Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 97

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 97 страницы из PDF

Сможет ли Боб восстановить отправленное Алисой состояние?Боб заменяет каждый стертый кубит кубитом в состоянииприступает к измерению всехn- kIO),а затемгенераторов стабилизатора. Из этого из­мерения синдромов он надеется извлечь оператор Паули Е, действующийна замещенные кубиты. Коль скоро Е известен, он может применить Et,чтобы восстановить идеальную копию отправленного Алисой состояния.При большомnколичество кубитов, которые Боб должен заменить, при­мерно равно рп, и он успешно их восстановит, если сушествует единствен­ный оператор Паули Е, производящий искомый синдром.

Если один и тотже синдром имеет более одного оператора Паули, действующего на заме­щенные кубиты, то восстановление может не удаться.Какова вероятность сбоя? Так как мы имеем околокубитов, существует около4vnpn замещенныхоператоров Паули с носителем на этих ку­битах. Более того, для любого конкретного оператора Паули Е случайныйстабилизирующий код генерирует случайный синдромстабилизатора с вероятность1/2-каждый генераторкоммутирует с Е и с такой же вероятно­стью антикоммутирует. Следовательно, вероятность того, что два оператораПаули имеют одинаковый синдром, равна(1/2)n-k.Существует по крайней мере один действующий на замещенные куби­ты особый оператор Паули, который имеет искомый Бобом синдром.

Но ве­роятность того, что другой оператор Паули имеет такой же синдром (а сле­довательно, вероятность сбоя), не более, чемр,. "::: 4pnfюlгдеR = k/n-'-".!.( 2)n-k= 2-n(l-2p-R)скорость воспроизведения. Неравенство(7.252)·(7.252)ограничива­ет вероятность сбоя, если мы усредняем по всем стабилизирующим кодамсо скоростьюR; отсюда следует, что должен сушествовать по крайней мереодин стабилизирующий код, вероятность сбоя которого также удовлетворя­ет этому неравенству.nДля этого конкретного кода Pfail становится сколь угодно малой при--+ оо, при любой скорости воспроизведения R = 1 - 2р - б, строго7.16.меньшей1-ПРОПУСКПАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА2р. Следовательно,=R911 - 2р асимптотически достижима;(7.251), мы получаем пропускнуюобъединяя этот результатснеравенствомспособность квантового стирающего каналаQ(p)=1- 2р,(7.253)Если бы мы хотели гарантировать, что каждому способу поврежде­нияpnстертых кубитов можно сопоставить определенный синдром, тогдаk, d]] с расстоянием d > pn.

Грани­7.14 гарантирует существование такогонам попадобился бы квантовый код [[п,ца Гилберта- Варшамова из разделакода при(7.254)Эта скорость может быть достигнута кодом, который защищает от всех воз­можных способов стирания до рп кубнто в. При р>О она лежит строго ни­же пропускной способности, потому что для достижения высокой среднейточности воспроизведения достаточно быть способным исправлять типич­ные стирания, а не все возможные ошибки.7.16.2.Деполяризующий каналПропускпая способность канала деполяризации до сих пор точно неизвестна, но мы можем получить для нее некоторые интересные верхнююи нижнюю границы.Как и в случае стирающего канала, мы можем найти верхнюю границудля пропускной способности, прибегая к теореме о невозможности кло­нирования. Вспомним, что для деполяризующего канала с вероятностьюошибки р < 3/4 каждый кубит с вероятностью 1 - 4р/3 проходит непо­врежденным, либо с вероятностью q4р/3 рандомизируется (заменяется=максимально смешанным р = ~ 1).

Тогда подслушивающий Чарли можетимитировать канал, с вероятностьюq перехватываякубиты и замещая каж­дый украденный кубит максимально смешанным кубитом. При q > 1/2Чарли перехватывает больше половины кубитов и находится в более вы­годном, чем Боб, положении для декодирования отправленного Алисой со­стояния. Следовательно, чтобы не позволить клонирование, скорость, с ко­торой Алиса посылает Бобу квантовую информацию, должна быть строгонулевой приq > 1/2 или р > 3/8:Q(p)=о,р>s·3(7.255)92ГЛАВА 7На самом деле можно получить более строгую границу, заметив, чтоЧарли может избрать лучшую стратегию подслушивания-применить оп­тимальный приближенный клонер, который вы изучили в домашней зада­че. Это устройство применяется к каждому отправленному Алисой кубптуи заменяет его двумя кубитами, так что каждый приближается к оригиналус точностью воспроизведенияF = 5/6, или(7.256)гдеF = 5/6 = 1 - q/2.

Управляя клонером, Чарли и Боб могут полу­чить состояние Алисы, переданноеподеполяризующему каналу с q = 1/3.Следовательно, достижимая скорость воспроизведения должна стремитьсяк нулю; иначе, объединяя приближенный клонер и квантовую коррекциюошибок, Боб и Чарли смогли бы точно клонировать неизвестное состояниеАлисы. Таким образом, уже при q> 1/3 или р > 1/4 пропускпаяспособ­ность должна обращаться в нуль:Q(p)Учитывая границу(7.249),Q(p)=о,(7.257)мы приходим к выводу, что~ 1-4р,о ~р ~1(7.258)4"Этот результат фактически совпадает с найденной в разделедля скорости воспроизведения кодов[[n, k, d]]при k?: 17.8 границей?: 2pn + 1.и dПредел для пропускной способности и граница для допустимой вероятно­сти ошибки кода[[n, k, d]]более строгой)это разные понятия. Тем не менее, сходство между ними-(а в последнем случае граница Рейпса являетсяне так уж и удивительно, поскольку обе эти границы выводятся из теоремыо невозможности клонирования.Мы можем получить нижнюю границу для пропускной способности,приблизительно подсчитав скорость воспроизведения, которая, как и в слу­чае стирающего канала, может быть достигнута с помощью случайногостабилизирующего кодирования.

Теперь, когда Боб измеряетn- k(выбран­ных случайным образом, коммутирующих) генераторов стабилизатора, оннадеется получить синдром, указывающий на единственный из типичныхпаулиевекик операторов ошибок, возникающих с конечной вероятностью,когда деполяризующий канал действует натов. Для любых б, с>nотправленных Алисой куби­О и достаточно большогоn,количество Ntyp ти­пичных операторов Паули с полной вероятностью1-с можно ограничить7.16.93ПРОПУСКИЛЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛАследующим образом:(7.259)Попытка восстановления может оказаться неудачной, если среди этих ти­пичных операторов Паули существует еще хотя бы один, имеющий тот жесиндром, что и фактический оператор ошибки.

Поскольку случайный кодсопоставляет случайный(n-k)-битовый синдром для каждого оператораПаули, вероятность сбоя можно ограничить неравенством(7.260)Здесь второй член ограничивает вероятность атипичной ошибки, а пер­вый-вероятность неоднозначного синдрома в случае типичной ошибки.Мы видим, что усредненная по случайным стабилизирующим кодам веро­ятность сбоя становится сколь угодно малой при большихи такой скорости воспроизведенияR,n,любых б'<ОчтоR == ~ < 1- Н2 (р)- plog 2 3- б'.(7.261)Если усредненная по кодам вероятность сбоя мала, то существует особыйкод с малой вероятностью сбоя и, следовательно, скорость воспроизведенияRдостижима; пропускмая способность канала деполяризации ограниченаснизу неравенством(7.262)Неслучайно, что достижимая случайным кодированием скорость вос­произведения согласуется с асимптотической формой квантовой верхнейграницы Хэмминга для скорости воспроизведения невырожденных кодов[[n, k, d]]приd > 2pn;к обоим результатам мы приходим, приписываясвой синдром каждой типичной ошибке.

Конечно, нижняя граница Гилбер­та- Варшамова для скорости воспроизведения кодовQ(p),[[n, k, d]]лежит нижепоскольку она получена при условии, что код может исправлять нетолько типичные, но и все ошибки с весом, не превышающимpn.Это доказательство методом случайного кодирования можно такжеприменить к несколько более общему каналу, в котором возможны ошибкиХ, У иZ,возникающие с различными частотами. (Назовем его «каналомПаули».) Если ошибкаХ возникает с вероятностью Рх, ошибкаУ-с ве­Z- с вероятностью pz, а с вероятностью р 1 = 1- Рх -Ру- Pz не возникает никакой ошибки, то количество типичныхроятностью ру, ошибкаГЛАВА94ошибок вn7кубптах равноn!rv2nH(pт,Px,Py,Pz)(Pxn)!(pyn)!(pzn)!(p 1 n)!(7.263)'гдеН= H(pi,Px,Py,Pz) == -PIlog 2 p 1- Рхlog 2 px- ру log 2 py- pz log 2 pz(7.264)- энтропия Шеинона распределения вероятностей {р1 , р х, Ру, р z}.

Теперьмы находим(7.265)если скорость воспроизведенияRудовлетворяет неравенствуR< 1-Н,тогда снова крайне маловероятно, что отдельный синдром случайного ста­билизирующего кода укажет более, чем на один оператор типичной ошиб­ки.7.16.3.Вырождение и пропускпая способностьНаш вывод нижней границы пропускной способности деполяризую­щего канала имеет близкое сходство с приведеиным в разделе5.1.3вы­водом нижней границы пропускной способности классического двоичногосимметричного канала. В классическом случае существует согласованнаяверхняя граница.

Если бы скорость воспроизведения была больше, тогдане было бы достаточного количества синдромов, присваиваемых всем ти­пичным ошибкам.В квантовом случае это рассуждение не проходит, поскольку квантовыекоды могут быть вырожденными. Мы не можем требовать существованиясвоего синдрома у каждой типичной ошибки, так как действие некоторыхиз них в кодовом пространстве может быть тривиальным. Справедливостьтеряет не только сам вывод; верхняя самосогласованная граница действи­тельно не существует, то есть в квантовом случае достижимы скоростивоспроизведения, превышающие 1- Н (р)- plog 2 3. 1Шор и Смолин исследовали скорость воспроизведения, которая может2быть достигнута с помощью каскадного кода, состоящего из случайного1Р. М.

Shor and J. А. Stmolin, Quantum Error-Correcting Codes Need Not Completely Revealthe Error Syndrome, quant-ph/9604006; D. Р. DiVincenzo, Р. W. Shor, and J. А. Smolin, QuantumChannel Capacity of Very Noisy Channels, Phys. Rev. А57, рр. 830--839 (1998); quant-ph/9706061.7.16.ПРОПУСКПАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА95стабилизирующего кода в качестве внешнего и вырожденнего кода с отно­сительно малым размером блока в качестве внутреннего. Согласно их идее,вырождениевнутреннегокода позволяетдостаточному количествуоши­бок действовать тривиально в кодовом пространстве, благодаря чему мо­жет быть превышена скорость воспроизведения, достигаемая посредствомодного лишь случайного кодирования.Чтобы изучить эту схему, представим, что как кодирование, так и де­кодирование выполняются в два этапа.

Свежие статьи
Популярно сейчас