В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 8

, g n }46и{f 1 , f 2 , . . . , f n }.Пусть первый вектор из набора {g j }, линейно зависимый от предыдущих, есть g s+1 :g s+1 = α1 g 1 + α2 g 2 + . . . + αs g s .Очевидно, все последующие g линейно зависят от первых s векторов. Дополним векторы g 1 , . . . , g s следующими по порядку векторамивторого набора так, что первый, линейно-зависящий от предыдущих,будет вектор f r+1 :f r+1 = γ1 g 1 + .

. . + γs g s + δ1 f 1 + . . . + δr f r ,где s + r = m. И оказалось, что m < n.Все последующие векторы f r+2 , f r+3 , . . . , очевидно также линейm,но зависят от указанных s + r = m векторов, и подпространство Rg,fнатянутое на эти m векторов, инвариантно к преобразованию A и eAt .Итак, пусть rang W = m. Обозначим через p1 , p2 , . . . , pm какойлибо базис подпространства Rm , натянутого на столбцы матрицыуправляемости W . Введем матрицу P = (p1 , p2 , . . . , pm ). Дополнимнабор p векторами q 1 , q 2 , . .

. , q k , причем m + k = n, и введем матрицуQ = (q 1 , q 2 , . . . , q k ), так что в совокупности наборы p и q составляютбазис всего пространства Rn . В остальном выбор векторов q произволен. Например, векторы q можно выбрать ортогональными векторамp и друг другу.В новом базисе контрвариантное разложение вектора x запишем ввидеx = ξ1 p1 + . . .

ξm pm + η1 q 1 + . . . + ηk q k = P ξ + Qη,где⎛⎞ξ1⎜⎟ξ = ⎝ ... ⎠ ,ξm⎛⎞η1⎟⎜η = ⎝ ... ⎠ .ηkСправедливы соотношения:AP = (Ap1 , . . . , Apm ),Ap1 = c11 p1 + . . . + cm1 pm = (p1 , . . . , pm )c1 = P c1 ,Ap2 = c12 p1 + . . . + cm2 pm = (p1 , . . . , pm )c2 = P c2 ,......Apm = c1m p1 + . . . + cmm pm = (p1 , . . . , pm )cm = P cm ,47ИлиAP = P A11 ,где A11 = (c1 , . . .

, cm ), dim A11 = (m × m).Матрица AQ имеет вид:AQ = (Aq 1 , . . . , Aq k ),Подпространство натянутое на векторы q не инвариантно к преобразованию A, поэтому векторы Aq j раскладываются по векторамполного базиса пространства Rn .Например:Aq 1 = d11 p1 + . . . + dm1 pm + l11 q 1 + . . .

+ lk1 q k = P d1 + Ql1 .Продолжая преобразование дальше, окончательно получим:AQ = P A12 + QA22 .Размерности матриц A12 = (m × k) и A22 = (k × k).Столбцы матрицы B = (b1 , . . . , bs ), — векторы подпространстваRm , поскольку входят в матрицу управляемости. Поэтомуbj = (p1 , . . .

, pm )bj1 ,илиB = P B1 ,B1 = (b11 , b21 ),dim B1 = (m × 2).Обратимся к уравнению (6.1). Заменим x его контрвариантнымразложением x = P ξ + Qη и воспользуемся выше приведенными преобразованиями. Получим:P ξ˙ + Qη̇ = A [P ξ + Qη] + P B1 u,илиP ξ˙ + Qη̇ = P A11 ξ + P A12 η + QA22 η + P B1 u.Приравнивая выражения при базисах P и Q, окончательно получим:ξ˙ = A11 ξ + A12 η + B1 u.(6.5)η̇ = A22 ηИз полученных выражений следует, что если в начальный моментη(t0 ) = 0, то фазовая точка, при любом управлении u, не может выйти из подпространства ξ. То есть, подпространство ξ — инвариантноеуправляемое пространство.48Замечание 7. Из (6.5) следует: если матрица A22 асимптотически устойчива и измерению доступны все составляющие вектора x, то система (6.5) (или то же самое, что и система (6.1))стабилизируема.Пример 6.1.ÿ − ẏ − 2y = u̇ + u.(6.6)Для тех, кто знаком с понятием передаточной функции: фактнеполной управляемости системы следует из вида передаточной функции.

Введем обозначение: Ws (s — оператор дифференцирования).Тогда имеем систему:y(s) = Wy (s)u(s),1s+1=,Wy (s) =(s + 1)(s − 2)s−2в которой не отражен корень характеристического уравнения системыλ = −1.Исследуем вопрос об управляемости, следуя формализму теории.Приведем уравнение (6.6) к форме Коши так, чтобы правая часть несодержала производных от управляющего сигнала. Форму Коши будем искать в виде (так называемая форма Фробениуса):ẋ1 = α1 x1 + x2 + β1 u,ẋ2 = α2 x1 + β2 u.(6.7)Полагая x1 = y и приводя (6.7) к одному уравнению относительноy и сравнивая его с (6.6), получим:ẋ1 = x1 + x2 + u,ẋ2 = 2x1 + u.Матрица управляемости принимает вид:1 2W =, det W = 0.1 2Введем новый базис {p, q}, где p = (1, 1) , q = (1, −1) .

Вектор x вновом базисе зададим контравариантными координатами ξ и η:x = ξp + ηq.Уравнения относительно новых переменных:ξ˙ = 2ξ + η + uη̇ = −η49Инвариантное управляемое подпространство определяется соотношением η = 0 (x1 = x2 ).Если измеряются все фазовые координаты, переменная ξ стабилизируется при помощи линейной обратной связиu = −η − cξ,гдеc > 2,а неуправляемая переменная η → 0 при t → ∞. Поэтому, хотя системав целом не полностью управляема, она полностью стабилизируема.50Лекция 7Структура стационарных динамическихсистем с позиций наблюдаемости истабилизируемости1. Декомпозиция линейных стационарных системс точки зрения наблюдаемостиРассмотрим системуẋ(t) = Ax(t)z(τ ) = Hx(τ ), τ ∈ [t0 , t].(7.1)Пусть пара (A, H) не вполне наблюдаема, т.е. rank N < n, где N —матрица наблюдаемости:⎞⎛H⎜ HA ⎟⎟⎜N = ⎜⎟...⎠⎝.HAn−1Вначале, как и в задаче об управляемости, рассмотрим вопрос одекомпозиции с геометрической точки зрения.

Пока для простоты будем считать, что измерение z скалярно, т.е. z = h x и матрица наблюдаемости N имеет вид:⎛⎞ ⎛ 1 ⎞hg⎜ h A ⎟ ⎜ g 2 ⎟⎜⎟ ⎜⎟N =⎜⎟ = ⎜ .. ⎟ ,..⎝⎠⎝.. ⎠ n−1nh Agгде g 1 = h, g 2 = A g 1 , . . . , g j+1 = A g j .Пусть первый вектор последовательности {g 1 , . . . , g n } линейнозависимый от предыдущих, есть вектор g m+1 :g m+1 = α1 g 1 + . . . + αm g m ,тогда все последующие векторы последовательности также будут линейно зависеть от первых m векторов, и набор {g 1 , .

. . , g m } порождаетподпространство Rgm , инвариантное к преобразованию A .51При этом указанный набор служит одним из возможных в этомподпространстве базисов. Введем набор {f 1 , . . . , f k }, m + k = n,такой что совокупный набор {g 1 , . . . , g m , f 1 , . . . , f k } служит базисомвсего пространства Rn . Набор {f }, очевидно, можно выбрать так,чтобы каждый из векторов f j был ортогонален каждому вектору g i ,а также чтобы они были ортогональны между собой.

Условие ортогональности: f j g i = 0,где i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k.Покажем, что подпространство, натянутое на векторы f 1 , . . . , f k ,инвариантно к преобразованию A, а стало быть и к преобразованиюeAt . Имеем в силу того, что любой из векторов A g i ортогонален любому из векторов f j (j = 1, 2, .

. . , k):f j (A g i ) = 0.Последнее соотношение переписывается в виде:(Af j ) g i = 0.Откуда следует, что вектор Af j принадлежит подпространству, натянутому на векторы набора {f }. Из последнего вывода следует, что этоподпространство инвариантно также к преобразованию eA t. Пусть вначальный момент вектор x(t0 ) ∈ Rfk , т.е. x(t0 ) можно представить ввиде:x(t0 ) = η1 (t0 )f 1 + η2 (t0 )f 2 + . . . + ηk (t0 )f k ,тогдаx(t) = eA(t−t0 ) x(t0 ) = eA(t−t0 ) (η1 (t0 )f 1 + . . . + ηk (t0 )f k ) == η1 (t)f 1 + . .

. + ηk (t)f k .Измерение z(t) будет в этом случае таким:z(t) = h x(t) = g 1 (η1 (t)f 1 + . . . + ηk (t)f k ) ≡ 0,поскольку g 1 f j = 0.Таким образом, для всех фазовых траекторий, порожденных любым начальным условием x(t0 ) ∈ Rfk , измерение z(t) будет нулевым,т.е. такие траектории неразличимы между собой, а также неразличимыс тривиальной траекторией x(t) = 0. Иначе говоря, такие траекторииненаблюдаемы.Подпространство, натянутое на векторы f , назовем инвариантным ненаблюдаемым подпространством.

Его свойство заключается в том, что все фазовые точки, принадлежащие этому подпространству, не вносят вклада в измерение z(t).52Обратимся к общему случаю, когда измерение z — вектор. Насздесь будет интересовать, в первую очередь, процедурная сторона вопроса. Пусть rank N = m < n, тогда из строк матрицы наблюдаемости можно выбрать m линейно-независимых. Подпространство, натянутое на векторы, полученные обращением строк матрицы наблюдаемости в столбцы, будет иметь размерность m. Это подпространствоинвариантно преобразованию A .Пусть {p1 , . . .

, pm } — некоторый базис этого подпространства.Дополним этот базис до полного набором {q 1 , . . . , q k }, m + k = n.Векторы q i могут быть выбраны произвольно, лишь бы не нарушаласьлинейная независимость совокупного набора {p1 , . . . , pm , q 1 , . . .

, q k }.Один из вариантов такого выбора — каждый из q i ортогонален всемвекторам pj , а также все q i ортогональны между собой.Введем ковариантные координаты вектора x:ξj = x pj = pj x,j = 1, 2, . . . , m.ηi = x q i = q i x,i = 1, 2, . . . , k.Или в краткой формеξ = P x,где P = (p1 , . . .

, pm ),η = Q x,Q = (q 1 , . . . , q k ).Воспользуемся аналогиями с фрагментом того же названия приобсуждении вопроса о декомпозиции по управлению.Роль матрицы A в указанном фрагменте в нашем случае будет играть матрица A :A P = P A11 ,A Q = P A21 + QA22 ,H = P H1 .Получим уравнения, которым подчиняется поведение векторов ξ иη:ξ̇ = P ẋ = P Ax = (A P ) x = (P A11 ) x = A11 P x = A11 ξη̇ = Q ẋ = Q Ax = (A Q) x = (P A21 + QA22 )x == (A21 P + A22 Q )x = A21 ξ + A22 ηz = Hx = (P H1 ) x = H1 P x = H1 ξ.53В итоге имеем систему:η̇(t) = A21 ξ(t) + A22 η(t),˙ = A11 ξ(t),ξ(t)(7.2)z(t) = H1 ξ(t)Здесь пара (A11 , H1 ) наблюдаема.Инвариантность подпространства {η} следует из факта: еслиξ(t0 ) = 0, то и ξ(t) = 0.

Порождаемая этим начальным условием траектория принадлежит подпространству {η}.Определение 8. Система, в которой матрица A22 асимптотически устойчива, называется обнаруживаемой или детектируемой.Это определение можно также рассматривать как необходимое идостаточное условие детектируемости.Смысл определения становится ясен из следующего рассуждения:будем искать оценки ξ̃ и η̃ векторов ξ и η в следующем виде˙˜ξ˜ = A11 ξ̃ + K1 (z − H1 ξ),η̃˙ = A22 η̃ + A21 ξ̃.Тогда уравнение ошибок имеет видΔξ˙ = (A11 − K1 H1 )Δξ,Δη̇ = A22 Δη + A21 Δξ,(7.3)и матрицу K всегда можно выбрать так, чтобы (7.3) была асимптотически устойчива (Δξ → 0).