Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 97
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 97 страницы из PDF
Сможет ли Боб восстановить отправленное Алисой состояние?Боб заменяет каждый стертый кубит кубитом в состоянииприступает к измерению всехn- kIO),а затемгенераторов стабилизатора. Из этого измерения синдромов он надеется извлечь оператор Паули Е, действующийна замещенные кубиты. Коль скоро Е известен, он может применить Et,чтобы восстановить идеальную копию отправленного Алисой состояния.При большомnколичество кубитов, которые Боб должен заменить, примерно равно рп, и он успешно их восстановит, если сушествует единственный оператор Паули Е, производящий искомый синдром.
Если один и тотже синдром имеет более одного оператора Паули, действующего на замещенные кубиты, то восстановление может не удаться.Какова вероятность сбоя? Так как мы имеем околокубитов, существует около4vnpn замещенныхоператоров Паули с носителем на этих кубитах. Более того, для любого конкретного оператора Паули Е случайныйстабилизирующий код генерирует случайный синдромстабилизатора с вероятность1/2-каждый генераторкоммутирует с Е и с такой же вероятностью антикоммутирует. Следовательно, вероятность того, что два оператораПаули имеют одинаковый синдром, равна(1/2)n-k.Существует по крайней мере один действующий на замещенные кубиты особый оператор Паули, который имеет искомый Бобом синдром.
Но вероятность того, что другой оператор Паули имеет такой же синдром (а следовательно, вероятность сбоя), не более, чемр,. "::: 4pnfюlгдеR = k/n-'-".!.( 2)n-k= 2-n(l-2p-R)скорость воспроизведения. Неравенство(7.252)·(7.252)ограничивает вероятность сбоя, если мы усредняем по всем стабилизирующим кодамсо скоростьюR; отсюда следует, что должен сушествовать по крайней мереодин стабилизирующий код, вероятность сбоя которого также удовлетворяет этому неравенству.nДля этого конкретного кода Pfail становится сколь угодно малой при--+ оо, при любой скорости воспроизведения R = 1 - 2р - б, строго7.16.меньшей1-ПРОПУСКПАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА2р. Следовательно,=R911 - 2р асимптотически достижима;(7.251), мы получаем пропускнуюобъединяя этот результатснеравенствомспособность квантового стирающего каналаQ(p)=1- 2р,(7.253)Если бы мы хотели гарантировать, что каждому способу поврежденияpnстертых кубитов можно сопоставить определенный синдром, тогдаk, d]] с расстоянием d > pn.
Грани7.14 гарантирует существование такогонам попадобился бы квантовый код [[п,ца Гилберта- Варшамова из разделакода при(7.254)Эта скорость может быть достигнута кодом, который защищает от всех возможных способов стирания до рп кубнто в. При р>О она лежит строго ниже пропускной способности, потому что для достижения высокой среднейточности воспроизведения достаточно быть способным исправлять типичные стирания, а не все возможные ошибки.7.16.2.Деполяризующий каналПропускпая способность канала деполяризации до сих пор точно неизвестна, но мы можем получить для нее некоторые интересные верхнююи нижнюю границы.Как и в случае стирающего канала, мы можем найти верхнюю границудля пропускной способности, прибегая к теореме о невозможности клонирования. Вспомним, что для деполяризующего канала с вероятностьюошибки р < 3/4 каждый кубит с вероятностью 1 - 4р/3 проходит неповрежденным, либо с вероятностью q4р/3 рандомизируется (заменяется=максимально смешанным р = ~ 1).
Тогда подслушивающий Чарли можетимитировать канал, с вероятностьюq перехватываякубиты и замещая каждый украденный кубит максимально смешанным кубитом. При q > 1/2Чарли перехватывает больше половины кубитов и находится в более выгодном, чем Боб, положении для декодирования отправленного Алисой состояния. Следовательно, чтобы не позволить клонирование, скорость, с которой Алиса посылает Бобу квантовую информацию, должна быть строгонулевой приq > 1/2 или р > 3/8:Q(p)=о,р>s·3(7.255)92ГЛАВА 7На самом деле можно получить более строгую границу, заметив, чтоЧарли может избрать лучшую стратегию подслушивания-применить оптимальный приближенный клонер, который вы изучили в домашней задаче. Это устройство применяется к каждому отправленному Алисой кубптуи заменяет его двумя кубитами, так что каждый приближается к оригиналус точностью воспроизведенияF = 5/6, или(7.256)гдеF = 5/6 = 1 - q/2.
Управляя клонером, Чарли и Боб могут получить состояние Алисы, переданноеподеполяризующему каналу с q = 1/3.Следовательно, достижимая скорость воспроизведения должна стремитьсяк нулю; иначе, объединяя приближенный клонер и квантовую коррекциюошибок, Боб и Чарли смогли бы точно клонировать неизвестное состояниеАлисы. Таким образом, уже при q> 1/3 или р > 1/4 пропускпаяспособность должна обращаться в нуль:Q(p)Учитывая границу(7.249),Q(p)=о,(7.257)мы приходим к выводу, что~ 1-4р,о ~р ~1(7.258)4"Этот результат фактически совпадает с найденной в разделедля скорости воспроизведения кодов[[n, k, d]]при k?: 17.8 границей?: 2pn + 1.и dПредел для пропускной способности и граница для допустимой вероятности ошибки кода[[n, k, d]]более строгой)это разные понятия. Тем не менее, сходство между ними-(а в последнем случае граница Рейпса являетсяне так уж и удивительно, поскольку обе эти границы выводятся из теоремыо невозможности клонирования.Мы можем получить нижнюю границу для пропускной способности,приблизительно подсчитав скорость воспроизведения, которая, как и в случае стирающего канала, может быть достигнута с помощью случайногостабилизирующего кодирования.
Теперь, когда Боб измеряетn- k(выбранных случайным образом, коммутирующих) генераторов стабилизатора, оннадеется получить синдром, указывающий на единственный из типичныхпаулиевекик операторов ошибок, возникающих с конечной вероятностью,когда деполяризующий канал действует натов. Для любых б, с>nотправленных Алисой кубиО и достаточно большогоn,количество Ntyp типичных операторов Паули с полной вероятностью1-с можно ограничить7.16.93ПРОПУСКИЛЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛАследующим образом:(7.259)Попытка восстановления может оказаться неудачной, если среди этих типичных операторов Паули существует еще хотя бы один, имеющий тот жесиндром, что и фактический оператор ошибки.
Поскольку случайный кодсопоставляет случайный(n-k)-битовый синдром для каждого оператораПаули, вероятность сбоя можно ограничить неравенством(7.260)Здесь второй член ограничивает вероятность атипичной ошибки, а первый-вероятность неоднозначного синдрома в случае типичной ошибки.Мы видим, что усредненная по случайным стабилизирующим кодам вероятность сбоя становится сколь угодно малой при большихи такой скорости воспроизведенияR,n,любых б'<ОчтоR == ~ < 1- Н2 (р)- plog 2 3- б'.(7.261)Если усредненная по кодам вероятность сбоя мала, то существует особыйкод с малой вероятностью сбоя и, следовательно, скорость воспроизведенияRдостижима; пропускмая способность канала деполяризации ограниченаснизу неравенством(7.262)Неслучайно, что достижимая случайным кодированием скорость воспроизведения согласуется с асимптотической формой квантовой верхнейграницы Хэмминга для скорости воспроизведения невырожденных кодов[[n, k, d]]приd > 2pn;к обоим результатам мы приходим, приписываясвой синдром каждой типичной ошибке.
Конечно, нижняя граница Гилберта- Варшамова для скорости воспроизведения кодовQ(p),[[n, k, d]]лежит нижепоскольку она получена при условии, что код может исправлять нетолько типичные, но и все ошибки с весом, не превышающимpn.Это доказательство методом случайного кодирования можно такжеприменить к несколько более общему каналу, в котором возможны ошибкиХ, У иZ,возникающие с различными частотами. (Назовем его «каналомПаули».) Если ошибкаХ возникает с вероятностью Рх, ошибкаУ-с веZ- с вероятностью pz, а с вероятностью р 1 = 1- Рх -Ру- Pz не возникает никакой ошибки, то количество типичныхроятностью ру, ошибкаГЛАВА94ошибок вn7кубптах равноn!rv2nH(pт,Px,Py,Pz)(Pxn)!(pyn)!(pzn)!(p 1 n)!(7.263)'гдеН= H(pi,Px,Py,Pz) == -PIlog 2 p 1- Рхlog 2 px- ру log 2 py- pz log 2 pz(7.264)- энтропия Шеинона распределения вероятностей {р1 , р х, Ру, р z}.
Теперьмы находим(7.265)если скорость воспроизведенияRудовлетворяет неравенствуR< 1-Н,тогда снова крайне маловероятно, что отдельный синдром случайного стабилизирующего кода укажет более, чем на один оператор типичной ошибки.7.16.3.Вырождение и пропускпая способностьНаш вывод нижней границы пропускной способности деполяризующего канала имеет близкое сходство с приведеиным в разделе5.1.3выводом нижней границы пропускной способности классического двоичногосимметричного канала. В классическом случае существует согласованнаяверхняя граница.
Если бы скорость воспроизведения была больше, тогдане было бы достаточного количества синдромов, присваиваемых всем типичным ошибкам.В квантовом случае это рассуждение не проходит, поскольку квантовыекоды могут быть вырожденными. Мы не можем требовать существованиясвоего синдрома у каждой типичной ошибки, так как действие некоторыхиз них в кодовом пространстве может быть тривиальным. Справедливостьтеряет не только сам вывод; верхняя самосогласованная граница действительно не существует, то есть в квантовом случае достижимы скоростивоспроизведения, превышающие 1- Н (р)- plog 2 3. 1Шор и Смолин исследовали скорость воспроизведения, которая может2быть достигнута с помощью каскадного кода, состоящего из случайного1Р. М.
Shor and J. А. Stmolin, Quantum Error-Correcting Codes Need Not Completely Revealthe Error Syndrome, quant-ph/9604006; D. Р. DiVincenzo, Р. W. Shor, and J. А. Smolin, QuantumChannel Capacity of Very Noisy Channels, Phys. Rev. А57, рр. 830--839 (1998); quant-ph/9706061.7.16.ПРОПУСКПАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА95стабилизирующего кода в качестве внешнего и вырожденнего кода с относительно малым размером блока в качестве внутреннего. Согласно их идее,вырождениевнутреннегокода позволяетдостаточному количествуошибок действовать тривиально в кодовом пространстве, благодаря чему может быть превышена скорость воспроизведения, достигаемая посредствомодного лишь случайного кодирования.Чтобы изучить эту схему, представим, что как кодирование, так и декодирование выполняются в два этапа.