Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 87

приложение)].Квантовый код Стина может исправить одно инвертирование битаи одно обращение фазы любого одного из семи кубитов в блоке. Но вос­становление не удастся, если инвертирование бита или обращение фазыодновременно возникает в двух разных кубитах. Если е 1 и е 2 -личные строки единичного веса, то Н е 1+ Не 2две раз­представляет собой суммудвух различных столбцов матрицы Н и, следовательно, совпадает с од­ним из ее пяти остальных столбцов (все семь нетривиальных строк длины3выступают в качестве столбцов Н). Поэтому существует другая строкас единичным весом, такая, что Не 1+ Не 2 = Не 3 , или(7.95)таким образом, е 1+ е2 + е3является словом кода Хэмминга с весом3.Будем интерпретировать синдром Н е 3 как признак возникновения ошибкиvv-->-->vv+ е3+ е3 .и попытаемел восстановить информацию, применяя операциюТогда совокупным эффектом от двух ошибок инвертированиябитов и нашей неудачной попытки восстановления будет добавление к ин­формации е 1+ е2 + е3(кодовое слово Хэмминга с нечетиым весом), чтоприведет к инвертированию закодированного кубитаIO) F+-->11) F·Аналогично, обращение двух фазовых множителей в базисе(7.96)Fэквивалент­но инвертированию двух битов в базисе Р, что (после неудачиого восста­новления) вызывает в закодированном кубитеIO) р+-->11) р,(7.97)407ГЛАВАили, что эквивариантно,-!б) F--t!б) р,ll)p--t-ll)p(7.98)обращение фазы закодированного кубита в базисеF.Восстановлениебудет успешным только в случае одновременного инвертирования одногобита и обращения одного фазового множителя (в одном или разных куби­тах).Некоторые ограничения па параметры кода7 .8.Код Шора защищает один закодированный кубит от ошибки в любомодном из девяти кубитов блока, а код Стина уменьшает размер блока с де­вяти до семи.

Можно ли добиться лучших результатов?7.8.1.Квантовая граница ХэммингаЧтобы понять, насколько лучших результатов мы можем добиться, по­смотрим, можно ли при данных значенияхдля расстояния d =2t + 1 квантовогоnиkкода [[п, k,найти какие-либо границыd]].На первых порах огра­ничим наше внимание невыро:ж:денны.ми кодами, сопоставляющими свойсиндром каждой возможной ошибке. Для данного кубита существуют тривозможные линейно независимые ошибки Х, У илибитов имеется ( ~) способов выбратьjZ.В блоке изnку-возмущенных ошибками кубитови три возможные ошибки для каждого из них; следовательно, общее коли­чество возможных ошибок с весом, не превышающимN(t)=t,равно"tзJ (~)-(7.99)JJ=OЕсли закодировано k кубитов, то существует 2k линейно независимых ко­довых слов.

Если все векторы Е алинейно независимы, где Е а - про­извольная ошибка с весом, не превышающим t, а 13) - произвольный эле­!3)мент базиса кодовых слов, то размерность2nгильбертона пространствакубнто в должна быть достаточно большой, чтобы вместитьnN (t) · 2k неза-висимых векторов; следовательно,N(t)=t зJ (~) :(j=OJ2n-k.(7.100)7.8.НЕКОТОРЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПАРАМЕТРЫ КОДА41Этот результат называется квантовой границей Хэмминга.

Аналогичнаяграница, но без множителя 3j, применяется к классическим блоковым ко­дам, поскольку в этом случае существует только один тип ошибки (инвер­тирование бита), который может повредить классический бит. Подчеркнемтакже, что квантовая граница Хэмминга применяма только в случае невы­рожденного кодирования, в то время как классическая граница Хэммингаприменяма в общем случае. Однако до сих пор не было создано ни одноговырожденнога квантового кода, нарушающего квантовую границу Хэммин­га (по положению на январь1999года).В частном случае кода с одним закодированным кубитомправляющим одну ошибку(t = 1),(k = 1),ис­квантовая граница Хэмминга выглядиткак(7.101)n ~ 5.

Фактически при n = 5 это неравенство пе­(1 + 15 = 16). Невырожденный квантовый код [[5, 1, 3]],что удовлетворяется приреходит в равенствоесли такой существует, является совершенным 1 • Необходимо все 32-мерноегильбертоно пространство пяти кубитов, чтобы вместить все возможныедействующие на кодовые слова однокубитовые ошибки-излишков про­странства нет.7.8.2.Граница невозможности клонированияБыло бы удивительно, если бы существовал вырожденный кодn = 4,способный исправить одну ошибку. В действительности нетрудно увидеть,что существование такого кода невозможно.

Мы уже знаем, что корректи­рующийtпроизвольно расположенных ошибок код можно также использо­вать для коррекции2t ошибок в известных позициях. Предположим, что мы[[4, 1, 3]]. Тогда мы могли бы закодировать одинимеем некий квантовый кодкубит в 4-кубитовом блоке и разделить его на два субблока, подвакубитав каждом (см. рис. на с.42). При добавлении к каждому из этих субблоков/00) исходный блок порождает двух потомков с двумя локализованнымиошибками в каждом.

Если бы мы могли исправить две локализованныеошибки в каждом из этих потомков, то получили бы две идентичные копииисходного блока, то есть клонировали неизвестное квантовое состояние,что невозможно. Следовательно, квантовый кодким образом,n=5[[4, 1,.3]]невозможен. Та­представляет собой минимальный размер блока кван­тового кода коррекции ошибок, независимо от того, вырожден он или нет.1По определению классический код называется совершенным, если он насыщает класси­ческую границу Хэмминга. Классический совершенный код, исправляющийисправить все ошибки с весом, не превышающимс весом, большимt.t,tошибок, можетн не может исправить ни одной ошибкиЗдесь это понятие распространяется на квантовые коды.-Пр~.Uи.

ред.42ГЛАВА7Аналогичные рассуждения показывают, что код[[n, k~1, d]]возможентолько приn > 2(d- 1).7 .8.3.(7.102)Квантовая граница СинглтонаСейчас мы увидим, что результат(7 .1 02)можно усилить доn-k~2(d-1).Неравенство(7.103)(7.103)напоминает границу Синглтона для параметров клас­сического кодаn-k~d-1(7.104)и поэтому называется «Квантовой границей Синглтона». Для классическоголинейного коданеравенство(7.104) почти тривиально: код может иметь рас­d - 1 столбцов матрицы контроля четностилинейно независимы.

Так как столбцы имеют длину n- k, то линейно неза­висимыми могут быть не более чем n - k столбцов; следовательно, d- 1 неможет превосходить n- k. Классическая граница Синглтона справедливастояниеd,если только любыеи для нелинейных кодов.Можно найти изящное доказательство квантовой границы Синглтона,использующее субаддитивность рассмотренной в разделе5.2энтропии фонНеймана. Для начала определим k-кубитовое вспомогательное (служебное)пространство и построим чистое состояние, в котором векторы этого слу­жебного пространства масимально запутаны с 2k кодовыми словами КККО(7.105)7.8.НЕКОТОРЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПАРАМЕТРЫ КОДА43где {ix) А} обозначает ортенормированный базис 2k-мерного служебногогильбертона пространстваk кубитов, а {lx)Q}- ортенормированный базис2k -мерного кодового подпространства. Вычисляя след по кодовому блоку Qдлины n, получим матрицу плотности служебных кубитов РА=~1, кото2рой соответствует энтропияS(A)= k = S(Q).Теперь, если код имеет расстояниеd,(7.106)то может быть исправленоd- 1ло­кализованных ошибок, или, как мы уже видели, ни одна наблюдаемая, дей­ствующая наd- 1кубитов изn,не может открыть никакой информациио закодированном состоянии.

Или, что эквивалентно, наблюдаемая ничегоне может сказать о состоянии служебных кубитов, закодированном в состо­янии IФ).Поскольку мы только что узнали, чтото мысленно разделим кодовый блокQn > 2(d- 1)(еслиk~1),на три непересекающиеся части:множество d- 1 кубитов Q~1}_ 1 , другое непересекающееся с предыдущиммножество d -1 кубитов Q~~ 1 и множество остальных кубитов Q~32 2 (d-l)·Если вычислить след по состояниям кубитов из Q( 2 ) и Q( 3 ), то полученнаяв результате матрица плотности не должна содержать никаких корреляциймежду Q(l) и служебными кубитами А.

Это означает, что энтропия системыAQ( 1 ) аддитивна(7.107)Аналогично,(7.108)Более того, в общем случае энтропия фон Неймана субаддитивна, так что+ S(Q(З)),~ S(Q(2)) + S(Q(ЗJ).S(Q(l)Q(З)) ~ S(Q(l))S(Q(2)Q(з))(7.109)Объединяя эти неравенства с предыдущими уравнениями, получим+ S(Q( 2)) ~ S(Q(l)) + S(QC 3 J),S(A) + S(QC 1 ))::::::; S(Q( 2)) + S(QC 3 J).S(A)(7.11 О)ГЛАВА 744Оба эти неравенства могут быть одновременно удовлетворены, если только(7 .111)Множество Q(з) имеет размерность n- 2( d -l ), и его энтропия ограниченасверху этой величиной, так чтоS(A)=k~n- 2(d- 1),(7.112)что и представляет собой квантовую границу Синглтона.Код[[5, 1, 3]] насыщает эту границу, но большинству кодов с другимиn и k до нее далеко.

Рейне получил более сильный результат,которому код [[n, k, 2t + 1]] при k):: 1 должен удовлетворять нера-значениямисогласновенствуt":::[n+1]"'6'(7.113)где [х] -«целая часть х», то есть наибольшее целое число, не превосходя­щее х.

Таким образом, минимальная длина кодаправитьt = 1, 2, 3, 4, 5 ошибок,равнаk = 1, который может ис­n = 5, 11, 17, 23, 29, соответственно.Коды со всеми этими параметрами фактически построены, за исключениемкода[[23, 1, 9]].7.9.Стабилизирующие коды7.9.1.Общая формулировкаМы сможем построить (невырожденный) квантовый код[[5, 1, 3]],нодля этого нам потребуется более мощная процедура построения квантовыхкодов, нежели процедура КШС.Как мы помним, чтобы установить критерий возможности исправле­ния ошибок, оказалось весьма полезно разложить супероператор ошибокпо п-кубитовым операторам Паули.