В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 7

Такая задача иногда называется задачей стабилизации снеполной информацией о векторе состояния.Первый напрашивающийся вариант решения - введение обратнойсвязи по измерению u = Cz. Но в уравнении ẋ = (A + BCH)x обеспечить асимптотическую устойчивость за счет выбора матрицы C вобщем случае нельзя.Следующий шаг — введение обратной связи видаtttu = c1 z + c2 z dτ + · · · + cs . . . z dτ,t0t0t0или более сложного по структуре сигнала с введением внутренних обратных связей в контур формирования управляющего сигнала с целью40подбора параметров управления (в данном случае c1 , . . .

, cs ), обеспечивающих асимптотическую устойчивость.Но в нашем случае существует универсальная возможность сформировать линейную обратную связь по оценке, которая доставляетсядинамическим алгоритмом˙x̃(t)= Ax̃(t) + K(z(t) − H x̃(t)) + Bu(t).Уравнение ошибок имеет видΔẋ(t) = (A − KH)Δx(t),(5.9)причем матричный параметр K можно выбрать так, чтобы имела место экспоненциальная устойчивость с любой наперед заданной степенью устойчивости.Введем обратную связь u(t) = C x̃(t).

Тогда имеет место уравнениеẋ(t) = Ax(t) + BC x̃(t),или, с заменой x̃ = x − Δx,ẋ(t) = (A + BC)x(t) − BCΔx(t).(5.10)Характеристическое уравнение совокупной системы уравнений (5.9),(5.10) таково λEn − (A + BC)BC = 0.0λEn − (A − KH) Оно распадается на два|λEn − (A + BC)| = 0,|λEn − (A − KH)| = 0.В силу управляемости пары (A, B) матричный параметр C можно выбрать так, чтобы корни соответствующего уравнения имели отрицательные действительные части.Следствием вышеизложенного служит теорема о достаточныхусловиях стабилизируемости.Теорема 10. Пусть в стационарной линейной системе (5.8) пара(A, B) управляема, а пара (A, H) — наблюдаема.

Тогда система(5.8) стабилизируема.Пример 5.2. Стабилизация математического маятника относительно неустойчивого положения равновесия.Уравнение движения имеет видα̈ − ω 2 sin α = u,где u — нормированный управляющий момент.41В данном случае желаемое состояние α = α̇ = 0. Пусть измеряется угол α: z = α. Имеем уравнения в линейном приближении:ẋ1 = x2 ,ẋ2 = ω 2 x1 + u,z = x1 .Алгоритм оцениванияx̃˙ 1 = x̃2 + k1 (z − x̃1 ),x̃˙ 2 = ω 2 x̃1 + k2 (z − x̃1 ) + u.Уравнения ошибок оценкиΔẋ1 = −k1 Δx1 + Δx2 ,Δẋ2 = (ω 2 − k2 )Δx1 .Характеристическое уравнение λ + k1−1 22 −ω 2 + k2 λ = λ + k1 λ + (k2 − ω ) = 0.Выберем k1 и k2 из условия асимптотической устойчивости уравненийошибок оценки: k1 > 0, k2 − ω 2 > 0.Алгоритм управленияu = c1 x̃1 + c2 x̃2 ,ẋ1 = x2 ,ẋ2 = ω 2 x1 + c1 x̃1 + c2 x̃2 ,где x̃1 = x1 − Δx1 , x̃2 = x2 − Δx2 .

Характеристическое уравнениесобственно управляемой системыλ−1 22 −(ω 2 + c1 ) λ − c2 = λ − c2 λ − (ω + c1 ) = 0.Выберем c1 , c2 из условия, чтобы корни этого уравнения имели отрицательные действительные частиc2 < 0,c1 + ω 2 < 0.Указанный выбор параметров k1 , k2 , c1 , c2 обеспечивает стабилизацию.42Лекция 6Структура стационарных динамическихсистем с позиций управляемостиДостаточно полная математическая модель реальной управляемойсистемы, каков бы ни был в ней набор исполнительных механизмов иизмерительных устройств, строго говоря, не вполне управляема. Этотфакт есть прежде всего следствие включения в вектор состояния моделируемой части инструментальных погрешностей и возмущений ипеременных, описывающих динамику работы исполнительных и измерительных устройств.Практически важно построение теории, позволяющей выделять изсистемы её управляемую и наблюдаемую часть, иначе, декомпозировать (расщеплять) систему с точки зрения управляемости и наблюдаемости.Элементы этой теории следуют ниже.1.

Декомпозиция линейных стационарных системс точки зрения управляемостиОбсудим сначала вопрос о декомпозиции с точки зрения управляемости.Рассматривается стационарная системаẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)(6.1)Пусть условие управляемости для этой системы не выполняется,т.е. rank W < n, гдеW = (B, AB, A2 B, .

. . , An−1 B)(6.2)Вначале рассмотрим вопрос о декомпозиции с геометрическойточки зрения. Для простоты будем считать, что управление скалярно,т.е. рассматривается системаẋ(t) = Ax(t) + bu(t)(6.3)где b — матрица-столбец. В этом случае матрица W квадратная иимеет вид:W = (b, Ab, A2 b, .

. . , An−1 b),43илиW = (g 1 , g 2 , . . . , g n ),гдеg 1 = b,...g j+1 = Ag j .Пусть первое g i , которое оказывается линейно-зависимым отпредыдущих, есть g m+1 (m < n):g m+1 = α1 g 1 + α2 g 2 + . . . + αm g m .Тогда все последующие g j выражаются линейно через первые mвекторов g j .Тогда rank W = m.

Пусть Rgm — подпространство, натянутое навекторы g 1 , . . . , g m . Набор g 1 , . . . , g m в этом подпространстве является базисом.Подпространство Rgm , очевидно, инвариантно по отношению кпреобразованию A: eсли f ∈ Rgm , то Af ∈ Rgm . Но тогда подпространство Rgm инвариантно к преобразованию Ak (k любое) и к преобразованию eAt , посколькуeAt = E + At + A2t2t3+ A3 + .

. . .2!3!Обратимся к уравнению (6.3). Пусть пока u = 0 и начальные условиядля x выбраны из подпространства Rgm , то естьx(t0 ) = ξ10 g 1 + ξ20 g 2 + . . . + ξm0 g m = (g 1 , g 2 , . . . , g m )ξ0 ,где ξ0 = (ξ10 , ξ20 , . . . , ξm0 ) . В этом случаеx(t) = eA(t−t0 ) (g 1 , g 2 , . . . , g m )ξ0 .Так как подпространство Rgm инвариантно к преобразованию eAt ,то x(t) ∈ Rgm :x(t) = ξ1 (t)g 1 + .

. . + ξm (t)g m = (g 1 , . . . , g m )ξ(t),где ξ(t) = (ξ1 (t), ξ2 (t), . . . , ξm (t)) .Таким образом, если фазовая точка в начальный момент находитсяв подпространстве Rgm и u = 0, то она будет оставаться в этом подпространстве в любой момент времени.44Пусть теперь, напротив, x(t0 ) = 0, тогда решения уравнения (6.3)имеет видtx(t) = eA(t−τ ) g 1 u(τ )dτ,t0Очевидно представлениеeAt g 1 = ϕ1 (t)g 1 + ϕ2 (t)g 2 + . . . + ϕm (t)g m ,где ϕj (t) — некоторые функции времени. Отсюда следует:⎤⎡ t⎤⎡ tx(t) = ⎣ ϕ1 (t − τ )u(τ )dτ ⎦ g 1 + . . . + ⎣ ϕm (t − τ )u(τ )dτ ⎦ g m .t0t0Это выражение означает, что никакое управление u(t) не может вывести фазовую точку из подпространства Rgm .

В общем случае, еслиначальное состояние принадлежит Rgmx(t0 ) = ξ10 g 1 + ξ20 g 2 + . . . + ξm0 g m ,то любая фазовая траектория, порожденная некоторым управлениемu(t), лежит в подпространстве Rgm и величину x(t) можно представитьв виде контрвариантного разложенияx(t) = ξ1 g 1 + ξ2 g 2 + . . . + ξm g m .Подставляя это разложение в уравнение (6.3) и принимая во вниманиесоотношенияAg j = g j+1 ,Ag m = α1 g 1 + . . . + αm g m ,j = 1, .

. . , m − 1,получим:ξ˙1 = α1 ξm + u,ξ˙2 = ξ1 + α2 ξm ,...(6.4)ξ̇m = ξm+1 + αm ξm ,или более краткоξ˙ = Ag ξ + (1, 0, . . . , 0) u,где матрица Ag имеет вид:⎛⎞0 0 0 . . . 0 α1⎜ 1 0 0 . . . 0 α2 ⎟⎟Ag = ⎜⎝ ..................... ⎠.0 0 0 . . . 1 αm45Пара (Ag , (1, 0, . . . , 0) ) управляема.

Легко показать, что в этомслучае матрица управляемости Wg равна единичной: Wg = E.Подведем итоги. Подпространство, натянутое на столбцы матрицыуправляемости, называется инвариантным управляемым подпространством. Его размерность равна рангу матрицы управляемости.Если эта матрица максимального ранга, то управляемое инвариантное подпространство совпадает с полным пространством. Основноесвойство указанного подпространства — инвариантность к преобразованию A и, стало быть, к преобразованию eAt .Следствия:1. Если в начальный момент фазовая точка системы находится вуправляемом подпространстве, то она в нем и остается при любом управлении u.2.

Система может быть переведена из нулевой фазовой точки засчет управления в любую наперед заданную фазовую точку,принадлежащую инвариантному управляемому подпространству.Обратимся к общему случаю (6.1), когда управление u, вообщеговоря, вектор. При этом применим несколько иной подход, уделивбольшее внимание процедурной стороне дела.Пусть rang W = m < n.

Тогда среди столбцов (векторов) матрицы W существует m линейно-независимых, которые образуют базисподпространства, натянутого на эти векторы. Также как и ранее показывается, что это подпространство будет инвариантно к преобразованиям A, A2 , . .

. и, стало быть, к преобразованию eAt . Для примерарассмотрим случай, когда u — двухмерный вектор. Тогда можно написатьẋ(t) = Ax(t) + b1 u1 (t) + b2 u2 (t),B = (b1 , b2 ).Введем векторыg 1 = b1 ,12f =b ,g 2 = Ag 1 ,21f = Af ,... ,... ,g j+1 = Ag j ,fj+1j= Af ,......Тогда матрица управляемости имеет видW = (g 1 , f 1 , g 2 , f 2 , . . . , g n , f n ),где n = dim x.mтаОдин из вариантов построения базиса подпространства Rg,fков. Рассмотрим два набора{g 1 , g 2 , . . .