Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 40

Они обнаруживают, что если результат Боба IO),то резрьтатом Клер нсегда является I'P) и ншrогда -I'PL ). Анадогичпо,если Клер измеряет в базисе {10), 11)}, а Боб ·в базисе {I'P), I'P"-)},тогда если результат Клери никогда-IO), то резрогатомБоба всегда являетсяI'P)I'Pj_).а) Выразить базис {l<p), I'Pj_)} через {10),11) }.Теперь Боб н Клер интересуются, что произойдет, ecJrи они оба бу­дут измерять в базисе{l<p), I'Pj_) }. Их друг Лдьбер·t; ярый сторонниклокального реашrзма, предсказывает, что невозможно обоим получитьрезультат IPj_) (предсказание известное как теорема Харди). Альбертаргументирует это следующим образом.Ктда Боб и Клер выполняют измерение в базисе{llf'), I'Pj_) },имеет смысн рассмотреть, что могло бы случиться, есJШ быв~1есто эroro К10-то один из них выпоШIИЛ измерение в ба:!и-се{10),11) }.4.7.

УПРАЖНЕНИЯ203Итак, предположим, что Боб и Клер оба измеряют в базисе{1'1'), 1'1'"-)} и что они оба пюучают результат l'l'j_). Теперь,если бы Боб вместо этого измерял в базисе {IO), ll) }, то мымогли бы быть уверены в том, что его результат - 11), таккак эксперимент показывает, что если бы Боб подучилIO), тоКлер не могла бы получить 1'1'" ). Аналогично, если бы Клеризмеряла в базисе {fO), 11) }, то она наверняка подучила бырезультат 11). Мы приходим к выводу, что если бы Боб и Клероба измеряли в базисе {10), 11) }, то они оба подучили бы ре­зультат ll). Но зто nротиворечит эксперименту, который пока­зывает, что если Боб и Клер оба выполняют измерение в бази­се {10),11) },то невозможно им обоим получить результат Jl).СледоватеJiьно, мы вынуждены сделать выво~ чrо если Боби Клер измеряют в б:висе {1'1'); l'l'j_) }, то онн не могут одно­временно подучить резулыш l'l'j_).Несмотря на впечатляющую аргументацию Альберта, Боб н Клер ре­шают исследовать, какое предсказание может быть получено из :кван­товой механики.а) Если Ьоб и Клер оба измеряют в бюисе {l'f'), I'Pj_) }, каково кван­тово-механическое предсказанис для вероятности Р(х) тоrо, чтоони оба подучат результатl'l'j_)?Ь) Найдите «максимальное нарушение» теоремы Харди: покажите,что максимальным значением Р(х) является Р[(З - v'S)/2] == (5у'5- 11)/2 "'0,0902.с) Боб и Клер проводят эксперимет; подтверждающий предсказаниеквантовой механики.

Что ошибочно в рассуждениях Альберта?4.2.Закрытие лазейки детекmрования. Напомним,чтон.еравеиствоIOWX1(аЬ)+ (а'Ь) + (аЬ') -(а'Ь') 1,;;2(4.120)справедливо, если случайные перемеimые а, Ь, а', Ь' принимают зна­чения±1и подчиняются совместному распределению вероятностей.Максима.."'Ьное нарушение этого неравенства квантово-механическимипредсказаниями имеет место, когда левая часть равна 2V'2, чrо до­стигается, когда Алиса и Боб делят максимально запутанное состоя­ние !Ф+), а, а'- результаты измерения кубита Алисы вдоль осей .i:204Г.1AIJA 4и 2, а Ь, 1/ -- результаты измерения кубита Боба в;юль осей (i: t i) /и (х- z)/v'2.v'2Алиса и Боб выпоJШ.или замечатеJiьный :жсперимент~ и:Jмерин по.lя­ризацию занутанпой фотонной пары и подшерпили предсказываемоеквантовой механикой нарушение неравснс11!а КГШХ.

Альберт настро­ен с.кептическл. Он обращает внимание на то, что и.сnоль..'\уемые в ихэксперименте детекторы не очень эффективны. По боныпей части, ес­ли Аписа регистрирует фотон, то Ьоб-нет, а ес.1и ооб регистри­рует фотон. то Алиса - нет. С;1едоватс..Jыю, они отбрасывают дан­ные )\ЛЯ большинства фотонных пар и остав.;lяiОТ результаты 1ОЛЬ­ко при совпадении детсi<Тировання двух фотонов. В своем ана:1изеданныхA.rrncaи Боб предполагаю-1~ что их резулътюн осноканы нарспрезентати1шой выборке измеряемых наблкщаемых. полчиняюJцих­ся пекоторому распределению 11ероятностей.

Однако Альберт дока.1ы­вает, что их выводымогут оказюъся нс.:хостонерпыми~ селисостоя­ние ;~етектируемого фотона скорреднровано с рсзуе~ьтатом измерен11>1поляризации.Алиса и Боб интересуются, насколько им необходu'.!о rщ~иять эффек­тивность дстекrоров, чтобы вьшо;шить :жсnсримею~ который убедитАльберта.AriИca может ориентировать свой детектор вдоль любой оси, и еслиона направила еп) вдош~ оси а, то в идеале ее детектор бу..J:ет щсл­кат1., КОJЛа снин ее кубита направ;Jен вверх вдош.

оси&.,но ввиJ.унезффектиnности детектора иншда он не срабатывает, даже если ку­бит ориентирован вверх. Пусть тенерь для каждого номера i фотон­ной пары: х, Е{0, 1} -переменная, обозначающая сработал ли де­тектор Алисы, ориентированный в;юш. оси а, а именно. CCJIИ ще;rчок6ЬL'I, то xi =- 1.

а если нет, то xi = О. Поскольку детектор неидеаль­ный, то х, может быть равно нулю, даже ес.1и •-убит ориентированвверх вдо;Jь а. Аналогично х: Е {0, 1} обозначает, сработал ли де­тектор Аписы, ориентированный вдо.ть оси i/, 'Yi Е (0, 1} обтначает,сработал зи детектор Боба, ориентированный ндош. Ь, а у; Е {О, 1}обозначает, сработал JIИ детектор Боба, ориеншрованный в;tо:н, h'B прсщюложении лока..1ы10rо реа.1И3Ма каж.1ой наре можно сопоста­1вить значения х, Х 1 у, у', оnрс}(еля:емые Jюкальными скрытыми пере­менными.А;шса и nоб свободны в выборе ориентации своих детекторов в каж­дом и..терении; СJJе)~оватспыю.

их выборка .знаLiений х, х', ',IJ, у' рспре-2054.7. УПРАЖНЕНИЯзснтативна и они выво.цят и3 своих измерений следующие значения:Р0 .,(аЬ) ~ ~NI.:x,y,,i=lNУ.+(а'Ь)=.~ I.:x:y,,~=1.Р1 1 (пЬ')(4.121)N=~ '2:.: х,у;,i --1Nр-r+ (а 'Ь')=-1 "\"'.-'']\1~ XiYi,i=1гдеР"нош-юсJV+(аЬ) -количествоиспытанныхпар.Здесь,наrrример,верояпюстt, того, что оба 11етекюра сработают, когдаAlm-ca и Боб ориентируюr их идо:~ь осей а и Ь, схютвстственно (с учеrомвлияния несовсршснстяа детекrороn ).а) Накажите, чш если х, х', у, у' Е{0, 1}, то1ху+ху +х'у- х'у' ~ х +у.(4.122)Ь) Накажите, чтоРч(аЬ)+ Р_+(а.'Ь) + Р_,,(аЬ')--Р,0(а'Ь')<;; Р1 .(а)+Р+(Ь);(4.123)Зilесь Р+.

(а) обозначает вероятно"rь того, что дстекrор А;шсыщелкнет. если он ориентирован: вдоль оси ii, а Р.+(Ь) обозначаетвероятность TOL'O, что детектор J)Оба щелкнет, если он ориентиро­ван вдоль оси Ь.с) Тенерь сравним это с предсказаниями квантовой механики, где де­тектор АJшсы имеет эффективность 'lA• а детекrор Боба - Т/в·Это о:щачаст, что детектор Алисы щелкает с вероятностью Р =,-" 1/л Pperf• гдеpa,Pperf -верояmость щелчка идеа.,т:Iьноrо дeretcro­и аналогично для детектора Боба. Выбирая а, Ь, а', Ь' макси­Мil-lЫ/0 нарушающими неравенство КГШХ, покажите, что nред­сказания квапrовой механики нарушаюr неравенство(4.123), еслитолькоТ/л'lв'lл -11]в>11 + J2(4.124)206ГЛАВА 4Таким образом, если 'lл = 'lв• ro Алисе и Бобу необходимы де­текторы с эффективностью выше 82,84%, чтобы преодолеть воз­ражения Альберта.4.3.Телепортацая с помощLю пепрерывиых перемевных. Один полныйортонормированный базис в гильберrовом пространстве двух частицна вещественной прямой представляет собой базис (сепарабет.ных)собственных сосrояний операrора положениязапутанный базис {Q, Р) }, гдеIQ, Р)=~jdq e'Pqlq) ®{lq 1 ) 0lq2 ) }.Другой­lч + Q);(4.125)они яв.~IЯются одновременными собственными состояниями операmраотносительного положенияса Р = Р1 1 Р2·Q=q 2 - q 1 и операюра полного имnу;zь­а) Проверые, что(Q', P'IQ, Р) = 6( Q' - Q)o(P' - Р).Ь) Поскольку сосrояния{IQ, Г)}(4.126)образуют базис, мы "ожем разло­жить собственные сосrояния положений как(4.127)Вычислите коэффициенты разложения (Q, Pl(lq 1) 0lq2 ) ).IQ,с) Алиса и Боб приготовили запутанное состояниеР) АВ двух ча­стиц А и В; Алиса оставила себе частицу А, а Боб- частицу В.Алиса поцучила неизвестный волновой пакетc(ql.f)c,11/J)c =f dq lq)cкоторый она намерена телепортировать Бобу.

Составь­те протокол, который они могут вьпюлнить, чтобы осуществитьтелепортацию. Чrо должна измерить Алиса? Какую информа­в.ию она должна nослать Бобу? Что должен с;tелать Боб, пО.'I)'чивэту информацию, чrобы частица В бьта пригоrовлена в состоя­нии 1Ф) 8 ?4.4. Телепортация со смешанными состояниями.Операn.иона."1ыiый спо­соб определения запутанного состояния заключается в mм, что оно мо­жет быть исnользовано для телепортации неизвестного квантового со­стояния с лучшей точностью воспроизведения, чем зтого можно бьшобы добиться с помощью одних rолько локальных операций и классиче­ской связи. В этом упражнении вы покажете, что существуют смешан­ные состояния, в этом смысле запутанные, но тем не менее не нару­шающие никакого неравенства Белла.

Следовательно, для смешанных4.7. УПРАЖНЕНИЯ207состояний (в противоположвость чистым состояниям) понятия <<Запу­таннЫЙ>> и «нарушающий нсравенство Беллю> не эквивалентны.Рассмотрите «ШУМЯП\)'10>> заnутанную пару с матрицей IШотностир(Л) ~ (1- Л)I,Р-)(,Ра) Найдите точность восщюизведенияF,1+ ~1.(4.128)которой можно достичь, ес­ли состояние р(Л) используется дпя.

телепортадни одного кубитаот Алисы к Бобу.'[Указапие. Вспомните, что вы показали в од­ном из предыдущих уnражнений, что <<случайное гадание» имеетточность воспроизведенияF = 1/2.]Ь) При каких значениях Л найденная в (а) точность воеползведе­ния лучше той, которой можно добиться, если Алиса измеряетсвой кубит и посылает Бобу классическое сообщение? [Указа­ние. Раньше вы показали, что можно достичь значенияF=2/3,если Алиса измеряет свой кубит. Фактически это наюrучшсе воз­можное :шачениеF,достижимое в классической связи.]с) ВычислитеProb( iпiт) o=tr(Eл(n)E 8 (m)p(Л)),где Ел(n)а Е 8 ( m)d)-проекция кубита Алисы на состояние 1проекция кубита Боба на состояние-(4.129)Рассмотрите случай Л =1/2.j"),1i ,п).Накажите, что в этом случае состоя­ние р(Л) не нарушает неравенства Беш1а.

[Указание. Достаточнопостроить модель локальных скрытых переменных, которая нриЛ=1/2 корректно воспроизводитнайденные в (с) спиновые кор­реляции.] Предположите, что скрытая переменпая&однороднораспределена на единичной сфере и что сушествуют фуТiкциииfвfлтакие, чтоРrоЬв( iт) ~Задача состоит в том, чтобы найтиfлиfв! 8 (&rn).

(4.130)(где О .;;f л. в .;;1),обладающие свойствамиj fл(&·n)=~, j fв(&dJfл(& fi)fв(&·dm) =~·&· m) = Prob(iпlт ).(4.131)208Г:JАВА 44.5. Распределевне квантовогоключа. Алиса и Боб хотят выпо;mитьпротокол распределенi!Я квантового кточа. Алиса имеет все Jtеобходи­мое, чтобы приготовить JПОбое и1 двух состояний: lи.) юшlv).В под­ХО.i].Ящем базисе эти два состояния моrут бытъ лредставлсны какlи) ·~где О< а < rr /4.(COSct),lv) =SШQ(НiП<>),(4.132)CQS();Алиса выбирает наугад, что послат1, Г>Обу, !и) илиlv),а Боб допжен выполнить измерение, чтобы опреде;тть, что она посла­ла.

Так как эти два состошпm не ортогонадны, Боб не может ра:щи­чить их с абсодютной точностью.а) Dоб пони~ает, что он не может рассчИ1 ывать на то, что всякий разон сможет идентифицировать кубит Аписы, поэтому он довояь~ствуется процедурой, J<Оторая лишь иногда обесnечивает успех.Он выполняет ПОЗМ с тремя возможными исходами: ~lи), •lv),юш НЕ ЗНАЮ. Если он получает результат •1»), он уверен, чтобЫJю послано lv), а ес;ш он получает результат ~111), он уверен,что было nослано lи). Ес;ш получен результаг HF. ЗНАЮ, тотаего измерение неубеднте;IЪНо (не нозво.тяст сдслатJ, определенно­го вывода). Эта ПОЗМ опреде;~Яется оператора,\lиF•u = A(l-lu)(иl),FDк =(DK - Don'tF.v·= A(l-lv)(vl),(1- 2A)l + A(lv.)(иlКnow-·+ lv)(t~l)НЕ ЗНАЮ), где А-·(4.133)положительное ве­щественное число.

Какое значение А должен выбрать Боб, чтобыминимизировать вероятность результата НЕ ЗНАЮ, и чему равнаA.rntcalv) с равной вероятностью)? [Указание. ЕсJШ АC.:IИUIК0\1: веnико. то F о к будет иметь отрицательные собственныезпаченi!Я, а уравнения (4.133) не будут нрсдстандять ПОЗУ!.]эта минимальная вероятность IШ ЗНАЮ (при условии, чтовыбирает lи) илиЬ) Разработайте протокол распределения кванmвого к:поча, 11спользуя11сходиые данные Алисы и ПОЗМ Боба.с) Конечно, Ева тоже хочет знать, чm Алиса посылает Бобу. Надеясьна то, что А"'!Иса и Боб не за:~етят, она перехватыпаст каждыйпосы.ыемый Алисой кубит, выполняя орто[оналъное измерение.6) , (проецирующее его на базис {(~)}.