Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 99

Пропускпая способность двоичного стирающегоканала с вероятностью стирания р равнаQ(p)=1- 2рпри О:::;:р(: 1/2.Пропускнан способность двоичного деполяризующего канала до сих порнеизвестна. Ее вычисление представляет собой довольно тонкую пробле­му, nоскольку оnтимальный код может быть вырожденным; в частности,СJI)'Чайные коды не достигают асимптотически оптимальной скорости вос­произведения по квантовому каналу.100[ЛАВА7.18.7.1.7УпражненияКод коррекции фазовых ошибок. а) Постройте генераторы стабили­затора для кода сn=3, k=1,который может исправить одно инвер­тирование бита; убедитесь в том, что восстановление возможно прилюбой ошибке из множества Е={111,Х11, 1Х1, 11Х}.

Найдитеортанормированный базис для двумерного кодового подпространства.Ь) Постройте генераторы стабилизатора для кода сn = 3, k = 1,ко­торый может исправить одну фазовую ошибку; убедитесь в том, чтовосстановление возможно при любой ошибке из множества Е={111, Z11, 1Z1, 11Z}.=Найдите ортанормированный базис длядвумерного кодового подпространства.7.2.Коды обнаружения ошибок.

а) Постройте генераторы стабилизаторадля квантового кода [[п,k, d]] = [[3, О, 2]]. Используя этот код, мы мо­жем обнаружить любую однокубитовую ошибку. Найдите закодиро­ванное состояние. (Не кажется ли оно вам знакомым?)Ь) Два КККО С 1 и С2 (с одинаковой длинойn)эквивалентны, еслипересталовка кубитов, в совокупности с однокубитовым унитарнымпреобразованием, иревращает кодовое подпространствостранство С2 • Все ли стабилизирующие кодыс) Существует ли стабилизирующий код7.3.[[3, О, 2]][[3, 1, 2]]?clв подпро­эквивалентны?Максимальное запутывание.

Рассмотрите квантовый код [[5, 1, 3]],генераторы стабилизатора которого М 1 = XZZX1, а М 2 3 4 полу­чаются из М 1 циклическими перестановками, и выберите ~ ~ачествезакодированной операции Z = ZZZZZ. Из закодированных состояний/0) с Z/0) = /0) и JI) с Z/I) = -JI) постройте код с n = 6, k = О,закодированное состояние которого имеет вид~(/0) ®-/0) + /1) ® ji)).(7.271)а) Постройте множество генераторов стабилизатора для этого кодасn=6, k=О.Ь) Определите расстояние этого кода.

(Вспомните, что для кода сk=Орасстояние определяется как минимальный вес любого элемента ста­билизатора.)с) Найдите р(з), матрицу плотности, которая получается, если выби­раются три кубита, а по состояниям трех других кубитов вычисляетсяслед.7.18.УПРАЖНЕНИЯ1017.4. Кодовые слова и нелокальность. Для кода [[5, 1, 3]] с генераторамистабилизатора и логическими операторами из предыдущей задачи:а) ВыразитеZ как оператор Паули с весом три, через тензорное произ­ведение операторов1,Х иZ(без У). Обратите внимание, что вслед­ствие цикличности кода все циклические перестановки вашего выра­жения являются эквивалентными способами представленияZ.Ь) Используйте предположение об эйнштейновской локальности ( скры­тые локальные переменные ), чтобы предсказать зависимость междупятью (связанными циклически) найденными в (а) наблюдаемымии наблюдаемойZZZZZ.Выполняется ли эта связь между наблюда­емыми в состоянии IO)?с) Что сказал бы об этом Эйнштейн?7.5.Обобщенный код Шора.

Для целого числа т~2,щение 9-кубитового кода Шора с параметрами= т 2 , k = 1 и кодо­nрассмотрите обоб­вым подпространством, натянутым на два состояния:IO) = (IOOO ... О)+ 1111 ... 1) )0m,11)(IOOO ... О) -1111 ... 1)) 0 m.=(7.272)а) Постройте генераторы стабилизатора для этого кода, а так же логи­ческие операцииZиХ, такие чтоZlб) = lб),Хlб) =.ZJI) = -II),XII) =ii),lб) .(7.273)Ь) Каково расстояние этого кода?с) Предположите, что т- нечетноечисло и что каждый из n = т 2кубитов подвергается действию деполяризующего канала с вероятно­стью ошибки р.

Насколько хорошо этот код защищает закодированныйкубит? В частности,(i)в главном нетривиальном порядке пор, оцените вероятность логи­(ii)в главном нетривиальном порядке по р, оцените вероятность ло­ческой ошибки инвертирования бита IO) ~ II),гической фазовой ошибки jO) _____. IO), II) _____. -II).d)Рассмотрите асимптотическое поведение вашего результата в (с) прибольшом т. Какому условию должно удовлетворять р, чтобы код обес­печил хорошую защиту:ошибок в пределеn _____.(i)оо?от инвертирования битов и(ii)от фазовыхГЛАВА10277.6. Кодирующие схемы. Для квантового кода [[п, k, d]] кодирующим пре­образованием служит унитарное преобразование U, действующее какU : J?j!) 0]0)0(n-k) ___. jф),где(7.274)произвольмое k-кубитовое состояние, а jф)J?j!) -- соответству­ющее закодированное состояние.

Разработайте квантовую схему, осу­ществляющую кодирующее преобразование для7.7.а) кода Шора[[9, 1, 3]];Ь) кода Стина[[7, 1, 3]].Укорачивание квантового кода. а) Рассмотрите двоичный стабили­[[n, k, d]].зирующий кодПокажите, что можно выбратьn- kгене­раторов стабилизатора так, чтобы на последний кубит нетривиальнодействовали не более двух (то есть оставшиесяприменяют к последнему кубитуЬ) Этиn- k- 2 генераторовn- k- 2генераторов1).стабилизатора, применяющих1к послед­нему кубиту, по-прежнему будут коммутирующими и независимыми,если мы выбросим последний кубит.

Следовательно, они представляютсобой генераторы для кода с длинойn- 1 и k + 1 закодированными ку­битами. Покажите, что если исходный код невырожден, то расстояниеукороченного кода равно по крайней мере d- 1. (Указание: Сначалапокажите, что если существует элемент (n- 1)-кубитовой группы Па­ули с весомt,коммутирующий со стабилизатором укороченного кода,то существует элемент п-кубитовой груШIЫ Паули с весом, не превы­шающимt+ 1, коммутирующий со стабилизатором исходного кода.)с) Примените процедуру укорачивания (а) и (Ь) для КККО[[5, 1, 3]].Узнаёте ли вы полученный код? (Указание: Может оказаться полез­ным воспользоваться свободой выбора базиса для некоторых из куби­тов.)7.8.Коды для кудитов.

Кудит представляет собой d-мерную квантовуюсистему. Действующие на кубиты операторы Паули1,Х иZможнообобщить на кудиты следующим образом. Пусть {JO), J1), ... , Jd -1)}обозначает ортанормированный базис в гильбертовам пространствеодного кудита. Определите операторы:Х:Jj) ___. Jj + 1 (mod d)),Z : Jj) ___. wjjj),(7.275)7.18.где UJ = exp(2пi/d). ТогдаEr,sУПРАЖНЕНИЯ103d х d-операторы Паули Er,s равны= xrzs,r, s= О, 1, ... , d- 1.(7.276)а) Образуют лиEr,s базис в пространстве операторов,на кубит? Унитарны ли они? Вычислите tr(Et,sEt,u)·действующихЬ) Операторы Паули удовлетворяют условиям(7.277)где Т/r,s;t,u-фазовый множитель. Вычислите этот фазовый множитель.п-кратные тензорные произведения этих действующих на кудит опера­торов Паули образуют группу G~d) порядка d2 n+l (и если мы удалимего d-элементный центр, то получим группу G~d) порядка d 2 n). Чтобыпостроить стабилизирующий код для кудитов, мы выбираем абелевуподгруппу группы G~d) с n -kгенераторами; такой код является об­щим собственным состоянием этих генераторов с собственным значе­нием единица.

Еслиимеет размерностьизnd -простое число, то кодовое подпространствоdk: k логических кудитов закодированы в блокекудитов.с) Объясните, насколько иной может быть размерность, еслиется простым числом. (Указание: Рассмотрите случай7.9.Измерение синдрома для кудитов.

Ошибкивdкудитахd не явля­=4иn =1.)выявляютсяпри измерении генераторов стабилизатора. С этой целью мы можемосуществить двухкудитовый вентильCNOT),SUM (который обобщает вентильдействующий какSUM : lj) ® lk)-->lj) ® lk + j (mod d)).а) Опишите содержащую вентилиSUM(7.278)квантовую схему, которуюможно осуществить для измерения п-кудитовой наблюдаемой вида(7.279)аЕслиd-простое число, то для каждогоr, s=О,ствует такой однокудитовый унитарный оператор1, 2, ... , d- 1U r,s, чтосуще­(7.280)ГЛАВА 7104Ь) Опишите содержащую вентилиSUMиUr 8квантовую схему, кото­рую можно осуществить для измерения про~звольного элемента G~d)видаN\E.\(уra,Sa(7.281)а7.10.Коды обнаружения ошибок для кудитов.

Кудит сd=3называетсякутритом. Рассмотрите кутритоный стабилизирующий код с длинойn= 3и с одним(k= 1)закодированным кутритом, определяемыйдвумя генераторами стабилизатораzzz,ххх.(7.282)а) Коммутируют ли генераторы?Ь) Определите расстояние кода.с) Найдите явное выражение ортонормированного базиса для трех­мерного кодового подпространства через ортонормированный базис{10), 11), 12)}d)для кутрита.Постройте генераторы стабилизатора дляда (где т-n = 3mкутритоного ко­произвольвое положительное целое число) сk = n - 2,который может обнаружить одну ошибку.е) Постройте генераторы стабилизатора для выявляющего одну ошиб­ку кудитового кода с параметрами7.11.n= d, k = d -2.Коды коррекции ошибок для кудитов. Рассмотрите кудитовый ста­билизирующий код приМ1 =М2=Мз=М4=n = 5, k = 1хz1хх-1z-11х-1с генераторами стабилизатораz-1 х-1 1z z-1 х-1z z-1х1хz(7.283)(второй, третий и четвертый генераторы получены из первого при по­мощи циклических перестановок кудитов).а) Определите порядок каждого генератора.

Действительно ли генера­торы независимы? Коммутируют ли они? Является ли пятая цикличе­ская перестановкаzz- 1х-11Х независимой от остальных?Ь) Определите расстояние этого кода. Является ли код невырожден­ным?7.18.УПРАЖНЕНИЯс) Постройте закодированные операции Х и105Z,выразив их как опера­d эти опе­торы с весом три. (Убедитесь в том, что для любого значенияраторы подчиняются правильным коммутационным соотношениям).Решения упражнений к главе 7 17.1.Коды коррекции фазовых ошибока) Квантовый код коррекции инвертирования бита является классическимкодом повторения.