Главная » Просмотр файлов » В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем

В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (1158263), страница 5

Файл №1158263 В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем) 5 страницаВ.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем (1158263) страница 52019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для наблюдаемости пары (A, H) вмомент времени t необходимо и достаточно, чтобы нашелсямомент t0 < t такой, что det N (t, t0 ) = 0, т.е. N (t, t0 ) > 0.Доказательство. Выведем критерий наблюдаемости в общем(нестационарном) случае A = const , H = const . Доказательство теоремы можно провести аналогично доказательству теоремы 2 (смотрите лекцию 3). Но здесь мы пойдем по другому пути, используя возможность продемонстрировать метод наименьших квадратов, к которомумы будем обращаться в последующих лекциях.Рассмотрим уравнения (3.6). Зафиксируем некоторый момент t0 ,который будем рассматривать как начальный. Для определения x(t)имеем уравнениеz(τ )= H(τ )Φ(τ, t)x(t),(3.7)которое должно удовлетворяться для всякого τ из интервала [t0 , t].27Достаточность.

Попробуем построить конкретный алгоритм определения x(t) из уравнения на интервале [t0 , t]. Выберем в качествепробной некоторую величину x(t). Для произвольного момента τ ∈[t0 , t] это пробное x(t) не обязательно удовлетворяет уравнению (3.7)и имеется рассогласование (невязка)Δz(τ ) = z(τ ) − H(τ )Φ(τ, t)x(t).Естественно потребовать, чтобы пробное решение x(t) минимизировало в некотором смысле совокупность всех невязок на интервале[t0 , t]. Мерой невязки может служить следующий функционалtt2(3.8)J[x] = Δz(τ ) dτ = Δz (τ )Δz(τ ) dτ.t0t0Так как ограничения на x отсутствуют и функционал (3.8) являетсяквадратичным, то оптимальное решение x(t) выбирается из условия∂J= 0,(3.9)∂xкоторое приводит при det N = 0 к решениюt−1x(t) = N (t, t0 ) Φ (τ, t)H (τ )z(τ ) dτ.(3.10)t0Полученное нами решение является точным.

Это следует из прямойподстановки выражения (3.7) в выражение (3.10). Отсюда также следует, что наш функционал на решении (3.10) обращается в ноль: J =0.Необходимость. Предположим, что система наблюдаема, т.е. существует единственное решение уравнения (3.7)z(τ ) = H(τ )Φ(τ, t)x(t),τ ∈ [t0 , t].Пусть матрица N (t, t0 ) не является положительно определенной, т.е.для некоторого x = x(t)x N (t, t0 )x = 0(3.11)и этому x отвечает свое измерение z(τ ) в соответствии с соотношением (3.7). Из (3.11) следует⎤⎡ tt⎣Φ (τ, t)H (τ )H(τ )Φ(τ, t) dτ ⎦ x = z (τ )z(τ ) dτ = 0,xt028t0или z(τ ) ≡ 0 для всех τ ∈ [t0 , t]. Следовательно, для рассматриваемойсистемы существует решение x(t), которое невозможно отличить отнулевого, что противоречит условию о наблюдаемости.Замечание 2.

Вместо уравнения (3.7), определяющего x(t),можно рассматривать уравнение для определения x(t0 ) = x0z(τ ) = H(τ )Φ(τ, t0 )x(t0 ), t0 ≤ τ ≤ t.Эквивалентный грамиан наблюдаемости выглядит такtN (t, t0 ) = Φ (τ, t0 )H (τ )H(τ )Φ(τ, t0 ) dτ.(3.12)t0Рассмотрим теперь стационарный случай A = const , B = const .Критерий наблюдаемости для стационарной системы формулируетсяследующим образом.Теорема 6. Для наблюдаемости стационарной пары (A, H)необходимо и достаточно выполнения условия⎞⎛H⎜ HA ⎟⎟.rank N = n, N = ⎜⎠⎝...HAn−1Матрицу N назовем матрицей наблюдаемости.Последний критерий поясним рассуждениями, которые, посуществу, представляют вариант его вывода.Аналитическая функция z(t) однозначно определяется значениямиэтой функции и всех ее производных в некоторый момент t.

В силууравнения (3.6), получим в этот моментz(t) = Hx(t), ż(t) = HAx(t), . . . z (n−1) (t) = HAn−1 x(t). (3.13)Но все последующие производные z, в силу теоремы Гамильтона - Кэли, являются линейными комбинациями величины z и ее первых n − 1производных и поэтому не несут в себе новой информации о вектореx. Таким образом, возможность определения вектора x по измерениямz(τ ), τ ∈ [t0 , ∞] эквивалентна возможностям, содержащимся в системе (3.13).Но для того, чтобы система (3.13) имела однозначное решение x(t)необходимо и достаточно, чтобы rank N = n.Приведем некоторые полезные на практике факты, связанные спонятием управляемости и наблюдаемости.

В уравнениях (3.5) перейдем к новой переменнойξ = Cx,29где C — постоянная квадратная невырожденная матрица. Уравненияотносительно ξ имеют вид:ξ˙ = CAC −1 ξ + CBu,z = HC −1 ξ.ОбозначимAc = CAC −1 , Bc = CB, Hc = HC −1 .Имеет место следующее свойство: из управляемости пары (A, B) инаблюдаемости пары (A, H) следует управляемость пары (Ac , Bc ) инаблюдаемость пары (Ac , Hc ), и наоборот, то есть свойства управляемости и наблюдаемости инвариантны к невырожденному преобразованию вектора состояния. Доказательство здесь не приводится.Сформулируем еще одну методически важную теорему о сопряженности задач управления и наблюдения.Рассмотрим две линейные динамические системы, сопряженныедруг другу.Система I:ẋ = Ax + Bu,z = Hx.Система II:ξ̇ = −A ξ + H v,ς = B ξ.Теорема 7.

[О сопряженности понятий управляемости и наблюдаемости] Система II вполне управляема, если и только есливполне наблюдаема система I. Система II вполне наблюдаема,если и только если вполне управляема система I.Справедливость утверждения следует из сравнения соответствующих грамианов управляемости и наблюдаемости.Но понятие сопряженности существенно шире, чем содержаниетолько что сформулированной теоремы. Именно, все результаты, связанные с одной из характеристик, переносятся сопряженным образом на другую характеристику. Последующее изложение подтверждает сказанное.30Лекция 4Контрвариантные и ковариантныекоординаты, алгоритмы управления сзаданными свойствами переходныхпроцессовОбсудим теперь две задачи.Первая из них — пусть стационарная системаẋ = Ax + Bu,z = Hx,вполне управляема, т.е.

вполне управляема пара (A, B). Как строить алгоритм управления (или более узко — алгоритм стабилизации)?Один из таких алгоритмов, равно пригодный как для нестационарных,так и для стационарных систем, был рассмотрен при доказательстветеоремы (2.5). Будет показано, что по крайней мере в стационарномслучае более приемлем алгоритм в виде линейной обратной связи.Вторая задача — построение алгоритмов, доставляющих оценкувектора состояния, если пара (A, H) вполне наблюдаема.

Один из таких алгоритмов был рассмотрен при доказательстве теоремы (3.5). Ноболее удобным и выгодным со многих точек зрения оказывается динамический алгоритм оценивания. Он находит в настоящее время самоеширокое применение в разнообразных конкретных системах управления.Одно из эффективных средств решения поставленной задачи —выбор подходящего вектора состояния (вектора фазовых координат),связанного с первоначальным вектором невырожденным линейнымпреобразованием, т.е.

выбор подходящего базиса, в котором решениезадачи было бы очевидным.Пусть x̄, ȳ, z̄ — инвариантные обозначения векторов, не привязанные к какому-либо базису.Как известно, задаваясь базисом {ē1 , ..., ēn } в пространстве состояния, произвольный вектор x̄ можно определить двояким образом:во-первых, представить его в форме разложения по базисным векто31рамx̄ =njx+j ē ,(4.1)j=1и, во-вторых, задать n скалярных произведений jx−j = 1, ..., n .j = x̄ ē ,(4.2)x+jназываются контрвариантными координатами, величиВеличиныны x−—ковариантнымикоординатами. Соответственно, вводятсяjдва вектора-столбца+ − x− = (x−(4.3)x+ = (x+1 ...xn ) ,1 ...xn ) .Если базис ортонормированный, то x+ = x− .

Столбец x в уравнении (4.2) интерпретируется как столбец, составленный из координатвектора x в ортонормированном базисе {ēj }, при этом сами векторы ēj представляются в этом базисе как единичные столбцы ej =(0...1...0) .Введем новый базис {ḡ 1 , ..., ḡ n } и будем использовать представление векторов ḡ j в виде столбцов g j , составленных из координат векторов ḡ j в базисе {ēj }. Столбцы g j образуют матрицу G(4.4)G = (g 1 ...g n ).Обозначим через ξ + и ξ − столбцы, составленные из контрвариантныхи ковариантных координат вектора x̄ в базисе {ḡ 1 , ..., ḡ n }⎛ + ⎞ξ1⎜ ξ+ ⎟⎜ 2 ⎟x = ξ1+ g 1 + ξ2+ g 2 + .

. . ξn+ g n = (g 1 , g 2 , . . . , g n ) ⎜ . ⎟ = Gξ + .⎝ .. ⎠ξn+ξ1− = x g 1 = g 1 x,ξ2− = x g 2 = g 2 x,......ξn−Или= x g n = g n x.⎛g 1⎞⎜ 2 ⎟⎜g ⎟⎟⎜x = G x.ξ =⎜..⎟⎟⎜.⎠⎝−g n32Отсюда, кстати, следует ξ − = G Gξ + .Как будет показано далее, в стационарной задаче управления координаты при переходе к новому базису целесообразно понимать какконтрвариантные, что позволяет решить ее в той или иной постановке наиболее экономным и наглядным образом. Стационарной задаченаблюдения в той или иной постановке соответствуют ковариантныекоординаты. Такая двойственность в выборе координат вытекает изсопряженности друг другу задач управления и наблюдения.Далее напомним некоторые факты из линейной алгебры, которыебудут использованы в дальнейшем.Рассмотрим произвольный вектор-столбец f (n × 1) и произвольную квадратную матрицу A(n×n). Образуем последовательность векторов(4.5)g 1 = f, g 2 = Ag 1 , ..., g j+1 = Ag j , ...

.Пусть первый вектор последовательности {g j }, линейно зависимый отпредыдущих, есть g k+1g k+1 = α1 g 1 + ... + αk g k ,k ≤ n.(4.6)Тогда все последующие векторы последовательности {g j } также являются однозначными линейными комбинациями первых k векторов.Доказательство — по индукции.Отсюда следует, что подпространство, натянутое на векторы g j ,k-мерно и набор векторов {g 1 , ..., g k } служит базисом этого подпространства.Если k = n, то набор векторов {g 1 , ..., g n } служит базисом полногопространства(4.7)g n+1 = α1 g 1 + ... + αn g n .Запишем характеристическое уравнение матрицы A|λE − A| = λn + a1 λn−1 + ... + an−1 λ + an = 0.Как уже говорилось, справедлива теорема Гамильтона-Кэли, по которой любая матрица удовлетворяет собственному характеристическому уравнениюAn + a1 An−1 + ...

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее