Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2 (1156795), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Однако этот этап[[9, 1, 3]] и [[7, 1, 3]].нельзя забывать в случае кодирующих схем длякодов1Подробности можно найти в диссертации Д. ГоттесманаError Correction, quant-ph/9705052.Stabllizier Codes and QuantumЯ не хочу здесь доказывать это утверждение.7.18.УПРАЖНЕНИЯ117Анализ алгоритма кодированияАнализ того, почему это работает, увел бы нас далеко в сторону и сделал бы еще длиннее это уже и без того длинное решение. Интересующегося читателя я отсылаю к диссертации Даниэля Готтесманаand Quantum Error Correction,Stabllizier Codesдоступной на домашней странице этого курса. Однако некоторые диаграммы в диссертации неправильны.
В частности,j > i, в Mi необходимо1. Для предлагаемых здесь задач этот нюанс не важен, такв них не учитывается тот факт, что всякий раз, когдазаменятьZjнакак вся контролирующая логика осуществляется только с помощью операторов Х.Применяя этот алгоритм к кодам Шора и Стина, мы генерируем кодировщики:1)2)111i11нIIIi11н111111111111111111::1111111111111111111111:1н11111н1111117.7.нIII1111Укорачивание квантового кодаа) Допустим, что на последний кубит нетривиально действует более двухгенераторов. Выберем один из них, назовем его для определенности М 1и выполним на последнем кубите локальное унитарное преобразование так,чтобы этот генератор действовал здесь как Х. Затем умножим на М 1 каж-ГЛАВА 7118дый другой генератор, действующий на последний кубит как Х или У.Если после этого шага не осталось других генераторов с нетривиальнымносителем на последнем кубите, то мы выполнили свою работу.
В противном случае, в соответствии с предыдущим действием М 1 , все такие оставшиеся генераторы должны действовать на последний кубит какZ.Выберемодин из этих генераторов и назовем его М 2 . Умножим на М 2 каждый другой генератор, действующий на последний кубит какZ.Получающийсяв результате стабилизатор имеет самое большее два (а именно, М 1 и М 2 )генератора, нетривиально действующих на последний кубит.Ь) Это утверждение трудно доказать, поскольку оно неверно. В качествеконтрпримера рассмотрим «выколотый» 1 код Шора [[9, 1, 3]]. Он не является кодом[[8, 2, 2]], как это утверждается в условии.
В действительности, онпредставляет собой код [[8, 2, 1]], так как минимальный вес выкалываемойзакодированной операции равен единице:М11 1 1 1 11 1 1 1 1М3Z 1 1 1 1М41 1 1МБ1 11М6 =1 1 1 Z ZМ7 = х х х х х х 1 1 1М8 = 1 1 1 Х Х Х Х Х ХX=Z11Z11Z11Z =ХХХ111111М2=====Z11111Z 1 111 1 Z1 1 11 1 11 1 1zzzzzzм~ =м~м~м~м~м~zz1zz= 1=1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1zz1zz= 1 1 1 1= 1 1 1 1 1 1= х х х х х хzх~ =1z~ = х хх~1 1z~ = 1 1z11х 1 11 1 11 хх1 11 1zz1 1z111 1 11 1хххzРезультат правилен, если ограничиться выкалыванием невырожденныхкодов. Я докажу это от противного:Утверждение: Выколотый код1,d*]], где d* ~ d -1.+[[n, k, d]] представляет собой код [[n -1, k+Доказательство: Пусть С является кодом [[n, k, d]].
Согласно результатамчасти (а) мы знаем, что выкалывание С дает в результате код С' [[n - 1, k + 1, d*]]. Пусть d* является расстоянием кода С'; предположим, чтоd*<d - 1. По кажем, что это предположение ведет к противоречию (и,следовательно, докажем утверждение).Согласно предположению, существует оператор Е' с весом d*, коммутирующий со всеми генераторами стабилизатора кода С'. Оператор Е'1Эта терминология позаимствлвана из теории классических кодов коррекции ошибок.
Этузадачу лучше было озаrnавить «Выкалывание квантовоm кода». Процесс укорачивания кодапредставляет собой другую операцию.7.18.УПРАЖНЕНИЯ119можно расширить до Е, который действует на С и имеет вес, не превышающийd*+ 1. Чтобы выполнить это, заметим сначала, что результаты части(а) говорят нам о том, что в самом общем виде генераторы С могут бытьзаписаны какмi =м~ 01,Мп-k-1 = X~+l 0 Х,Мп-kгде М~ (i= 1, ... , n - k - 2) -и z~+1 -закодированные х икубитk + 1.=-,Zk+10 Z,генераторы стабилизатора С', а Х~нz операторы, действующие на логическийПостроим Е, определяя его в зависимости от того, как оператор Е' 01коммутирует с генераторами Mn-k- 1 и Mn-k• следующим способом 1 (см.таблицу).[Е' 01, Мп-k- 1 ]+1+1-1-1ЕВес+1Е' 01-1E'Q9Xd*d* + 1d* + 1d* + 1+1Е' 0 Z-1Е'0УЭта конструкция гарантирует, что Е коммутирует со всеми генераторами С' и имеет вес, меньший или равный d* + 1.
Но подождите! Так как Сявляется кодом с расстоянием d, все ошибки с весом, не превосходящимd- 1, или антикоммутируют с некоторым генератором стабилизатора С,или сами содержатся в С. Однако мы только что показали, чтоwt(E)~ d* - 1 <<d-2-:f-:;, d-1,и тем не менее Е коммутирует со всеми генераторами стабилизатора С!Тогда Е на самом деле должен принадлежать стабилизатору С, что имело бы место, если бы С был вырожденным. Но мы взяли С невырожденным, то есть все элементы его стабилизатора имеют веса, превосходящиеd.Следовательно, полученное выше неравенство представляет искомое намипротиворечие.Ос) Выкалывание кода [[5, 1, 3]] дает код [[4, 2, 2]], о чем говорилось на лекциях. Сначала мы перегруппируем элементы нормализатора кода [[5, 1, 3]],1Значения +1(-1) в таблице означают, что операторы коммутируют (антикоммутируют).ГЛАВА1207при необходимости умножая генераторы на М 1 или на М 2 ,М1М2==М3 =М4 =ХZ Z1хХМ1 =1zzхХ 1 Х Z Zzх1хz11М3Х=ZХ1Х=ZZZZZZ ZzхМ4 =Х =ХХХХХZХМ 2 =-Ух х УZ Z1хХzХ1УУ1=1YZY1Затем мы обрезаем последний бит и для удобства устанавливаем общую для всех генераторов фазу+1(результирующий код изоморфен исходному с точностью до произвольной общей фазы).
Генераторы М 3 и М 4превращаются в закодированные операторыZиХ для дополнительногозакодированного кубита:Х1М 2 =УХХУ1М1 = ХМ3= 1М4 =Z ZХzхZ Z1 хХМ1 = ХвыкалываниеzХ=Х1УУ1ZZ ZХМ 2 =УХХУ=1YZY1xlzlх2z2==1 хzхzz1 х= х 1 УУ= 1 УУzМы вправе изменить базисы некоторых кубитов, то есть применять одновременные ЛУПы Х ---+Z---+ У ---+ Х к первому и последнему кубитам,чтобы получить эквивалентный стабилизатор:М1ХМ2==zlх2z2= z= х= 1Z ZХХ1 = 1М1= Z Z= ххХ Z Z ЛУПы Х 1 = 1 Хх 1 х=*= У х1 У Ух2 = z 1У z У2 = 1 УУ х х УМ2zlzZ Zх хZ У1 zУ хz хЗаменяя закодированные операторы их двойниками с весом два, мы можемсделать более очевидным, что расстояние проколотого кода равно двум.Одним из способов выполнения этого является замена:xlzlх2z2---+---+---+---+xlz2x2мl= -llXX:X 2 zlм2= -1Z1Z= -Х1Х1= -llZZxlz2x2zlxlЗаметим, что эти преобразования сохраняют коммутационные соотношения между логическими операциями.
В качестве заключительного шага мы7.18.УПРАЖНЕНИЯ121можем удалить общие фазы в нормализаторе:М1 =Z Z Z ZМ 2 =ХХХХx.l = 1 1 ххz =1z1zх2 = х 1 х 1z2 = 1 1 z z1Используя это представление закодированных операций, чтобы выбрать базис для кодовых слов, мы находим, что кодовыми словами кода[[4, 2, 2]]являютсяIOO)=~(IOOOO) + 11111)),IOI)=_1_(11010)+ 10101)),IIO) = _1_(10011)+ 11100)),J2J2IП) = ~(11001) + 10110)).Может быть, непосредственно этот код и не знаком, но его структура-да. Каждое кодовое слово является суперпозицией строк четного веса и длины четыре.
Из классического кодирования Рида-Маллера нам известно, что R(ти длины2m.1, т)является пространством всех строк четного весаСледовательно, вышеприведенные квантовые кодовые словавыглядят, как смежные классы пространстваR(1, 2)и другого, входящего в него, кода. Это подозрение подтверждается, если мы применим конструкцию КШС кR(1, 2) и к дуальному к нему R(O, 2). (Вспомним, чтоRJ_(r, т)= R(т- r -1, т).) Поскольку R(O, 2) ~ R(1, 2) [так как R(r, т)представляет полиномы степени r над JF mJ, конструкция КШС справедливаи дает квантовый код с параметрами [[4, 2, 2]]. Похоже, что этот код хорошоописывается как «квантовый код Рида-Маллера».7.8.Коды для кудитова)1)Да,{Er 8 } образуют базис для U(d). Чтобы доказать это, мы должныпоказатi, что они являются линейной оболочкой U(d).
Достаточно показать, что базис { la) (bl} для U(d) может быть разложен по {Er 8 }, таккак оба множества операторов имеют размер d 2 = dim U(d). 'ГЛАВА1227Заметим сначала, что Er,s может быть записан в базисе{ia)(bl}как 1d-1Ет,s =L>!jslj + r)(ji.j=OБазисный элементia) (blимеет разложениеd-1la)(bl =LстsЕт,s'r,s=Oкоэффициенты которого даются выражениемстs =j tr (Et,sla)(ЬI) =~ ~и- (~"'-''lj)(i + rla)(ЬI)d-1=jL"-~-js(ilj)(j + ria)(bli) =i,j=O1= d,"-~-Ьss:иа,Ь+т·Чтобы убедиться в том, что это «разложение Фурье» правильно, заметим, ЧТОd-1-- 1d ""'"'~"-~(a-b)s s:s:_(а-Ь)s s:s:_иа,Ь+тиЬ,а+т -r,s=Od-1_ 1 ""'"'- d ~"-~ит,а-Ьит,Ь-а -r,s=Od-1=jl:(lY =s=O= 1.1С этого момента все дополнительные сложения и вычитания в решениях интерпретируются по модулюd,гдеd-размерность рассматриваемого кудита.УПРАЖНЕНИЯ7.18.2)123Да, операторы {Er} унитарны.
Так как Х и Z сохраняют внутреннее8произведение, то т~ким же свойством обладает Er,s = xrzs:(iiXtXIj)= (i + llj + 1) == дij'(iiZtZij)=(ilц;-isц;Jslj)== Ц)(j-i)s (ilj) == дij•3)След внутреннего произведения базисных элементов (которые явно использовались в пунктеtr(Etr,s Е t,u )1 этой=задачи) равенtr(z-sx-rxtzи)== tr(xt-rzu-s) =d-1=L(jiXt-rzu-slj)=j=O=d-1L ц;(и-s)j (jlj+ t- r) =j=Od-1= дtr LЦ)(u-s)j =j=Oдtr · d,l-_-{ди=(u-s)d__w_ _ _tr l _Wи-s= О,Ь) Вычисляя действие коммутатора 1 [Er,s' Et,иJПробное состояние ij), мы находим=иs,-=/ sEr,sEt,uE;:;;E~~ на[Er,s• Et,иJij) = xrzsxtzиz-sx-rz-иx-tij)== Ц)-u(j-t)-s(j-t-r)+и(j-t-r)+s(j-r) lj) == Ц)st-ur lj).1 Это алгебраическое определение коммутатора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
