Главная » Просмотр файлов » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (1158263), страница 8

Файл №1158263 В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем) 8 страницаВ.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (1158263) страница 82019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

, g n }46и{f 1 , f 2 , . . . , f n }.Пусть первый вектор из набора {g j }, линейно зависимый от предыдущих, есть g s+1 :g s+1 = α1 g 1 + α2 g 2 + . . . + αs g s .Очевидно, все последующие g линейно зависят от первых s векторов. Дополним векторы g 1 , . . . , g s следующими по порядку векторамивторого набора так, что первый, линейно-зависящий от предыдущих,будет вектор f r+1 :f r+1 = γ1 g 1 + .

. . + γs g s + δ1 f 1 + . . . + δr f r ,где s + r = m. И оказалось, что m < n.Все последующие векторы f r+2 , f r+3 , . . . , очевидно также линейm,но зависят от указанных s + r = m векторов, и подпространство Rg,fнатянутое на эти m векторов, инвариантно к преобразованию A и eAt .Итак, пусть rang W = m. Обозначим через p1 , p2 , . . . , pm какойлибо базис подпространства Rm , натянутого на столбцы матрицыуправляемости W . Введем матрицу P = (p1 , p2 , . . . , pm ). Дополнимнабор p векторами q 1 , q 2 , . .

. , q k , причем m + k = n, и введем матрицуQ = (q 1 , q 2 , . . . , q k ), так что в совокупности наборы p и q составляютбазис всего пространства Rn . В остальном выбор векторов q произволен. Например, векторы q можно выбрать ортогональными векторамp и друг другу.В новом базисе контрвариантное разложение вектора x запишем ввидеx = ξ1 p1 + . . .

ξm pm + η1 q 1 + . . . + ηk q k = P ξ + Qη,где⎛⎞ξ1⎜⎟ξ = ⎝ ... ⎠ ,ξm⎛⎞η1⎟⎜η = ⎝ ... ⎠ .ηkСправедливы соотношения:AP = (Ap1 , . . . , Apm ),Ap1 = c11 p1 + . . . + cm1 pm = (p1 , . . . , pm )c1 = P c1 ,Ap2 = c12 p1 + . . . + cm2 pm = (p1 , . . . , pm )c2 = P c2 ,......Apm = c1m p1 + . . . + cmm pm = (p1 , . . . , pm )cm = P cm ,47ИлиAP = P A11 ,где A11 = (c1 , . . .

, cm ), dim A11 = (m × m).Матрица AQ имеет вид:AQ = (Aq 1 , . . . , Aq k ),Подпространство натянутое на векторы q не инвариантно к преобразованию A, поэтому векторы Aq j раскладываются по векторамполного базиса пространства Rn .Например:Aq 1 = d11 p1 + . . . + dm1 pm + l11 q 1 + . . .

+ lk1 q k = P d1 + Ql1 .Продолжая преобразование дальше, окончательно получим:AQ = P A12 + QA22 .Размерности матриц A12 = (m × k) и A22 = (k × k).Столбцы матрицы B = (b1 , . . . , bs ), — векторы подпространстваRm , поскольку входят в матрицу управляемости. Поэтомуbj = (p1 , . . .

, pm )bj1 ,илиB = P B1 ,B1 = (b11 , b21 ),dim B1 = (m × 2).Обратимся к уравнению (6.1). Заменим x его контрвариантнымразложением x = P ξ + Qη и воспользуемся выше приведенными преобразованиями. Получим:P ξ˙ + Qη̇ = A [P ξ + Qη] + P B1 u,илиP ξ˙ + Qη̇ = P A11 ξ + P A12 η + QA22 η + P B1 u.Приравнивая выражения при базисах P и Q, окончательно получим:ξ˙ = A11 ξ + A12 η + B1 u.(6.5)η̇ = A22 ηИз полученных выражений следует, что если в начальный моментη(t0 ) = 0, то фазовая точка, при любом управлении u, не может выйти из подпространства ξ. То есть, подпространство ξ — инвариантноеуправляемое пространство.48Замечание 7. Из (6.5) следует: если матрица A22 асимптотически устойчива и измерению доступны все составляющие вектора x, то система (6.5) (или то же самое, что и система (6.1))стабилизируема.Пример 6.1.ÿ − ẏ − 2y = u̇ + u.(6.6)Для тех, кто знаком с понятием передаточной функции: фактнеполной управляемости системы следует из вида передаточной функции.

Введем обозначение: Ws (s — оператор дифференцирования).Тогда имеем систему:y(s) = Wy (s)u(s),1s+1=,Wy (s) =(s + 1)(s − 2)s−2в которой не отражен корень характеристического уравнения системыλ = −1.Исследуем вопрос об управляемости, следуя формализму теории.Приведем уравнение (6.6) к форме Коши так, чтобы правая часть несодержала производных от управляющего сигнала. Форму Коши будем искать в виде (так называемая форма Фробениуса):ẋ1 = α1 x1 + x2 + β1 u,ẋ2 = α2 x1 + β2 u.(6.7)Полагая x1 = y и приводя (6.7) к одному уравнению относительноy и сравнивая его с (6.6), получим:ẋ1 = x1 + x2 + u,ẋ2 = 2x1 + u.Матрица управляемости принимает вид:1 2W =, det W = 0.1 2Введем новый базис {p, q}, где p = (1, 1) , q = (1, −1) .

Вектор x вновом базисе зададим контравариантными координатами ξ и η:x = ξp + ηq.Уравнения относительно новых переменных:ξ˙ = 2ξ + η + uη̇ = −η49Инвариантное управляемое подпространство определяется соотношением η = 0 (x1 = x2 ).Если измеряются все фазовые координаты, переменная ξ стабилизируется при помощи линейной обратной связиu = −η − cξ,гдеc > 2,а неуправляемая переменная η → 0 при t → ∞. Поэтому, хотя системав целом не полностью управляема, она полностью стабилизируема.50Лекция 7Структура стационарных динамическихсистем с позиций наблюдаемости истабилизируемости1. Декомпозиция линейных стационарных системс точки зрения наблюдаемостиРассмотрим системуẋ(t) = Ax(t)z(τ ) = Hx(τ ), τ ∈ [t0 , t].(7.1)Пусть пара (A, H) не вполне наблюдаема, т.е. rank N < n, где N —матрица наблюдаемости:⎞⎛H⎜ HA ⎟⎟⎜N = ⎜⎟...⎠⎝.HAn−1Вначале, как и в задаче об управляемости, рассмотрим вопрос одекомпозиции с геометрической точки зрения.

Пока для простоты будем считать, что измерение z скалярно, т.е. z = h x и матрица наблюдаемости N имеет вид:⎛⎞ ⎛ 1 ⎞hg⎜ h A ⎟ ⎜ g 2 ⎟⎜⎟ ⎜⎟N =⎜⎟ = ⎜ .. ⎟ ,..⎝⎠⎝.. ⎠ n−1nh Agгде g 1 = h, g 2 = A g 1 , . . . , g j+1 = A g j .Пусть первый вектор последовательности {g 1 , . . . , g n } линейнозависимый от предыдущих, есть вектор g m+1 :g m+1 = α1 g 1 + . . . + αm g m ,тогда все последующие векторы последовательности также будут линейно зависеть от первых m векторов, и набор {g 1 , .

. . , g m } порождаетподпространство Rgm , инвариантное к преобразованию A .51При этом указанный набор служит одним из возможных в этомподпространстве базисов. Введем набор {f 1 , . . . , f k }, m + k = n,такой что совокупный набор {g 1 , . . . , g m , f 1 , . . . , f k } служит базисомвсего пространства Rn . Набор {f }, очевидно, можно выбрать так,чтобы каждый из векторов f j был ортогонален каждому вектору g i ,а также чтобы они были ортогональны между собой.

Условие ортогональности: f j g i = 0,где i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k.Покажем, что подпространство, натянутое на векторы f 1 , . . . , f k ,инвариантно к преобразованию A, а стало быть и к преобразованиюeAt . Имеем в силу того, что любой из векторов A g i ортогонален любому из векторов f j (j = 1, 2, .

. . , k):f j (A g i ) = 0.Последнее соотношение переписывается в виде:(Af j ) g i = 0.Откуда следует, что вектор Af j принадлежит подпространству, натянутому на векторы набора {f }. Из последнего вывода следует, что этоподпространство инвариантно также к преобразованию eA t. Пусть вначальный момент вектор x(t0 ) ∈ Rfk , т.е. x(t0 ) можно представить ввиде:x(t0 ) = η1 (t0 )f 1 + η2 (t0 )f 2 + . . . + ηk (t0 )f k ,тогдаx(t) = eA(t−t0 ) x(t0 ) = eA(t−t0 ) (η1 (t0 )f 1 + . . . + ηk (t0 )f k ) == η1 (t)f 1 + . .

. + ηk (t)f k .Измерение z(t) будет в этом случае таким:z(t) = h x(t) = g 1 (η1 (t)f 1 + . . . + ηk (t)f k ) ≡ 0,поскольку g 1 f j = 0.Таким образом, для всех фазовых траекторий, порожденных любым начальным условием x(t0 ) ∈ Rfk , измерение z(t) будет нулевым,т.е. такие траектории неразличимы между собой, а также неразличимыс тривиальной траекторией x(t) = 0. Иначе говоря, такие траекторииненаблюдаемы.Подпространство, натянутое на векторы f , назовем инвариантным ненаблюдаемым подпространством.

Его свойство заключается в том, что все фазовые точки, принадлежащие этому подпространству, не вносят вклада в измерение z(t).52Обратимся к общему случаю, когда измерение z — вектор. Насздесь будет интересовать, в первую очередь, процедурная сторона вопроса. Пусть rank N = m < n, тогда из строк матрицы наблюдаемости можно выбрать m линейно-независимых. Подпространство, натянутое на векторы, полученные обращением строк матрицы наблюдаемости в столбцы, будет иметь размерность m. Это подпространствоинвариантно преобразованию A .Пусть {p1 , . . .

, pm } — некоторый базис этого подпространства.Дополним этот базис до полного набором {q 1 , . . . , q k }, m + k = n.Векторы q i могут быть выбраны произвольно, лишь бы не нарушаласьлинейная независимость совокупного набора {p1 , . . . , pm , q 1 , . . .

, q k }.Один из вариантов такого выбора — каждый из q i ортогонален всемвекторам pj , а также все q i ортогональны между собой.Введем ковариантные координаты вектора x:ξj = x pj = pj x,j = 1, 2, . . . , m.ηi = x q i = q i x,i = 1, 2, . . . , k.Или в краткой формеξ = P x,где P = (p1 , . . .

, pm ),η = Q x,Q = (q 1 , . . . , q k ).Воспользуемся аналогиями с фрагментом того же названия приобсуждении вопроса о декомпозиции по управлению.Роль матрицы A в указанном фрагменте в нашем случае будет играть матрица A :A P = P A11 ,A Q = P A21 + QA22 ,H = P H1 .Получим уравнения, которым подчиняется поведение векторов ξ иη:ξ̇ = P ẋ = P Ax = (A P ) x = (P A11 ) x = A11 P x = A11 ξη̇ = Q ẋ = Q Ax = (A Q) x = (P A21 + QA22 )x == (A21 P + A22 Q )x = A21 ξ + A22 ηz = Hx = (P H1 ) x = H1 P x = H1 ξ.53В итоге имеем систему:η̇(t) = A21 ξ(t) + A22 η(t),˙ = A11 ξ(t),ξ(t)(7.2)z(t) = H1 ξ(t)Здесь пара (A11 , H1 ) наблюдаема.Инвариантность подпространства {η} следует из факта: еслиξ(t0 ) = 0, то и ξ(t) = 0.

Порождаемая этим начальным условием траектория принадлежит подпространству {η}.Определение 8. Система, в которой матрица A22 асимптотически устойчива, называется обнаруживаемой или детектируемой.Это определение можно также рассматривать как необходимое идостаточное условие детектируемости.Смысл определения становится ясен из следующего рассуждения:будем искать оценки ξ̃ и η̃ векторов ξ и η в следующем виде˙˜ξ˜ = A11 ξ̃ + K1 (z − H1 ξ),η̃˙ = A22 η̃ + A21 ξ̃.Тогда уравнение ошибок имеет видΔξ˙ = (A11 − K1 H1 )Δξ,Δη̇ = A22 Δη + A21 Δξ,(7.3)и матрицу K всегда можно выбрать так, чтобы (7.3) была асимптотически устойчива (Δξ → 0).

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее