Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 46

Собст.ен­ное состояние 10') одинаково (и довольно сильно) перскрывается с обоимисигнальными состояниями(5.74)перекрытия состоянияjl')тоже ОJщнакопы (но относите;Iыю слабы)(5.75)Таким образом, ес.ти мы не 1наем, какое состояние было поссшно, 1или11 х), то дучшей пашей догадкой является lw)=IO').i z)Это прсдпо;юже­пие имеет макснмадьную точиость воспроизведения(5 76)среди всех возможных состояний кубита1'1-') (F = 0,8.535).5.3.

СЖАТИЕ КRАН10ВЫХ ДАННЫХТснерr~ нрсцставим, чтоA.lmce237нужно послать Бобу три буквы. Но онаможет позволить себе послать тодько два кубита (квантовые кан:а.1ы требу­ют очень больших расхо,1ов!). Тем не менее она хоче1~ чтобы Боб рекон­струировал ее cocwяiпt:e с максимально возможной точностью воспроизве­дения.Она могла бы послать Бобу две из имеющихся у нее l]JCX букв и пред­ложит•, Бобу угадатьIO') д;rя третьей.

Тоща Боб получает две буквы с F == 1 и имеет F ~ 0,8535 для третьей; следовате:Jыю, нолпая F '~ 0,8535.Но существует ли более разумная процедура, достигающая более высокойточности воСilроизведсния?Лучшая пронедура действительно существует. /(иагона:шзовав р, мыра1ложили гильбертоно прое·•ранство одного кубита на <<вероятное» (натя­ну·юс на IO')) и «маловероятное» (ню>mутое на ll')) одномерные поrщро­странстпа. llо 1тобным образом мы можем ра.1ложить гильбертово IIростран­ство трех кубитов на вероятное и МаJювероятное подпространства.

Еслиnроизво:тьное сигнальное состояние имеет вид I·;U) ·_ 1~• 1 )I,P 2 )/1/'al (с каж­дым из трех кубитов, находящихся в сосюянии 1 lz) или 1 Тх)), тоI(O'O'O'I.P)I 2= cos6i -~ 0,6219,/(0'0' 1'11,)1 2 ·-I(O' J 'O'I~,)/ 2 ~ /(l'0'0'/1/,) 12 =cos 4 ~ siп 2%o•O,J 067.siп 1=ОЛJ 83,1(0'1'1' IФ) 1 = l(l'O'I'IФI 1 = 1(l'l'O'Iw) 1 =cos222l(l'l'l'IФ/1 2 ~ sin 6i2**(5.77)'~ 0,0031.Таким образом, мы можем разj[ожнть пространство на верояттюе подпро­сrранство Л, на1Янут·ое на{/0'0'0'), 10'0'1'), IO'l'O'), /1'0'0') },и его ортого­на.'lЬное донолнение А J.. Если мы выпшmяем («грубое») измерениеJ про­ецирующес сигнальное состояние на Л или Л .l, то вероятность проециро­вапия на вероятное 1Юдпрос1ранство равнаJ'1ikelyz.0,6219+3Х0,1067= 0,9419,(5. 78)·rorдa как вероятность прое-uирования па маловероятное Irо;~пространствоPunlike\y ~3Х0,0183 + 0,0031Чтобы выnолнип> это грубое измерение,=0,0581..AJrn:caсначаJш применять унитарное преобразованиеU,-(5.79)моша бы, например,иревращающее четыревысоко вероятных базисных состояния в1) 1)IO),(5.80)С1ЛБА 5238а четыре маловероятных базисных состояния в1)1)ll) ;(5.81)затем Алиса измеряет третий куби·~ чтобы закончить грубое измерение.

Ес­ли результатом являетсяIO), то ее входящее состояние было спроеtщровано(в действительности) на Л. Она посылает Бобу дяа оставшихся (неизме­репные) кубита. Когда Боб nолучает это (сжатое) двухкубиювое состоя­ние I.Р,ошр), он развертывает его, присоединяяIO)и применяяU->,(5.82)Если измерение Алисы третьего кубита дает11), тоона спроецировала своевходящее сосwяние на маловероятное подпространство А ·1·. Лучшее, чrоона может сделать в этом случае, зто послать состояние, которое Боб ра.1-вертывает в самое вероятное состояниесостояние l'i',omp), чтоIO'O'O'); то есть она nосылает такоеu- 1 (i'i',omp)IO)) =IФ') =IO'O'O').(5.83)Таким образом, если Алиса кодирует трехкубитоаое сигнальнос состоя­ние IФ), посылает два J<убита Бобу, а Боб декодирует как только что описа­но, тоr:да он получаст состояниеI.P) (.PI ~ р ~ Elo/)(ФIE + IO'O'O') (о/1(1- E)IФ)(O'O'O'I,тде Е--(5.84)проекционный оператор на А.

ДоСТИJаемая в этой процецуре точ­ность воспроизведения равнаР = (ФIРIФ)= ( (ФIЕIФ) )+ ((ФI(l- Е)IФ)) ( (ФIО'О'О')) ••·•~ (0,9419)" + 0,0.581 х 0,6219 = 0,9234.22(5.85)Это действительно лучше наивной процедуры посьmки двух из трех куби­тов, каждого с идеальной точностью воспроизведения.Когда мы посылаем более длинные сообщения с большим количествомбукв, точность воспроизведения сжатия улучшается.

Энтропия фон Нейма­на однокубитового ансамбля равнаS(p) =Н ( cos 2 ~)= 0,60088 ...(5.86)СледоватеJJьно, согласно теореме Шумахера мы можем сократить длинноесообщение на факrор (скажем)кой точности воспроизведения.0,6009и тем не менее достичь очень высо­5.3. СЖАТИЕ КВАНТОВЫХ ДАННЫХ5.3.2.239Кодирование Шумахера в общемКлючом к теореме Шеянона о кодировании в отсутствии шума яв­ляется то, что мы ()ез большой потери точности в.оспроиз.ведения можемкодировать типичные последовательности и игнорировать остальные.

Что­бы коmrчественно описать сжимаемость квантовой информации, перейдемот понятия типичной последователыюсти к понятию типичного подпро­странства. Ключом к теореме Шумахера о квантовом кодировании в от­сутствии шума является то, что мы без большой потери точности воспронз­ведеi!Ия можем кодировать типичные подпространства и иrnорi!рОвать ихортогональные дополнеJШЯ.Рассмотрим сообщение, состоящее изnбукв, где каждая буква явпя­ется чистым квантовым состоянием, извлекаемым из ансамбля{jrp3J, p 3.J,так что матрица шютности одной буквы равна(5.87)Более тuго, буквы извлекаются независимо, так что матрица плотности вес­го сообщенияр" ~· р®р®Мы хотим доказать, что для большихn... ®р.(5.88)почти вес носители этой матри­цы rшотности занимают подпространство полного гильбертова простран­ства сообщений, причем размерность этого подпространства асимптотиче­ски стремится к 2nS(p).Этот вывод неnосредственно следует из соответсТRующеrо класси­ческого утверждения, eCJIИ мы рассматриваем ортанормированный базис,в котором р диагональна.

Работая в этом базисе, по существу, мы мо­жем рассматривать наш квантовый источник информации как эффе:ктивныйклассический источник, производящий сообщения, которые представпяютсобой строки из собственных состояний р. Вероятность каждого такого со­общения определяется прои.:шедением соответствующих собственных зна­чений р.

Дпя заданныхnи д определим типичное ПОI\ПjJОстранство Л какпространство, натянутое на собствеШIЫе векторыpn,с собственными зна­чениями, удовлетворяющими(5.89)Неnосредсmснно пользуясь результатом Шеннона, мы приходим к выводу,ч·rо для любых О, ~> О и JJpи достюuчно большом nсумма подчиняющихсяГЛАВА240зтому условию собственных значений5pnудовлетворяет неравенствуtr(p"E) > 1 -Е(5.90)(где Е обозначает проекционный оператор на тнннчное подпространство ),а кшшчествоdim ЛTЗIGJX собственных значений удов.;1етворяеr неравенству(5.91)Наша стратегия кодирования состоит в том. чтобы отправлять состояния,J~ействительно прина;щежащие пшичному пщщространству. Например, мыможем выполнить грубое измерение, проецирующее входящее сообщениена л ИJШ на л;свероятнос-rью Рл с~tr(p" Е) > 1 -Е результат булетпринадлежать А.

В таком случае спроецированное состояние кодируетсяи посьшается. Асимптотически RСроятность дрУJОГО результата пренсбрс­жимо ма..'Iа, позтому не так уж .важно. что мы будем делать в этом случае.Ко;~ирование спроецированного состояния просrо унаковывает его,чтобы оно мшло переноситься минимальным количеством кубитоя. Напри­мер, мы применяем унитарное иреобразование базисаrцает каждое сосrояниеI.Ptyp)U,коrорос превра­из Л в сосrояние вида(5.92)+где IФсошр) - состояние n( Sб) кубитов, а IO,e,.) обозначает сосrоя­ние 10)<2 ...

®10) остальных кубиюв. Алиса посылает IФсошр) Бобу, коrорыйдекодирует CIO, присое;~иняя IO~,.) и применяяu- 1 .П редпо.~ожим, что(5.93)обозначает произвольнос сообщение, представляющее собой одно из :п-бук­венных чистых сосrояннй, которое может быть послано. После того каквыполнены 1uлъко что описанные кодирование, передача и декодирование,Боб получает реконструированное состояние(5.94)где Pi,Jиnk -состояние, выбираемое нами для отправ.~ения, если грубоеизмерение дает результат А-'--. Что можно сказать относительно точностивоспроизведения этой процедуры?2415.3.

СЖАТИf КВАНТОНЫХ ДАННЫХТочность воспроизведения и.1меняется от сообщения к сообщению(в противоnоложность обсужлавшемуся выше примеру), поэтому мы рас­сматриваем точность воспроизведения~ усредненную по ансамблю возмож­ных сообщений:Р ~ ~P;('P,IP;I'P,) ~ ~p,('f';IEI'P,)(tp,IEI'P,)++ I>;('P;IP:,Junki'P;)(tp;ll ~ EI'P;)) 2>;11Eitp;)ll4,(5.95)где последнее перавенство справедливо, поскольку юиад «мусора» неотри­цателен. Так как ДJJя любого вещественноrо числа(:с ~ 1) 2 ? Омы имеем (полю·ая х ~илих 2 ? 2х ~ 1,(5.96)IIEI'P;)Ii')(5.97)и, сдедоватсльно,Итак, мы показали, что можно сжать сообщение до объема, несколько мень­шего, чем n(S +д) кубитов, обеспечивая в то же время сколь угодно высо­кую при больших n усредненную точность воспроизведения.Следовательно, мы установили, что с несущеетвенной потерей точно­сти воспроизведения сообщение может быть сжато до Sо кубитов в рас­чете на одну букну.

Возможно ли дальнейшее сжатие?Допустим, что Боб декодирует полученное сообщение Pcomp,i путем+присоединения кубнто в и примснения нреобра1ованияu-l'получая призто м(5.99)(«унитарное декодирование»). Доnустим, чтоn(S ~д) кубитов. Тогда, незшшсимо от того,бьmо сжато ~обыло закодировшюPcomp,il{flKвходящее сообщетте, все декодированные сообщения будут принадпежатьподпросiранству Л' размерности 2n(s-;) гильбертона пространства Боба.(Мы не предполагаем здесr., что Л 1 не имеет ничего общего с типичнымподпространством.)242ГЛАВА 5Если входящим сообщением ямяется I<P;}, то реконструированное Бо­бом сообщение - р;, которое может быть диагонализовано(5 100)где векторыla,} -· взаимно ортогональные состояния из Л'. Точнос1ъ вос­произведения реконструированного сообщения равнагде Е'-ортогональный проектор на подпространство Л'.

Следоватед~>но,усредненная точность воспроизнсдения удовлетворяет(5.] 02)Но ПОСКОЛI>КУ Е' проецирует на пространство размерности zn(S б),ТО tr(pnE') НС может быть больше суммы zn(S-б) наибОЛi>ШИХ собствен­НЫХ значенийpn.Из свойств типичных nодпространств следует. что этасумма принимает СI(()дь угодно малое значение; при достаточно большомn(5.103)Таким обрюом, мы показа;ш, что если мы попытаемел сжать сообщениедо S -д кубитов на одну букву, тоrда при достаточно большом n точностьвоспроизведения неизбежно станет JL10xoй. Итак, мы приходим к выводу,что S(p) кубнто в на одну букву является оптимальным сжатием кванто­вой информации, которое может быть достИiнуrо, если мы хотим получитьхорошую точноСIЪ воспроизведения приnстремящемся к бесконечности.В этом состоит теорема Шумахера о кодировании в отсутствии шума.Ilриведснное выше доказательство применимо к любой мысJшм:ой схе­ме кодирования,но только к ограличенномуJ(J]accyсхем декодирования(унитарное декодирование).

Конечно, может бы1ъ рассмотрена более об­щая схема декодирования, описываемая супероператором.Tomaпотребу­ется более высокая техника для доказатеЛI>ства того, что невозможно .1)'Ч­шее сжатие, чем 8 кубитов на одну букву. Но вывод остается неизменным.Суть в том, Ч1О 8 - б кубитов недостаrочно для тoru, чтобы раз.lИЧить всетипичные состояния.5.3.

СЖАТИЕ КВАНТОНЫХ ДАННЫХ243Подводя и1ur, отметим тесную аналогию между теоремами Шеононаи Шумахера о кодировании в отсутствии шума. В юшссическом случае по­чти все л;линные сообщения являются типичными последовательностями,так что мы можем кодировать только их и тем не менее иметь малую веро­ятность ошибки. В квантовом с..1учае 1ючти все д.'1инные сообщения имеютпочти единичное нерекрытис с типичным подпространСТRОМ, так что мыможем кодировать rолько его и тем не менее .п:остигатъ высокой точностивоспроизведения.Фактически А.шса могла бы послать Бобу зффективно классическуюинформацию~ строку х 1 х 2 .•.

xn) закодированную во взаимно ортогональ­ных квантовых состояниях ~ тогда Боб, следуя этим юшссичес:ким ин­струкпиям, мог бы реконструировюъ состояние Алисы. Таким способомони могли бы добиться высоко надежного сжатия до Н(Х) биmв (ИJIИ ку­биmв) в расчете на одну букву. Но если буквы извлекаются из ансамблянеортогональных чистых состояний, то эта степень сжатия не оптима.;,ьна;часть классической информации о приготовлении состояния становится из­быточной, поскольку неортогональные сосrояния не могут быть идеальноразличимыми. Таким образом, кодирование Шумахера может продвинутьсядадьше, достигая оптимального сжатияS(p)кубиmв на одну букву сооб­щения.