Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 97

PDF-файл Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 97 Квантовые вычисления (53151): Книга - 7 семестрДж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2: Квантовые вычисления - PDF, страница 97 (53151) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 97 страницы из PDF

Сможет ли Боб восстановить отправленное Алисой состояние?Боб заменяет каждый стертый кубит кубитом в состоянииприступает к измерению всехn- kIO),а затемгенераторов стабилизатора. Из этого из­мерения синдромов он надеется извлечь оператор Паули Е, действующийна замещенные кубиты. Коль скоро Е известен, он может применить Et,чтобы восстановить идеальную копию отправленного Алисой состояния.При большомnколичество кубитов, которые Боб должен заменить, при­мерно равно рп, и он успешно их восстановит, если сушествует единствен­ный оператор Паули Е, производящий искомый синдром.

Если один и тотже синдром имеет более одного оператора Паули, действующего на заме­щенные кубиты, то восстановление может не удаться.Какова вероятность сбоя? Так как мы имеем околокубитов, существует около4vnpn замещенныхоператоров Паули с носителем на этих ку­битах. Более того, для любого конкретного оператора Паули Е случайныйстабилизирующий код генерирует случайный синдромстабилизатора с вероятность1/2-каждый генераторкоммутирует с Е и с такой же вероятно­стью антикоммутирует. Следовательно, вероятность того, что два оператораПаули имеют одинаковый синдром, равна(1/2)n-k.Существует по крайней мере один действующий на замещенные куби­ты особый оператор Паули, который имеет искомый Бобом синдром.

Но ве­роятность того, что другой оператор Паули имеет такой же синдром (а сле­довательно, вероятность сбоя), не более, чемр,. "::: 4pnfюlгдеR = k/n-'-".!.( 2)n-k= 2-n(l-2p-R)скорость воспроизведения. Неравенство(7.252)·(7.252)ограничива­ет вероятность сбоя, если мы усредняем по всем стабилизирующим кодамсо скоростьюR; отсюда следует, что должен сушествовать по крайней мереодин стабилизирующий код, вероятность сбоя которого также удовлетворя­ет этому неравенству.nДля этого конкретного кода Pfail становится сколь угодно малой при--+ оо, при любой скорости воспроизведения R = 1 - 2р - б, строго7.16.меньшей1-ПРОПУСКПАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА2р. Следовательно,=R911 - 2р асимптотически достижима;(7.251), мы получаем пропускнуюобъединяя этот результатснеравенствомспособность квантового стирающего каналаQ(p)=1- 2р,(7.253)Если бы мы хотели гарантировать, что каждому способу поврежде­нияpnстертых кубитов можно сопоставить определенный синдром, тогдаk, d]] с расстоянием d > pn.

Грани­7.14 гарантирует существование такогонам попадобился бы квантовый код [[п,ца Гилберта- Варшамова из разделакода при(7.254)Эта скорость может быть достигнута кодом, который защищает от всех воз­можных способов стирания до рп кубнто в. При р>О она лежит строго ни­же пропускной способности, потому что для достижения высокой среднейточности воспроизведения достаточно быть способным исправлять типич­ные стирания, а не все возможные ошибки.7.16.2.Деполяризующий каналПропускпая способность канала деполяризации до сих пор точно неизвестна, но мы можем получить для нее некоторые интересные верхнююи нижнюю границы.Как и в случае стирающего канала, мы можем найти верхнюю границудля пропускной способности, прибегая к теореме о невозможности кло­нирования. Вспомним, что для деполяризующего канала с вероятностьюошибки р < 3/4 каждый кубит с вероятностью 1 - 4р/3 проходит непо­врежденным, либо с вероятностью q4р/3 рандомизируется (заменяется=максимально смешанным р = ~ 1).

Тогда подслушивающий Чарли можетимитировать канал, с вероятностьюq перехватываякубиты и замещая каж­дый украденный кубит максимально смешанным кубитом. При q > 1/2Чарли перехватывает больше половины кубитов и находится в более вы­годном, чем Боб, положении для декодирования отправленного Алисой со­стояния. Следовательно, чтобы не позволить клонирование, скорость, с ко­торой Алиса посылает Бобу квантовую информацию, должна быть строгонулевой приq > 1/2 или р > 3/8:Q(p)=о,р>s·3(7.255)92ГЛАВА 7На самом деле можно получить более строгую границу, заметив, чтоЧарли может избрать лучшую стратегию подслушивания-применить оп­тимальный приближенный клонер, который вы изучили в домашней зада­че. Это устройство применяется к каждому отправленному Алисой кубптуи заменяет его двумя кубитами, так что каждый приближается к оригиналус точностью воспроизведенияF = 5/6, или(7.256)гдеF = 5/6 = 1 - q/2.

Управляя клонером, Чарли и Боб могут полу­чить состояние Алисы, переданноеподеполяризующему каналу с q = 1/3.Следовательно, достижимая скорость воспроизведения должна стремитьсяк нулю; иначе, объединяя приближенный клонер и квантовую коррекциюошибок, Боб и Чарли смогли бы точно клонировать неизвестное состояниеАлисы. Таким образом, уже при q> 1/3 или р > 1/4 пропускпаяспособ­ность должна обращаться в нуль:Q(p)Учитывая границу(7.249),Q(p)=о,(7.257)мы приходим к выводу, что~ 1-4р,о ~р ~1(7.258)4"Этот результат фактически совпадает с найденной в разделедля скорости воспроизведения кодов[[n, k, d]]при k?: 17.8 границей?: 2pn + 1.и dПредел для пропускной способности и граница для допустимой вероятно­сти ошибки кода[[n, k, d]]более строгой)это разные понятия. Тем не менее, сходство между ними-(а в последнем случае граница Рейпса являетсяне так уж и удивительно, поскольку обе эти границы выводятся из теоремыо невозможности клонирования.Мы можем получить нижнюю границу для пропускной способности,приблизительно подсчитав скорость воспроизведения, которая, как и в слу­чае стирающего канала, может быть достигнута с помощью случайногостабилизирующего кодирования.

Теперь, когда Боб измеряетn- k(выбран­ных случайным образом, коммутирующих) генераторов стабилизатора, оннадеется получить синдром, указывающий на единственный из типичныхпаулиевекик операторов ошибок, возникающих с конечной вероятностью,когда деполяризующий канал действует натов. Для любых б, с>nотправленных Алисой куби­О и достаточно большогоn,количество Ntyp ти­пичных операторов Паули с полной вероятностью1-с можно ограничить7.16.93ПРОПУСКИЛЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛАследующим образом:(7.259)Попытка восстановления может оказаться неудачной, если среди этих ти­пичных операторов Паули существует еще хотя бы один, имеющий тот жесиндром, что и фактический оператор ошибки.

Поскольку случайный кодсопоставляет случайный(n-k)-битовый синдром для каждого оператораПаули, вероятность сбоя можно ограничить неравенством(7.260)Здесь второй член ограничивает вероятность атипичной ошибки, а пер­вый-вероятность неоднозначного синдрома в случае типичной ошибки.Мы видим, что усредненная по случайным стабилизирующим кодам веро­ятность сбоя становится сколь угодно малой при большихи такой скорости воспроизведенияR,n,любых б'<ОчтоR == ~ < 1- Н2 (р)- plog 2 3- б'.(7.261)Если усредненная по кодам вероятность сбоя мала, то существует особыйкод с малой вероятностью сбоя и, следовательно, скорость воспроизведенияRдостижима; пропускмая способность канала деполяризации ограниченаснизу неравенством(7.262)Неслучайно, что достижимая случайным кодированием скорость вос­произведения согласуется с асимптотической формой квантовой верхнейграницы Хэмминга для скорости воспроизведения невырожденных кодов[[n, k, d]]приd > 2pn;к обоим результатам мы приходим, приписываясвой синдром каждой типичной ошибке.

Конечно, нижняя граница Гилбер­та- Варшамова для скорости воспроизведения кодовQ(p),[[n, k, d]]лежит нижепоскольку она получена при условии, что код может исправлять нетолько типичные, но и все ошибки с весом, не превышающимpn.Это доказательство методом случайного кодирования можно такжеприменить к несколько более общему каналу, в котором возможны ошибкиХ, У иZ,возникающие с различными частотами. (Назовем его «каналомПаули».) Если ошибкаХ возникает с вероятностью Рх, ошибкаУ-с ве­Z- с вероятностью pz, а с вероятностью р 1 = 1- Рх -Ру- Pz не возникает никакой ошибки, то количество типичныхроятностью ру, ошибкаГЛАВА94ошибок вn7кубптах равноn!rv2nH(pт,Px,Py,Pz)(Pxn)!(pyn)!(pzn)!(p 1 n)!(7.263)'гдеН= H(pi,Px,Py,Pz) == -PIlog 2 p 1- Рхlog 2 px- ру log 2 py- pz log 2 pz(7.264)- энтропия Шеинона распределения вероятностей {р1 , р х, Ру, р z}.

Теперьмы находим(7.265)если скорость воспроизведенияRудовлетворяет неравенствуR< 1-Н,тогда снова крайне маловероятно, что отдельный синдром случайного ста­билизирующего кода укажет более, чем на один оператор типичной ошиб­ки.7.16.3.Вырождение и пропускпая способностьНаш вывод нижней границы пропускной способности деполяризую­щего канала имеет близкое сходство с приведеиным в разделе5.1.3вы­водом нижней границы пропускной способности классического двоичногосимметричного канала. В классическом случае существует согласованнаяверхняя граница.

Если бы скорость воспроизведения была больше, тогдане было бы достаточного количества синдромов, присваиваемых всем ти­пичным ошибкам.В квантовом случае это рассуждение не проходит, поскольку квантовыекоды могут быть вырожденными. Мы не можем требовать существованиясвоего синдрома у каждой типичной ошибки, так как действие некоторыхиз них в кодовом пространстве может быть тривиальным. Справедливостьтеряет не только сам вывод; верхняя самосогласованная граница действи­тельно не существует, то есть в квантовом случае достижимы скоростивоспроизведения, превышающие 1- Н (р)- plog 2 3. 1Шор и Смолин исследовали скорость воспроизведения, которая может2быть достигнута с помощью каскадного кода, состоящего из случайного1Р. М.

Shor and J. А. Stmolin, Quantum Error-Correcting Codes Need Not Completely Revealthe Error Syndrome, quant-ph/9604006; D. Р. DiVincenzo, Р. W. Shor, and J. А. Smolin, QuantumChannel Capacity of Very Noisy Channels, Phys. Rev. А57, рр. 830--839 (1998); quant-ph/9706061.7.16.ПРОПУСКПАЯ СПОСОБНОСТЬ КВАНТОВОГО КАНАЛА95стабилизирующего кода в качестве внешнего и вырожденнего кода с отно­сительно малым размером блока в качестве внутреннего. Согласно их идее,вырождениевнутреннегокода позволяетдостаточному количествуоши­бок действовать тривиально в кодовом пространстве, благодаря чему мо­жет быть превышена скорость воспроизведения, достигаемая посредствомодного лишь случайного кодирования.Чтобы изучить эту схему, представим, что как кодирование, так и де­кодирование выполняются в два этапа.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее