Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 98

На первом этапе Алиса кодируетвыбранное ей состояние в большом п-кубитовом блоке, используя согласо­ванный с Бобом (случайный) внешний код. На втором этапе Алиса кодируеткаждый из этихnкубитов в блоке из т кубитов, используя внутренний код.Подобным образом, когда Боб получаеткаждый внутренний блок изm,а затемnm кубитов, он сначала декодируетблок из n кубитов.-Очевидно, эту процедуру можно описать на альтернативном языке:Алиса и Боб используют лишь внешний код, но кубиты передаются посоставному каналу:хтЭтот модифицированный канал включает в себя (как показано на рисунке):во-первых, внутреннее кодирование, во-вторых, распространение по исход­ному каналу с помехами и, наконец, внутреннее декодирование и внутрен­нее восстановление. Скорость воспроизведения, которая в исходном каналеможет быть достигнута с помощью каскадного кодирования, такая же, каки скорость, которая может быть достигнута с помощью случайного кодиро­вания в модифицированном канале.В частности, предположим, что внутренним кодом является m-кубито­вый код повторения со стабилизатором(7.266)96ГЛАВА 7Это далеко не лучший квантовый код; он имеет единичное расстояние, таккак нечувствителен к фазовым ошибкам- каждый операторZj коммутиру­ет со стабилизатором.

Но в данном случае для нас важнее высокая высокаястепень его вырождения, все ошибкиZiэквивалентны.Кодирующая (и декодирующая) схема для кода повторения состоитлишь из т- 1вентилейCNOT,так что наш составной канал выглядитследующим образом (в случае т=3):(Здесь не изображен заключительный восстановительный этап декодиро­вания; например, если оба измеренных кубита показывают1,то следуетинвертировать информационный кубит.

В действительности, чтобы упро­стить исследование составного канала, мы пренебрегаем этим шагом.)ПосколькуCNOT распространяетинвертирование вперед (от управля­ющегокубитак цели), а обращение фазы назад (от цели к управляющемукубиту), нетрудно понять, что для каждого возможного результата изме­рения вспомогательных кубитов составной канал является каналом Паули.Представим, что это измерение тняется для каждого изn- 1кубитов внутреннего блока выпол­кубитов внешнего блока. Тогда на каждый изnкубитов действует независимый канал Паули, характеризуемый своим на­бором параметров (вероятностей ошибок p}i), рУ(, р~), р~) для i-го кубита).Таким образом, количество действующих на n кубитов операторов типич­ных ошибок равноп2:2i=lн,'(7.267)гден.

= H(p(i) P(i) P(i) p(i)),-l'X'Y'Z(7.268)энтропия Шеинона канала Паули, действующего на i-й кубит. Cornacнoзакону больших чисел, для большогоnмы получимnЕнi =n(H),(7.269)i=lгде (Н) -энтропия Шеннона, усредненная по 2m-l возможным класси­ческим результатам измерения дополнительных кубитов внутреннего кода.7.16.ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА97Следовательно, скорость воспроизведения, которая может быть достигнутас помощью случайного внешнего кода, равнаR=_1----'-(Н-'-)(7.270)т.(мы делим ее наm.,потому что каскадный код имеет длину, в т.

раз боль­шую, чем случайный код).Шор и Смолин обнаружили, что существуют (т.-кратные) коды повто­рения, для которых (в подходящем диапазоне р)1-(Н) является положи­тельной величиной, тогда как 1- Н2 (р)- plog 2 3- отрицательной. Тогда,в этом диапазоне, пропускная способность Q(p) ненулевая, следовательно,нижняя граница(7 .262)не является строгой.Асимптотически неисчезающая скорость воспроизведения достижимапосредством случайного кодирования при 1- Н2 (р) - plog 2 3 > О, или< Ртах '='=' 0,18929. Если случайный внешний код каскадируется с 5-ку­р(m.

= 5 оказывается оптимальным1- (Н) >О при р < P:Uax '='=' 0,19036; максимальная веро­битовым внутренним кодом повторениявыбором), тогдаятность ошибки, для которой достижима иенулевая скорость воспроизведе­ния, возрастает примерно на0,6%.То, что в этом диапазоне вероятностейошибки каскадный код должен превзойти случайный, не является очевид­ным, хотя, как мы отметили, этого можно было ожидать, из-за (фазового)вырождения кода повторения. Не очевидно также и то, что т. =5должнобыть лучшим выбором, но это можно проверить явным вычислением (Н).

1Деполяризующий канал является одним из наиболее простых кванто­вых каналов. Но даже для этого случая проблема характеристики и вычис­ления пропускной способности во многом не решена. Этот пример показы­вает, что из-за возможности вырожденнога кодирования проблема пропуск­ной способности для квантовых каналов оказывается куда более острой,чем для классических каналов.Мы видели, что (если ошибки хорошо описываются деполяризующимканалом) квантовую информацию можно извлечь из квантовой памяти сосколь угодно высокой точностью воспроизведения, пока вероятность ошиб­ки на один кубит меньше10%-ой19%.Это является улучшением относительночастоты появления ошибок, которой, как мы обнаружили, можнопользоваться при каскадном соединении кода [[5, 1, 3]]. В действительно­сти, коды [[n, k, d]], которые могут исправить вплоть до пр ошибок любо1Насамом деле можно достичь дальнейшего очень незначительного улучшения путемкаскадного соединения случайного кода с описанным в упражнениях 25-кубитовым обобщен­ным кодомШора-тогда иенулевая скорость достигается при р0.1% лучше<Р:Пах с:=0,19056 (еще намаксимально допустимой вероятности ошибки в коде повторения).ГЛАВА 798го распределения, согласно границе Рейпса не существуют при р> 1/6.Иенулевая пропускпая способность возможна для частот появления оши­бок в интервале от16.7%до19 %,потому что для КККО достаточно бытьспособным исправлять типичные ошибки, а не все возможные.Однако утверждение о том, что восстановление возможно, даже если19%кубитов подвергаются разрушению, весьма обманчиво в одном важ­ном отношении.

Этот результат применим, если кодирование, декодирова­ние и восстановление могут быть выполнены безупречно. Но эти опера­ции на самом деле представляют собой очень сложные квантовые вычис­ления, которые на практике, конечно, будут чувствительны к ошибкам. Мыне сможем полностью понять, насколько хорошо кодирование может защи­тить квантовую информацию от повреждений, пока не научимся составлятьпротокол исправления ошибок, надежный, даже если исполнение самогопротокола неидеально. Такие помехоустойчивые протоколы обсуждаютсяв приложении.7.17.ИтогиКвантовые коды коррекции ошибок. Коррекция квантовых ошибокможет защитить квантовую информацию от декогерентизации и «унитар­ных ошибок», возникающих вследствие неидеальной реализации кванто­вых вентилей. В (двоичном) квантовом коде коррекции ошибок (КККО)2k-мерное гильбертово пространство k закодированных кубитов Н.соdе вло­жено в 2n-мерное гильбертово пространствоnкубитов.

Действующие наnкубитов ошибки обратимы при условии, что ('ФIMiMI'I'Ф)/('ФI'Ф) не зави­сит от I'Ф) для любого I'Ф) Е Н.соdе и любых двух операторов Крауса Mll,"'возникающих в разложении супероператора ошибки. Супероператор вос­становления преобразует запутывание окружения с кодовым блоком в за­путывание окружения со служебным кубитом, который затем может бытьвыброшен.Квантовые стабилизирующие коды.

Большинство КККО, которыемогут быть построены, представляют собой стабилизирующие коды. Дво­ичный стабилизирующий код характеризуется своим стабилизатороми абелевой подгруппой п-кубитовой группы Паули(где Х, У,Z-SGn = {1, Х, У, Z}®nоднокубитовые операторы Паули). Кодовое подпростран­ство представляет собой пространство состояний, одновременно являю­щихся собственными векторами всех элементовничному собственному значению; еслираторов, тогда существуетkSS, соответствующими еди­n - k независимых гене­имеетзакодированных кубитов.

Стабилизирующийкод может исправить каждую ошибку из подмножества Е группыGn,если7.17.99итогидля каждого Еа, Еь Е [оператор ЕlЕь или принадлежит стабилизатору S,или не принадлежит нормализатору стабилизатора SJ.. Если для Еа ь Е [некоторый оператор ЕlЕь принадлежит S, то код вырожден; в прот~вномслучае - невырожден. Операторы изsJ. \ sпредставляют собой «ЛОГИ­ческие» операторы, действующие на закодированную квантовую инфор­мацию. СтабилизаторSнечным полемсамоортогональным относительно симплектическо­GF(4),может быть связан с аддитивным кодом над ко­го внутреннего произведения.

Весом оператора Паули является количествокубитов, на которые он действует нетривиально, а расстояниемdстабили­зирующего кода- минимальный вес элемента из SJ. \ S. Код, имеющийдлинузакодированных кубитов и расстояниеn, kкодом [[п,k, d]].d,называется квантовымЕсли код осуществляет восстановление от любого суперо­ператора ошибки с носителем на операторах Паули с весами, не превыша­ющимиt,стояниемито мы говорим, что код «может исправитьd- 1 ошибокошибок». Код с рас­в известных позициях. Можно построить «хорошие» семей­ства стабилизирующих кодов, в которыхнуля приtd может исправить (d - 1) /2 ошибок в неизвестных позицияхn--tdjnиk/nостаются отличными отоо.Примеры. Квантовый код [[5, 1, 3]], связанный с классическим ко­дом Хэмминга над GF( 4), представляет собой код минимальной длины,способный исправить одну ошибку.

По заданному классическому линей­clclному кодуи его субкоду с2 ~можно построить квантовый кодКолдербенка~Шора~Стина (КШС-код) с k = dim(C1 ) - dim(C2 ) закоди­рованными кубитами. РасстояниеdКШС-кода удовлетворяет неравенствуd ): min(d 1 , d~ ), где d 1 -расстояние С1 , а d~ -расстояние Cf, дуаль­ного коду С2 • Простейшим КШС-кодом является квантовый код [[7, 1, 3]],построенный из классического кода Хэмминга [7, 4, 3] и его четного суб­кода. Каскадное соединение квантовых кодов [[n 1 , 1, d 1 ]] и [[п 2 , 1, d 2 ]] даетвырожденный код [[п 1 n 2 , 1, d]] с d): d 1 d 2 .Пропускпая способность квантового канала. Пропускной способ­ностью квантового канала (квантового канала с помехами) является макси­мальная скорость воспроизведения, с которой квантовая информация мо­жет быть передана по каналу и декодирована со сколь угодно высокой точ­ностью воспроизведения.