В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (1158263), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Функция w∗удовлетворяет уравнениюẏ ∗ = f (y ∗ , w∗ , t∗ ),где y ∗ — программное (желаемое) состояние динамической системы.Введем вектор x(t) = y(t) − y ∗ (t). Пусть в нашем распоряженииимеются измерители, доставляющие информацию Z ∗ о текущем состоянии y(t) системы:Z ∗ = Θ(y, t) + r(t),где r(t) — погрешность информации, вызванная неидеальностью работы измерителя, Θ(y, t) — известная вектор-функция. Отметим, чтона практике размерность вектора Z ∗ заметно меньше, чем размерность вектора y.Приведенные выше соотношения отражают переход от физического (электромеханического) описания системы (в основе котороголежит теоретическая механика, электромеханика, физиология и т.д.) кинформационной модели.
Указанный переход является чрезвычайноважной составляющей в механике управляемых систем.Поскольку y ∗ (t) известная функция, можно сформировать величину:z = Z ∗ − Θ(y ∗ , t) = Θ(y) − Θ(y ∗ ) + r(t) = Θ(y ∗ + x) − Θ(y ∗ ) + r(t).Предполагается, что x достаточно малая величина и допустима линеаризация — разложение функции Θ(y) в ряд Тейлора в окрестностипрограммного движения y ∗ , т.е. допустимо представление:∂Θ(y) ∗∗Θ(y + x) = Θ(y ) + Hx,где H =,∂y ∗y=yтогдаz(t) = H(t)x(t) + r(t).12Введем величину u = w − w∗ — резерв, позволяющий формировать управление с обратной связью.
Что такое «управление с обратной связью» с формальной точки зрения будет ясно из дальнейшего.Введем управление, которому подчиняется поведение вектора x.Для этого из уравненияẏ(t) = f (y ∗ + x, w∗ + u) + q(t)вычтем уравнениеẏ ∗ = f (y ∗ , w∗ ).Предполагается, что допустима линеаризация:f (y ∗ + x, w∗ + u) = f ∗ (y ∗ , w∗ ) + A(t)x + B(t)u,гдеdf (y, w) ,A(t) =dy y=y∗∗w=wdf (y, w) B(t) =.dw y=y∗∗w=wТаким образомẋ = A(t)x + B(t)u.Задача теперь сводится к следующему: отклонение текущего векторасостояния от программного — вектор x, подчиняется только что выведенному линейному уравнению. Текущую информацию, линейно зависящую от вектора x, доставляет вектор z. Требуется за счет введенияуправления u = L[z] выбором оператора L минимизировать в том илиином смысле величину x. Чаще всего эту задачу решают в виде двухпоследовательных процедур.Первая — построение оценки x̃ = L1 [z], где оператор L1 выбирается из условия минимизации величины x = x − x̃.Вторая — построение управления u = L2 [x̃].Решению указанной задачи будет посвящена половина нашегокурса, соответствующая первому семестру.Предварительно заметим, что выбор операторов L1 , L2 определяется гипотезами — математическими моделями, которыми описывается поведение возмущений q(t) и r(t).
Чаще всего они полагаютсяслучайными.Блок-схема, отражающая математическую суть решения задачуправления, приводится на рис 1.2:С прикладной точки зрения очень важно отметить, что междуфизической и математической моделями нет полного соответствия.Именно управления, которые формируют поведение управляемого13w-w@n6u∗q(t)?y-ẏ = f (y, w) + qΘ(y)∗y-ẏ ∗ = f (y ∗ , w∗ )−Θ(y ∗ ) x̃L2 [x̃]6L1 [z]r(t)?- @nZ∗?- @nz6ẋ = A(t)x + B(t)u + qРис. 1.2.объекта, составляют только часть управлений, формирующих поведение управляемой динамической системы.
И дело здесь вот в чем:исполнительные и измерительные устройства сами могут описываться дифференциальными уравнениями, а переменные, входящие в этиуравнения, должны быть включены в состав вектора состояния yуправляемой системы.Например, исполнительные и измерительные устройства, как правило, включают в свой состав усилители сигнала.
Подходящей математической моделью усилителя служит следующая модель: пусть s(t)— вход усилителя, v(t) — его выход. Имеет место соотношение:T v̇ + v = ks,где T — постоянная времени усилителя, k — коэффициент усиления, авеличина v должна быть включена в состав вектора состояния управляемой системы.Кроме того возмущения q(t), r(t), включающие в себя и инструментальные погрешности всех входящих в систему устройств, такжемогут описываться дифференциальными уравнениями.Для примера опишем простейшую модель измерителя. Пусть l —измеряемая величина, l — результат измерения. При этомl = l + κl + ε0 + εs .Здесь κ – погрешность масштаба (или мультипликативная погрешность), ε0 — дрейф (смещение) нуля — аддитивная погрешность, εs– случайная высокочастотная погрешность.
Часто величины κ и ε0считают постоянными, и тогда их можно описать уравнениями:κ̇ = 0, ε˙0 = 0.Величины κ и ε0 включаются в состав вектора состояния управляемой системы. Таким образом, из-за включения в состав вектора14состояния указанных выше переменных, он оказывается достаточновысокой размерности.Мы рассмотрели одну из возможных математических моделейуправляемой динамической системы. Возможны иные модели. Далеемы будем рассматривать только такие модели, которые описываютсяобыкновенными дифференциальными уравнениями.15Лекция 2Основные понятия: устойчивость,управляемость, наблюдаемостьПри выборе исполнительных и измерительных устройств из некоторого доступного набора и при формировании законов управленияследует руководствоваться рядом условий и требований, некоторые изкоторых обязательны. Первое из таких условий — при q = 0, r = 0,естественно потребовать чтобы вектор x по норме x = (x x)1/2был достаточно малой величиной, начиная с какого-то момента времени.
Формализация этого требования связана с понятием устойчивости, которое мы далее и сформулируем в достаточно общем виде.Рассмотрим векторное уравнение ẏ = f (y, t), y ∈ Rn . Пусть уравнение таково, что при y(t0 ) = y ∗ (t0 ) существует решение y ∗ (t) приt ∈ [t0 , ∞].
Рассмотрим какое-то другое решение y(t) с начальнымусловием y(t0 ) и образуем разность x(t) = y(t) − y ∗ (t). Имеем:ẋ = ϕ(x, t),(2.1)где ϕ(x, t) = f (y ∗ + x, t) − f (y ∗ , t). Функция ϕ(x, t) удовлетворяеточевидному условию ϕ(0, t) ≡ 0, т.е. x = 0 является тривиальнымрешением уравнения (2.1).Определение 1. Тривиальное решение x = 0 устойчиво по Ляпунову, если для всякого ε > 0 найдется такое δ(x(t0 ), t0 , ε), чтопри ||x(t0 )|| < δ величина x(t) удовлетворяет условию ||x(t)|| < εпри t ≥ t0 .Определение 2.
Невозмущенное решение y ∗ (t) устойчиво по Ляпунову, если тривиальное решение x(t) = 0 устойчиво по Ляпунову.Определение 3. Решение y ∗ (t) называется неустойчивым по Ляпунову, если не выполняются требования определения 1.Определение 4. Решение y ∗ (t) асимптотически устойчиво, еслионо устойчиво по Ляпунову и x(t) → 0 при t → ∞ и x(t0 ) ∈ S,где S — замкнутая выпуклая окрестность точки x = 0.Определение 5. Решение y ∗ (t) экспоненциально устойчиво, если||x(t)|| ≤ M e−α(t−t0 ) , где M > 0, α > 0 — некие константы.16Устойчивость по первому приближениюРассмотрим стационарный случай. Пусть y ∗ = const и функция fне зависит явно от времени, тогдаẋ = ϕ(x),(2.2)где ϕ(0) = 0.
Разложим функцию ϕ(x) в степенной ряд по x в окрестности тривиального решения и ограничимся первым (линейным) слагаемым. Будем иметь вместо (2.2) уравнениеẋ = Ax,(2.3)∂ϕ(x) где A = ∂x = const .x=0Характеристическое уравнение системы (2.3) имеет вид: det(λE −A) = 0 и пусть Reλj < 0 ∀j, где λj — корни характеристического уравнения. Очевидно, что в этом случае решение уравнения (2.3)асимптотически устойчиво.
Если хотя бы для одного из корней λj выполнено Reλj > 0, имеет место неустойчивость.Теорема 1 (Об устойчивости по первому приближению. А.М.Ляпунов1899). Если все корни характеристического уравнения матрицы A имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение уравнения (2.2), а также невозмущенное решение y ∗ асимптотически устойчиво. Если действительнаячасть хотя бы одного из корней положительна, то тривиальное решение уравнения (2.2), а также решение y ∗ (t) неустойчиво. Если корни характеристического уравнения не удовлетворяют ни одному из указанных двух условий, имеет место пограничный случай, требующий дополнительных исследований.Здесь теорема об устойчивости по первому приближению приводится без доказательства.Пример пограничного случая.
Рассмотрим уравнение ẍ + x3 = 0.Характеристическое уравнение по первому приближению имеет нулевой корень кратности два, и решение первого приближения таково:x(t) = C1 + C2 t, т.е. неустойчиво. Решение же исходного уравненияустойчиво (не асимптотически), поскольку фазовые кривые имеют42вид x4 + ẋ2 = c > 0.Критерий ГурвицаПри анализе устойчивости возникает задача определения корнейхарактеристического уравнения матрицы A.
Непосредственное вычисление корней при больших n весьма трудоемкая процедура. Кроме17того в практических задачах полезно установить зависимость корнейот параметров системы. Здесь на помощь приходит критерий Гурвица.Для характеристического уравнения общего видаa0 λn + a1 λn−1 + . . . + an = 0составляется определитель Гурвица ( не нарушая общности для простоты записи ограничимся случаем, когда n = 4): a1 a0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 a4 a3 a2 . 0 0 0 a4 Способ составления определителяОбразуем угловые миноры:a1 a1 a0 , Δ3 = a3Δ1 = a1 , Δ2 = a3 a20очевиден.
Считаем, что a0 > 0.a0a2a40 a1 , Δ4 −сам определитель.a3 Критерий Гурвица: для того, чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части,необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры были положительны: Δ1 > 0; Δ2 > 0; Δ3 > 0; Δ4 > 0.Следствие: Для того, чтобы все корни имели отрицательные действительные части, необходимо, чтобы все коэффициенты ai были положительными.При n = 2 условие положительности коэффициентов (a1 > 0,a2 > 0) оказывается необходимым и достаточным для асимптотической устойчивости.При выполнении условия Гурвица анализ динамики не заканчивается.
Например, требуется, чтобы затухание переходных процессов всистеме ẋ = Ax происходило достаточно быстро, т.е требуется, чтобы модули действительных частей корней характеристического уравнения были достаточно велики. Для выяснения условий, при которыхэто происходит, вводится понятие запаса устойчивости (или степени устойчивости).В уравнении ẋ = Ax введем замену переменных: положим y =xeαt , где α > 0 — некоторое заданное число. Получим ẏ = (A + αE)y.Характеристическое уравнение будет иметь вид |λE − (A + αE)| = 0.Если для этого уравнения выполняются условия Гурвица, то говорят,что уравнение ẋ = Ax имеет запас устойчивости α.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
