Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 38

Например,после выполнения коррекции ошибок, когда Алиса и Боб уже уверены, чторасполагают одинаковыми ключами, они могут выделить бит «суперiСЛЮ­ча>>, наnример, четность n битов ключа. Чтобы узнать что-нибудь о четно­стиnбитов, Еве нужно хотя бы что-нибудь узнать о каждом бите. Следо­вательно, бит четности в среднем существенно более надежен, чем каждыйиз отдельных битов ключа. ·Если частота ошибок в канале достаточно низка, то можно показать,что распределение квантового ключа, ;щполнснное коррекпией ошибоки секретным усилением, неуя:~вимо для любой атаки, которую может пре!l,­принять Ева (в том смысле, что можно J:арантироватъ, что полученная еюинформапия будет скот, угодно мала). Мы вернемся к проблеме о(>еспече­ния безопасности распределения квантового ключа в rлаве4.5.2.7.Невозможпость ююнированииБезопасность распределения квантового юiюча основана на существен­ном ра1личии межпу кваптnвой и К)Jассической информаrщей.

Неоо1можнополучить информацию, определяющую различие между нсорrогональнымиквантовыми состояниями, не внося воз.«ущение в эти состояния.Например, в протоколе НВ84 Алиса посьmает Бобу шобое и-1 четырехсостояний,1rz), llz), 1rх), llx):и они имеют возможность проверить,что ни одно из этих состояний не возмущено попыткой подслушиваниясо стороны Евы. В более общем виде предположим, чтонеортогонаJн,ных состояния в7t ( ('~'>I'P)iО) и что вI'P) и 11/о)два7t 0 7t 5 (где 'Н.JS -доступное Еве rнпьбертово пространство) применяется унитарное иреоб­разование И.

не возмушающееI'P)и 11/о). Тогда1'1'>) Ole) "'I'P) Olf)E,(4.104)а унитарносn, предполагает, что(1/oi'P) = (E(OI® (ФI)(I'P) ®IO) в) == (ЕН о (ФI)(I'P) Olf)т;) ~ (V'I'P)(elf).(4.105)Таким обра:юм, при (wi'P) f О мы имеем (elf) = 1 и, поскольку состоя­ния нормированы, le) ос 1!). Это означает, что ни одно измерение в 7t5 не194ГЛАВА 4может дать информацию, отJШЧающуюI<P)от11").В cJIYЧae ВВ~4 это до­казательство показывает, чrо если Ева не вносит возмущения в состояния,посланные Алисой, то состояния в 'Н в остаются неизменными, независимоот того, какое из четырех состояний1Т z), llz), 1Т z), llz)бЫJIО посла­но, и, следовательно, Ева ничего не узнает о разделенном Алисой и Бобомключе.

С другой стороны, если Алиса посЫJiает Бобу одно из двух ортого­нальных состояний1Т z>илиllz), то ничто не мешает Еве получить копиюинформации (как в с.пучае с классическими битами).Ранее мы отмеча.Jш, что если у нас есть множество идентичных копийкубита, то можно измерить средние значения некоммутирующих наблю­даемых типа ст 1 , и 2 и и 3 , чтобы полностью определить матрицу плотно­сти кубита.

Неотъемлемым в выводе о том, что неортогонаньные сОС'IОЯ­ния нельзя разтrчить не возмуrив их, является неявнос утверждение, чтоневозможно сделать идеальную копию кубита. (ЕсШI бы мы моrли, мы еде­лани бы стодько копий, сколько их необходимо для оnределения (и 1 ), (и 2 )и (и 3 ) с любой наперед заданной точностью.) Сформудируем это в явномвиде: не существует квантового ксерокса.Ортогональные квантовые состояния (подобные классической инфор­мации) могут надежно копироваться.

Например, унитарное преобразова­ние, действующее как(4.106)копирует первый кубит на вrорой, есди первый яв..11Яется одним из двухсостояний:в состоянииIO) АI<P)илиll) ,1 .Но если вмесrо зrого первый кубит находится= а/0) А+ Ь/1) А• "fOU: (a/O}A+blliA)IO)в ___, a/O)AIO)E+b/1)Ail)E.Это не состояниеиeroI.P)(4.107)® IФ} (тензорное произведение исходною сосrояниякопии); скорее это нечто совершенно отличное-запутанное состоя­ние двух кубнтов.Чтобы рассмотреть наиболее общий кванrовый ксерокс, ilOllycтим, чтополное гильбертоно пространство шире тензорного произведения исходно­го пространства и пространства копий.

Тогда наиболее общее «кошtрую­щее>> унитарное иреобразование действует какИ· { I<P)AIO)вiO)p ___, l.,fbl<P)вie)p,.ii")A/O)EIO)p ___, ii")Aii")Eif)F.(4.108)4.6. МНОГОКОМПОНЕНТНОЕ ЗАПУТЫВАНИЕ195Тогда унитарность предполагает, что(4.109)следона:rелыю, есди А (.PI'P} А#О, то1 = в(.РI'Р} Е p(elf} F·(4.110)Поско;~ьку состояния нормИJЮваны, мы приходим к выводу. что1(ФI'Р} 1= 1,то есть(4.lll)I.P} и I'P} в действительности представляют один и тот же луч.I'P} и IФ}, если ониНи одна унитарная машина не может сделать копииявляюrся различными неортогоналыtыми cocmoянtlflA..fU. Этот результат на­зывается теоремой о невозможности к.1оllнровання.Многокомпонентное заnутывание4.6.4.6.1.Три квантовых ящикаllocлe бе3умно уснепшоrо эксперимента с тремя монетами на столеA;rncaи Боб стали всемирно извеС111Ыми.

Они стали профессорами, Алисав КА.lТЕХе, а lioб в Чикаi"О. Они слишком занятые, чтобы проводить многовремени в лабораториях, но у них достаточно аспирантов и они продолжа­ют активно заниматься наукой.Их Jlучший С'JУдент, Чарли, который выпоШIЯЛ всю черновую рабо­ту в эксперименте с монетами, закончJШ образование и теперь он доцентв Принстоне. Алиса и lioб хотели бы содействовать карьере Чарли и по­мочr~ ему зашпъ пос·rоянную должность.

Однажды они болтали по теле­фону.Алиса: Знаешь, Боб, мы, конечно, должны помочь Чарли. Ты можешь при­думать подходящий :эксперимент, который мы можем выпоШiить втро­ем?Боб: Ну, я не знаю, Аниса. Есть множество экспериментов, которые я хотелбы выполнить с нашими запутанными парами кубитов. Но в каждомэксперименте есть одип кубит для меня, а другой- для тебя. Похоже,что Чарли- третий лишний.Алиса: [Длинная пауза]. Боб ...

Л ты когда-нибудь думал о постановке экс­перимента с тремя кубитами?ГЛАВА 4196У Боба отвисла челюсть и подскочил пульс. Во в~1езюшом прозрении онсловно увиде:1 неред собой всю свою будущую карьеру.llo правдеговоря,Боб уже начинал задумываться о том, чm их зксперименты с двумя куби­тами порядком устарели. Теперь он знает, что в б.1ижайшие 1mть лет онвесцело носnятит себя выполнению полного трсхкубитовоrо эксперимента.К тому времени он, Алиса и Чарош обучат другого бJiеС"IЯщеrп студентаи будут готовы подетуnиться к четырем кубита_\1. Затем еще один студенти еще ОJ(ИН кубит. И так ;щ самой пенсии.Вот как выглядит эксперимент с тремя кубитами, который Аниса и Бобрешини попробовать осуществить: Алиса nоручает сотруднику своей Оiа­бора-юрии в КАЛТЕХе тщательно припппвить состояние трех кваНТОJIЫХящиков.

(Но Алиса не знает точно, как он это сдслае·1:) Она оставляет одинящик у себя, а два друтих отправляет срочной квантоnой nоч-юй lioбy и Чар­ли. В каждом ящике находится шар, который может быть и:~и чер•1ым, ипибелым, но ящик п.1отно закрыт. Единственная оозможность узнать, что на­ходится Rнутри, ··-это открыть ящИIС, но открыть его можно двумя различ­ным и снособами -ящик имеет две дверцы, промаркированные как Х и УОпрс;\елит1~ цвет шара можно~ когда открывается одна из двух ;1всрок.

Ноuевозможно открыть обе днерцы ера:!)'.Алиса, Боб и Чарли собираются исследовать, как скоррелированы ящи­ки. Они нршюдят множество тщатедьно контролируемых ш:пытапий. Каж­дый раз один из них, выбранный жребием, открывает дверцу Х, тогда какдвое других открывают дверцу У. У,щчлю•ые, как всегда. А.1иса, lioб и Чар­.'IИ J~С~Iают удивите.т.ное открытие. Они обпаруживаю1~ что всякий раз, ко­гда они открыва10т ящики в таком порядке, они находят нечетнос количе­ство черных шаров.То есть А.1Иса, Боб и Чарли обнаружили, чю ко1да они открываютдверцу Х на одном ящиi<е и днерцы У на двух 1\РУI"ИХ, П) гарантированнонаб.-по,;щют одно из сочетаний цветов:(4.112)(О обо:шачает белый,1-черный). Они ни разу не на~нща:II! ни одногосочетания из(4.113)независимо от того~ у какоi'О из трех ящиком была открыта дверца Х.Некоторое время спустя А.шса, Боб и Чарли понимаю1; ч-ю после от­крытия двух ящиков они всегда могут прсдсказаrъ, что щ:юизойдет, коrда1974.6. MHOI'OKOMIJOHEHTHOE ЗАПУТЫВАНИЕбудет открыт третий ящик.

Rсли первые два шара одного цвета, то тре­тий шар, разумеется, будет черным, а если первые два-разных цветов,то последний шар обязательно будет белым. Они нроверяли это несметноеколичество ра1, но так происходило всеrла!Даже после нризнапия эксперимента с тремя монетами Алиса, Боби Чарли не усо:мнидись в своей приверженнести к 1йншrейновской локаль­ности.

Однажды между тmми состоя.11ся трехсторонний ра1rовор.Алиса: Знаете, парни, иногда я просто не могу решиться открыть ли двер­цу Х шш дверцу У своего яшика. Я знаю, я должна выбирать аккурат­но.... Если я открою двсрпу Х, то я несомненно внесу возмущениев ящик; следовательно, я никогда не узнаю, что случи.1ось бы, если бывместо этого я открыла дверцу У . .А если я открою дверi'У У, я никогдане узнаю, что пanma бы, ес:rи бы открыла )l,Верцу Х. Это так огорчает!Боб: Алиса, ты не права! Наш эксперимеН'!· показывает, ч·1о ты можешьзнать оба эти случая. Неужели ты не видишь? )l,опустим, что ты хо­чешf, знап., что произойдет, кш-да ты откроешь дверцу Х _ Тогда тыпросто просишь Чарли и :меня открыть дверцы У наших ящикон и со­обшить тебе, что мы обнаружили. Ты будешь знать абсототно точно,без сомнения, что случится, еши ты откроешь дверцу Х.

Мы прове­ряли это много ра:~, и это всегда работает. Так зачем же беспокоитьсяи открывать дверцу Х? Ты можешь пойти .J;a.in.шe и вместо этого от­крыть дверцу У и узнать, что ты най;(ешь. Таким образом ты рса.:тьноуJнаешь резу.::rьтатьJ о·rкрывания обеих дверок!Чa().Jm: Но как можно быть в этом уверенным? Еспи Алиса открываетд11ерцу У, она теряет возможность открыть дверцу Х.

Она же не мо­жет реально получить оба зтих случая. После того, как она открываетдисрцу У, мы не можем проверить, прои3ойдет ли ожидаемый резуm.­тат при открывании дверцы Х.Боб: Да ну, как может с."учиться другое? Смтри, ты же на самом деле недумаеш1., что ты со своим ящикьм в Принстоне, а я со своим-в Чи­ка:о можем оказать какое-то RJШЯние па то, что найдет Алиса, когдаона открост свой ящик в Паса.цене, не так ;ш? КоГJtа мы открываемпаши ящики, мы ничего не можем изменить в ящике Алисы; мы тот~­ко узнаем информацию, необходимую ддя того, ч1обы с уверенностьюпредскюать, что обнаружит А;шса.Чарли: Ну, может быть, нам слеJtовало бы выnолнить псско.'Iько большеэкспериментов, чтобы выяснить, что вы в это:м нравы.ГЛАВА198Действительно,4оnqэытие корреляциитрехящиковсделало Алисуи Боба даже более знаменитыми, чем раньше, но Чарли еще не получилтой репутации, которой заслуживает, - он все еще без дошкности.

Не уди­вительно, что он хочет ньшолнить больше экснеримептоn! Он продолжает:Чар..тrи: Здесь есть нечто такое, что мы можем провсрить. Во всех иыпол­ненных до сих пор экспериментах мы всегда открывали дверцу У надвух яшиках и дверцу Х на одном. Может быть, нам нужно проверитьнеч1Q другое. Например, может быть, нам стоит посмотреть, что про­изойдет, если мы откроем одни и те же дверцы на всех трех ящиках.Мы могли бы нроверить открытие ЧJСХ Х -дверок.Боб: Да ну! Мне надоели зw три яшика.