М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 12

д.).• Квантовая теория поля (КТП) (в виде стандартной модели) полностью воспроизводит КМ в пределе малых скоростей и энергий, полностью воспроизводит СТО в пределе больших расстояний, времён,действий (как КМ воспроизводит НМ). КТП согласуется с ОТО в пределе слабых гравитационных полей, но для сильных гравитационныхполей современная КТП не работает.Мы видим, что среди перечисленных теорий две «самые современные»: ОТО и КТП. Они согласуются между собой, но ни одна не покрываетдругую полностью. Конечно, физики мечтают открыть теорию, которая бывоспроизводила в соответствующих пределах и ОТО, и КТП.

Есть разныепретенденты на роль такой теории, но среди них пока нет общепризнанного.2.5. Несколько слов о классической механике (ф)Счастливец Ньютон, ибо картину мира можноустановить лишь однажды.Жозеф Луи ЛагранжКлассическая ньютоновская механика столетиями считалась абсолютно точной и окончательной физической теорией. С начала XX века оказалось, что на самом деле она описывает предельный случай не слишкомбольших и не слишком малых расстояний, времён, масс, скоростей. В своей области применимости, где классическая механика великолепна, она используется до сих пор и будет использоваться всегда. И, согласно принципусоответствия, любая физическая теория должна быть проверена на соответствие с ньютоновской механикой.2.5.

Н ЕСКОЛЬКОСЛОВ О КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ ( Ф )372.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф)Очень трудно сделать точныйпрогноз, особенно о будущем.Нильс Бор WУравнение Шрёдингера всегда устойчиво по начальным данным.В классической механике большинство интересных систем неустойчиво,т. е. первоначальная малая ошибка в начальных данных экспоненциально нарастает со временем.

Например, по оценке для тороидальной Земли характерное время, за которое малые возмущения состояния двумернойатмосферы увеличиваются в e раз, составляет порядка одной недели: «Например, для вычисления погоды на два месяца вперёд нужно иметь в запасепять знаков точности. Практически это означает, что вычислять погоду натакой срок невозможно»4 .Рис. 2.4. Аттрактор («бабочка») Лоренца — классический пример того, как детерминистическая динамика порождает хаос.

Витки кривой проходят сколь угодно близкодруг к другу, в результате чего сколь угодно малая ошибка приводит к тому, что современем мы ошибёмся «лепестком». Первоначально аттрактор Лоренца возник причисленном исследовании простейшей модели погоды.В реальности устойчивая механическая система, тем более разрешимаяаналитически, — редкая удача. Практически каждая такая система являетсяхорошим нулевым приближением для некоторого класса задач, отталкиваясь от которого можно строить теорию возмущений, внося малые поправкив уравнения и их решения.4 В. И.

Арнольд, «Математические методы классической механики», Добавление 2: «Геодезические левоинвариантных метрик».38ГЛАВА 2Неустойчивость уравнений классической механики работает как своеобразный микроскоп, которыйвытягивает на макроуровень всё более и более мелкие возмущения первоначальной системы. Это приводит к тому, что классическая механика позволяетделать предсказания на сколь угодно длинные сроки только тому, кто знает начальные данные с бескоРис. 2.5. Демон Ла- нечной точностью, т. е. может оперировать с бескопласа (Laplace No Ma) нечным объёмом информации5 . (Этот «кто-то» носитпо версии японских гордое имя Демона Лапласа.)мультипликаторов.На достаточно больших временах (по сравнеc[P-G/R]нию с характерным временем нарастания возмущений) классическая механическая система «забывает» начальные данные (заисключением «хороших» = аддитивных сохраняющихся величин, таких какэнергия), и мы можем делать для неё лишь вероятностные предсказания.2.5.2.

Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф). . . в пространстве ничего не пропадает; если ты оставишь в нёмпортсигар, так достаточно рассчитать элементы его траектории, прибытьна то же место в надлежащее время, и портсигар, следуя по своейорбите с астрономической точностью, попадёт к тебе в руки в заранеерассчитанную секунду.С.

Лем, рассказ «Патруль», серия «Приключениязвёздного навигатора Пиркса»Простейшие классические механические системы, такие как гармонический осциллятор, часто бывают и устойчивы, и аналитически решаемы,и тем самым, вдвойне не типичны. Это одна из причин того, за что ихлюбят в школе и на младший курсах. Конечно, приятно, когда уравнениярешаются аналитически. Именно точные аналитические решения производят впечатление наиболее «настоящих».

Кому-то возможно кажется, что всеуравнения должны так решаться. Такую точку зрения в комбинации с лапласовским детерминизмом можно было бы назвать «аналитическим де5 Чтобы задать произвольное вещественное число, необходимо знать бесконечное количество цифр после запятой. В теории случайных процессов вещественное число является однойиз стандартных моделей случайного процесса, поскольку с помощью вещественных чисел изотрезка [0, 1] можно пронумеровать все бесконечные последовательности цифр, т. е.

все реализации случайного процесса, который на каждом шаге порождает одну случайную цифру.2.6. Т ЕОРЕТИЧЕСКАЯМЕХАНИКА КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ( Ф )39терминизмом». Сам Лаплас «аналитического детерминизма», скорее всего,не придерживался, и своего демона придумал исключительно как мысленный эксперимент, ведь в астрономических вычислениях ему приходилосьвместо точных аналитических решений пользоваться последовательнымиприближениями теории возмущений.Теория возмущений сегодня строится в рамках различных физическихтеорий, но исторически первой была как раз небесная механика. Основную идею теории возмущений можно описать так: мы упрощаем изучаемую систему настолько, чтобы появились простые решения (так называемые «невозмущённые решения», очень приятно, когда это точные аналитические решения), после чего ищем решения исходной системы в виде«невозмущённые решения» + «поправки».Например, рассматривая движение планет, лун, комет и других тел солнечной системы, мы сперва учитываем только притяжение планет к Солнцуи лун к соответствующим планетам, считая при этом Солнце, планеты и луны материальными точками и пренебрегая ускорениями планет при расчётедвижения лун.

В этом приближении планеты и луны движутся по замкнутым эллиптическим орбитам, в соответствии с законами Кеплера. Послеэтого мы начинаем вводить разные поправки: учитываем те силы гравитационного притяжения и силы инерции, которыми первоначально пренебрегли, учитываем, что небесные тела не точки, а стало быть действуютещё и приливные силы, что приливные силы могут вызывать в веществетрение и переводить механическую энергию в тепловую, что кометы придвижении вблизи Солнца теряют вещество и т. д.

и т. п.Первым крупным успехом классической теории возмущений следует,вероятно, считать открытие в 1846 году планеты Нептун, ранее предсказанной на основе анализа возмущений других планет.На сегодня понятно, что в большинстве теорий (как классических, таки квантовых) точное аналитическое решение — скорее счастливое исключение, чем правило. Тем не менее, кажется, что бессознательный аналитический детерминизм продолжает оставаться мировоззрением многих людей,которые далеки от науки, но «верят в науку».

Во всяком случае, в художественной литературе подобные настроения частенько проскальзывают.2.6. Теоретическая механика классическаяи квантовая (ф)После того как Ньютон сформулировал законы Ньютона и создал наих основе классическую механику, считавшуюся незыблемой вплоть до40ГЛАВА 2создания специальной теории относительности (СТО), развитие механикине прекратилось.Выдающимися математиками и механиками был разработан принципэкстремального действия (2.7.1 «Механика и оптика геометрическая и волновая (ф)»), на основе которого был дан ряд исключительно изящныхформулировок классической механики, в которых характер механическойсистемы полностью описывался заданием некоторой функции (лагранжианили гамильтониан6 ), а конкретное состояние системы описывалось как точка некоторого абстрактного фазового пространства (или как распределениев этом пространстве).По существу был разработан специальный математический язык дляописания механических теорий (моделей) с конечным числом степеней свободы.

Этот язык оказался настолько удачным, что появившаяся в началеXX века специальная теория относительности также была описана на этомязыке.Модификации теоретической механики для систем с бесконечным числом степеней свободы столь же изящно описывают механику сплошнойсреды и классические теории поля (первой из которых была электродинамика Максвелла).Мощный математический аппарат классической теоретической механики не пригоден для описания квантовой механики. Однако он может бытьмодифицирован для квантового случая.Существенная часть данной книги — изложение теоретической квантовой механики для систем с конечным числом степеней свободы. Подобноклассической теоретической механике, это специальный язык для описанияфизических теорий, который содержит квантовый гамильтониан (описывает характер физической системы) и квантовые состояния.

Между гамильтонианами соответствующих систем в классической и квантовой механикебудет установлено соответствие, хотя и не однозначное7 .Как и в классическом случае, обобщение квантовой механики на бесконечное число степеней свободы даст квантовую теорию поля (КТП). Пе6 Лагранжиан (функция Лагранжа) — разность кинетической и потенциальной энергий, выраженная как функция от обобщённых координат и скоростей.

Гамильтониан (функция Гамильтона) — суммарная энергия, выраженная как функция обобщённых координат и импульсов.7 Квантовая (теоретическая) механика систем с конечным числом степеней свободы оказывается похожа на классическую теорию поля (классическую механику с бесконечным числомстепеней свободы). В частности, это позволит вывести уравнение Шрёдингера из вариационного принципа, как классические уравнения поля (4.11 «Вариационный принцип»).2.7.