В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (1158263), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Интегралом a x(t)dt в среднеквадратичномназывается предел в среднеквадратичном интегральной суммыnb−a, (k − 1) · Δt ≤ τk ≤ k · Δt.x(τk )Δt, Δt =limn→∞nТеорема 15. Для того, чтобы процесс был интегрируем в среднеквадратичном, необходимо и достаточно, чтобы существовали интегралыbb bμx (t)dt,Px (t, s)dtds.aaaОчевидна перестановочность операций интегрирования и математического ожидания.692. Процессы с ортогональными приращениями.Белый шумПроцессы такого типа играют большую роль при спектральномописании стационарных случайных процессов, при построении стохастической модели динамических систем, в задачах анализа и синтезатаких систем.Будем считать, что M [x] = 0.Пусть t0 , t1 , .
. . , tk , . . . , tm — произвольные моменты времени ицелое число m произвольно, причем tk+1 > tk .ВеличинаΔx(tk , tk−1 ) = Δxk = x(tk ) − x(tk−1 )составляет приращение процесса на интервале Δtk = tk − tk−1 .По определению, процесс будет процессом с независимымиприращениями, если Δxk не зависит от Δxj и x0 = x(t0 ) (k = j).Если имеет место только некоррелированность, процесс называется процессом с ортогональными приращениями.Рассмотрим приращение процесса x(t) на интервале от t до t + Δt:Δx = x(t + Δt) − x(t).Выяснимкак связана ковариация этого приращенияPΔx =M Δx · Δx с ковариацией процесса Px (t) = M x(t) · x (t) .ИмеемPΔx = M (x(t + Δt) − x(t)) · (x(t + Δt) − x(t)) == Px (t + Δt) + Px (t) − M (x(t + Δt) − x(t)) · x (t) −− M x(t) · (x(t + Δt) − x(t))Ноx(t + Δt) = x(t) + Δx,и в силу определения процессов с ортогональными приращениямиM (x(t + Δt) − x(t)) · x (t) = Px (t),M x(t) · (x(t + Δt) − x(t)) = Px (t).ОтсюдаPΔx= Px (t + Δt) − Px (t).То есть ковариация приращения для процесса с ортогональнымиприращениями равна приращению ковариации процесса.70В скалярном случае получимDΔx = Dx (t + Δt) − Dx (t).(9.1)Обозначим через R(t) производную по времени от ковариационной матрицы процесса.
Предположим, что существует производная повремени от ковариационной матрицы процессаR(t) = Ṗx (t),или, в скалярном случае,dDx (t).dtПоследнее соотношение приближенно можно записать при достаточно малом ΔtDΔx ≈ R(t)Δt,R(t) =т. е. дисперсия приращения процесса с ортогональными приращениями пропорциональна величине временного интервала Δt.На первый взгляд это может показаться странным (если не обращать внимания на условия дифференцируемости), поскольку дисперсия — квадратичная характеристика. В самом деле, рассмотрим процесс x(t), дифференцируемый в среднеквадратичном:Δx = x(t + Δt) − x(t) ≈ ẋΔt.Для него DΔx = M Δx2 ≈ Δt2 M ẋ2 ,т. е. дисперсия приращения оказалась пропорциональной квадратуприращения аргумента.Но процесс с ортогональными приращениями, хотя и являетсянепрерывным в среднеквадратичном, не имеет производной, посколькуM (x(t + Δt) − x(t))2 ≈ R(t)Δt → 0 при Δt → 0,!"2 x(t + Δt) − x(t)R(t)M→ ∞ при Δt → 0.≈ΔtΔtПокажем, как можно интерпретировать величину dx, которуюнельзя понимать как обычный дифференциал в среднеквадратичном.Предварительно напомним определение и свойства δ−функции.Указанная функция широко используется при описании линейных динамических систем и случайных процессов.
Она определяется следующими тремя условиями:711.2.δ(x) = 0 при x = 0;δ(x) = ∞ при x = 0;∞3.δ(x)dx = 1.−∞В нашем случае, как это будет видно из дальнейшего, ей припишемдополнительное условие четности:δ(x) = δ(−x).Основное следствие из определения δ-функции. Пусть ϕ(x) гладкая функция, тогда+∞a+εϕ(x)δ(x − a)dx =ϕ(x)δ(x − a)dx = ϕ(a),−∞a−εгде ε как угодно малое положительное число.Если δ(x) четная функция, то имеем+∞a+εaϕ(x)δ(x − a)dx =ϕ(x)δ(x − a)dx +ϕ(x)δ(x − a)dx =−∞a−εa11= ϕ(a) + ϕ(a) = ϕ(a).22Приращение процесса Δx на интервале (t, t + Δt) запишем в видеt+ΔtΔx =dx(u).tТогдаPΔx= M Δx · Δx =t+Δtt+ΔtM dx(u)dx (u1 ) .t(9.2)tС другой стороны,t+ΔtPΔx =R(u)du.(9.3)tИз сравнения (9.2) и (9.3) следует с учетом свойств δ-функцииM dx(u)dx (u1 ) = R(u)dudu1 δ(u − u1 )72или, если ввести формальную производную,dx(t) dx (s)M·= R(t)δ(t − s).dtds(9.4)Обратим внимание на то, что в силу определения матрицы корреляции, δ-функцию в последних выражениях следует считать четнойфункцией своего аргумента.называетсяСконструированный таким образом процесс dx(t)dtпроцессом типа белого шума или просто белым шумом.
Основноеего свойство — некоррелированность во времени. Строго говоря, такой процесс (9.4) — не более чем удобная абстракция и он не можетбыть реализован физически. Для его реализации требуется существование бесконечной скорости (абсолютной безынерционности, бесконечной энергии и т.п.).Обозначим вектор размерностей процесса через γ, за единицу времени выберем секунду. Тогда размерности величин, входящих в вышеописанные соотношения, будут таковы:γγ ,[P ] = γγ , [PΔx ] = γγ , [R] =сек dxγ1=, [δ] =,dtсексек(9.5)то есть для согласования размерностей для δ-функции нужно принятьразмерность 1/сек, как это следует из самого определения δ-функции.Полученный результат (9.5) согласуется с формальным правилом,по которому матрица корреляции производной от векторного процесса находится как вторая смешанная производная от матрицы корреляции дифференцируемого процесса.73Лекция 10Стохастические модели линейныхдинамических системПоведение динамических систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, определяется начальнымзначением всех фазовых координат (начальным значением векторасостояния).В стохастической ситуации задаются вероятностные характеристики начального состояния системы.
Стохастическая модель, описывающая состояние системы, должна позволять предсказывать вероятностные характеристики системы в будущем. Для нас такими характеристиками будут являться математическое ожидание и матрица корреляции вектора состояния. При этом рассматриваются тольколинейные системы.1.
Дискретный случайДля простоты записи положим x(tk ) = xk .Математической моделью системы служит вектор x(tk ), подчиняющийся дискретному уравнениюxk+1 = Φ(k + 1, k)xk + qk ,(10.1)где qk — дискретный белый шум:M [qk ] = 0, M [qk qj ] = Qk δkj , и M [xk qj ] = 0,(k−− номер шага).Здесь δkj - символ Кронекера.Из (10.1) непосредственно следует уравнение для определения математического ожидания μk = M [xk ]:(10.2)μk+1 = Φ(k + 1, k)μk .Подставив (10.1) и (10.2) в выражение, определяющее ковариацион◦◦ную матрицу Pk+1 = M xk+1 xk+1 , получаем ковариационное (дисперсионное) уравнение:(10.3)Pk+1 = Φ(k + 1, k)Pk Φ (k + 1, k) + Qk .◦ ◦ Легко показать, что матрица корреляции P (n, m) = M xn xm определяется соотношениемP (n, m) = Φ(n, m)Pm ,n ≥ m.74Здесь Φ(n, m) = Φ(n, n − 1) · .
. . · Φ(m + 1, m), а Φ(m, m) = E.Свойство. В стационарном случае (Q = const , Φ = const )и при условии, что все корни характеристического уравнения |λE −Φ| = 0 по модулю меньше единицы; при k → ∞ можно говорить обустановившемся решении P∞ дисперсионного уравнения (10.3). Оноопределяется из уравненияP∞ = ΦP∞ Φ + Q.2.
Непрерывный случайНепрерывное стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее состояние динамической системы, будем рассматриватькак предел в среднеквадратичном следующего разностного уравнения:Δx = A · xΔt + Δv,Δx = x(t + Δt) − x(t),Δv = v(t + Δt) − v(t),где v(t) — процесс с ортогональными приращениями.v (t)Обозначим производную dPdt= Q, где Pv (t) = M v(t)v (t) .ИмеемM ΔvΔv = Q(t)Δt + o(Δt).В пределе при Δt → 0 получимdx = A · xdt + dv,M [dv(t)dv (s)] = Q(t)dtdsδ(t − s).(10.4)dvФормально, если ввести производные dxdt и dt , можно записатьdx= Ax + q,(10.5)dtгде q — процесс типа белого шума:M [q(t)] = 0, M q(t)q (s) = Q(t)δ(t − s), M [x(t0 )q (t)] = 0.Уравнение для определения математического ожидания μx = M [x]непосредственно следует из (10.4) или из (10.5):μ̇x = Aμx ,μx (t0 ) = μ0 .Уравнение ◦ ◦ для определения ковариационной матрицы Px (t)M x(t)x (t) получим двумя способами.=1.
Примем за основу уравнение (10.4). Выпишем цепочку соотношений:◦◦◦◦Px (t) = M x(t)x (t) , Px (t+Δt) = M x(t + Δt)x (t + Δt) ,75◦◦◦x(t + Δt) = x(t) + Δx(t),#$ #◦$ ◦◦◦x(t) + Δx(t)Px (t + Δt) = M x(t) + Δx(t)=◦ ◦ ◦◦ ◦◦= M x(t)x (t) + M x(t)Δx (t) + M Δx(t)x (t) + ◦◦+M Δx(t)Δx (t) .◦◦Так как Δx = AxΔt + Δv, то◦ ◦ ◦ ◦M x(t)Δx = Px (t)A (t)Δt, M Δx(t)x = A(t)Px (t)Δt, ◦◦M Δx(t)Δx = A(t)Px (t)A Δt2 + QΔt + o(Δt).Таким образом,Px (t + Δt) == Px (t) + (APx + Px A )Δt + QΔt + APx A Δt2 + o(Δt).(10.6)При Δt → 0 из (10.6) получимdPx= APx + Px A + Q.(10.7)dtЭто уравнение называется дисперсионным или ковариационным.2.
Примем за основу уравнение (10.5). Выпишем цепочку соотношений:◦◦ ◦dx◦= Ax + q,Px (t) = M x(t)x (t) ,dt ◦◦ dx ◦ ◦ dx dPx=Mx +x=dtdtdt◦◦= APx + Px A + M q(t)x (t) + M x(t)q(t) .Поскольку◦◦tx(t) = Φ(t, t0 )x(t0 ) +Φ(t, τ )q(τ )dτ,t076то t◦M x(t)q(t) = Φ(t, τ )M q(τ )q(t) dτ =t0tΦ(t, τ )Q(τ )δ(t − τ )dτ ==t0tΦ(t, τ )Q(τ )δ(t − τ )dτ ==1Q(t).2t−ε (ε→0)Отсюда следует уравнение (10.7).◦ ◦Матрица корреляции Px (t, s) = M x(t)x (s) , как легко показать,находится из соотношенияPx (t, s) = Φ(t, s)Px (s)(t ≥ s).В стационарном случае (Q = const , A = const и корни характеристического уравнения |λE − A| = 0 имеют отрицательные действительные части) установившееся значение матрицы ковариации можетбыть найдено из решения алгебраического уравненияAP∞ + P∞ A + Q = 0.3. Дискретизация непрерывных случайных процессовРассмотрим векторный случайный процесс x(t), описываемыйуравнениемẋ = A(t)x + q,(10.8)где x — n-мерный вектор состояния, q — n-мерный вектор — процесстипа белого шума:M q(t)q (s) = Q(t)δ(t − s).Будем рассматривать процесс в дискретные моменты времениt0 , t1 = t0 + Δt, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
