезается» отрезок [a, b], все амплитуды√вне его обнуляются, а все амплитуды на этом отрезке делятся на p[a,b] ,чтобы суммарная вероятность нового распределения снова оказалась единицей.

Это соответствует переходу к условным амплитудам, описывающим состояние системы, при условии, что реализовался данный исход измерения.Измерение и проекторОперацию вырезания отрезка [a, b] из волновой функции мы можемописать с помощью линейного оператора P̂[a,b] :P̂[a,b] ψ(x) = I[a,b] (x)ψ(x),(3.9)58ГЛАВА 3где IW — характеристическая функция множества W1, x ∈ W,IW (x) =0, x ∈ W.(3.10)Оператор P̂[a,b] является проектором (т. е.