Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 30
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 30 страницы из PDF
Чrобывыиграть, Алиса (или Боб) должна определить, какое из четырех сосrоянийпригоrовил Чарли.Конечно, если бы Алиса и Боб соединили свои кубиты вместе, то онисмогли бы иденmфицировать состояние, выполняя ортогональное из~tерение, проецирующее на базис {IФ+), IФ-),11/>+), 11/>-) }. Но представим, чтоони находятся в разных городах и вообще не могут связаться лруг с другом.Действуя локально, ни Алиса, ни Боб не могут извлечь никакой информации о сосrоянии.Все, что они мoryr делать докально, .это манипулировать зтой информацией. Алиса может применить иреобразование и 3 к своему кубиrу А,из"еняя относительную фазуIO) Аиll) А·Это действие обращает бит фазы,храиящнйся в запутанном состоянии:IФ')....
ln,11/>1-) +411/>-).u 1 , коюрое опро11) А) и таким образом инвертирует бит четностиС другой стороны, она может применять преобразованиекидывает ее спин(10) А....(4.4)4.1.!55Нн:ЕпАРАБЕЛЬносlъ ЭПР-ПАРзапутанн01u состояния:!Ф+)._.J.p+ ),ln....,-IФ(4.5)).Aн!LlOI11ЧHO и Боб может маиипулирова1ъ запутанным состоянием. Фактически, как мы обсужда.1И в§ 2.4,или Алиса, или Боб могут выполнить локw•ьное унитарное преобразование, заменяющее одно максимWlЬно запутанное состояние на JПобое другое максимwтьно запутанное состояние'. Поскольку их лока.оьные унитарные иреобразования не могут изменить Рл :.:. .-: Рв=~1, информация, коТОJЮЙОни манипулируют, ни одним изних не может быть прочитана..Предположим теперь, что Алиса и Боб могут обменивюъся (классическими) сообщениями о результатах своих измерений; тогда вместе они могут узнать о том, как скоррелированы их измерения.
Запутанные сосгояннябазиса удобно характеризоваu, одновременными собственными значениями;tвух коммутирующих набтодаемыхАВUt®O"t,(4.6)0'1 ® иf;собственное значение оператора и: QSJ иr является битом четности, а собственное значение о-11 е o-f - битом фазы. Так как эти операшры коммутируют, они н принпипе могут быть измерены одновременно.
Но этоневозможно, пока Алиса и Боб выполняют локальные измерения. Они могли бы оба решить измерить свои спины вдоль осиZ,приготовив одновременно собственные состояния операторов и~ и uf. Поскольку и: и ufкоммутируют с оператором четности uf ® uf, их ортогональные измерения не возмущают бит четности, а их результаты можно скомбинироватьтак, чтобы получить значение этого бита. Однако операторы а-: и а-: некоммутируют с оператором® o-f, поэтому выполненное таким споo-fсобом измерение бита чеuюсти возмущает бит фазы. С !\ругой стороны,АJшса и Боб моrлн бы решить измерить свои спины вдоль оси х; тогдаони моrnи бы узнэ:rь бит фазы ценой возмущения бита чепюс11<.
Но онине могут одновременно выполнить оба этих измерения. Чrобы можно бы.110 налсяться получить бит четности без возмущения бита фазы, Алисе иБобу нужно получип. информапию о произведении 'Т~ ®1o-!f,не изме-Но, конечно, зтоrо недоста'ОО'iНо .ЦJJ11 того, 'ПОбы: вы:поJШИТь nрои·!вольное унитарноеnреобразование в •Jстырехмсрном пространстве1-l А ® 1iв,содержащее также и не максима.'lьно заnуrанные оосюя:ния. Максимаm,но запутанные состо11ния: не образуют подпросrранства--их суперпозиция обычно не Jl&:lJieтcя максима..аьно заnутанной.!56ГЛАВА 4ряя отдельно ни и1, ни а'{{, что не может быть выполнено локальнымобразом.Пусть теперь А1иса и Боб соберутся вместе, так чrобы они могди опе~рировать своими кубитами сообша.
Как они мо1ут узнать бит четностии бит фазы их пары? Применив подходящее унитарное преобразование,они могут повернуть запутанный базис {[Фс~-},[1/i'"'}} таким образом, чтоон перейдетвнезапутанный базис {[00}, [01}, f!O}, [11}}. Тогда Алисаи Боб могут и.змерить кубиты А и В, чтобы получить искомые ими биты.Как строится это преобразовапие?Воспользуемся удобным моментом. чтобы ввести обозначение, котороебудет широко использоваться далее в этом курсе, обозначение квантовойсхемы.
Кубиты изображаются горизонтальными тrнмми, а однокубитовоеунитарное преобразованиеtJ ·В частности, ниже нам очень пригодится о;щокубитовос унитарное преобразование Ада.м.ара(4.7)которое обла;щет свойствамиН 2 = 1,(4.8)и(4.9)Н<7 3 Н = <7 1 •[мы можем рассматривать Н (с точностью до общей фазы) как поворот наJГОЛ 8 ~ 7Г вокру1· ОСИ flосиiиi;мы имеемU(ii,B) == _l_v2(n, + flз), КОТОрЫЙlcos~ Hn·бsiн~=ПСреR0,1ИТ друг В другаi~(a 1 +а 3 )=iH.](4.1 О)Также полезно двухкубитовое преобразованис, известное как обратимоеXORили контролируемое НЕ(CNOT)CNOT :[а, Ь)преобразование; оно действует как_,[а, а. Е& Ь)(4 11)4.1.
НЕСЕ11АРАБf..1ЬНОСТЬ ЭПР~ПАР157на базисных состояниях а, Ь = О, 1, где а ЕВ Ь обозначает сумму по мол:уиrоI(Ба. CNOT изображается !1ИаJраммойаа$ЬТаким образом, это иреобразование инвертирует вшрой бит, если первыйи!-.fеет ·шачсние1,и действует тривиально, ecJlи первый бит имеет значение О; оно облал.ает свойством(CNOT) 2Мыпазынаем•1 ® 1.а кинтролир.У'ЮЩlLU битом(ю1и(4.12)источнико.м) операцииCNOT, а Ь -контролируемым битом (или целью).Комбинируя .1ти «нримитивные» нреобрюования, и."'и квантовые вентtши, мы можем ностроитт> дру1·ие унитарные преобразования. Например,«схема)) (читается слева направо)nредставляет nроизведение nрименеиной к нервому кубиту операции Ни следующей за нейщеtо и вторым-CNOTс первым кубитом в качестве контролнруюв качестве контролируемого. Непосредственно видно, чтоэ·t·а схема прсобра:~уст стандартный базис в 3311утанный:\00)--+ ~(!о) 1-\1))\0) _, IФ+),1\01)--+- (\0) 1·\1))\1)->11/!1),v'2\10)--+ ~(I0)-\1))\0)--> IФ ),(4.13)\11)--> ~(\0) -\1))11)--> 11/J ),так что первый бит становится битом фазы в запутанном базисе.
а второйбитом четности.-Г;IАВА1584Аналогично мы можем обратить преобразование, проходя схему в обратном направлении (поско;тьку иCNOT,и Н идемпотенmы); если мыприменим обращенную схему к запутанному состоянию, а затем измерим:оба бита, то мы узнаем значения бита фазы и бита четности.Конечно, Н действует только на один из кубитов; «нелока.;1Ьной» частью нашей схемы является операция контролируемого НЕ(CNOT)-этооперация, устанавливающая нлн устраняющая занутьшание. Если бы только мьr могли выполнить «межзвезднуюCNOT»,то бьши бы в состояниизапутывать пространственно-разделеииые пары или изалекатъ закодированную в них информацию.
Однако мы не можем этого Сl\елать. Чтобы ВЫIЮJIнить эту рабоrу, вентильCNOTдолжен действовать на це.'Iь, не открываязначения источника. Лоханъных операций и классической связи для этогонедостаточно.4.1.2.Эйнштейновекая локальность н скрытые перемеооыеЭйнштейна смущало квантовое запутывание. В конце концов он совмесmо с Поцольским и Розсном (ЭПР) вырази.1 это беспокойство в том,что они рассматривали как парадокс 1 . Согласно более поздней интерпретации Бома, оШiсанная ими си1Уация в действительности та же самая, чтои обсуждавшаяся в§ 2.5.3.Данное максяма..~ьно запутаннос сосrояние двухкубитов поделено между Алисой и Бобом, Алиса может выбрать о,цно изнескольких возможных измерений, чтобы выполнить его на своем спине,реализуя тем самым раз,;шчные возможные интерпретации ансамбдей матрицы пло11юсти Боба; например, она м:о:жет приготовить собственные состояния: или и 1' или О" 3·Мы видели, что Алиса и Боб не могут использовать это яаление ;vrясверхсветовой связи.
Эйнштейн знал зто. но оставался неудовлетворенным:.Он считал. что теория, дающая полное описание физической реальности,должна удовдетворять более строгому критерию, который можно назватьэйнштейнавекой локальностью (нног)щ известный как локалыtый реализм).Предположим, что А и В-разделенные пространственно-подобным интервалом системы. Тогда в полном описании физической реадьности действие, совершенное над системой А, недолжно изменятъ описание системы В.1А. Einstein, В.
Podolsky, N. Rosen, Сап Quantum-mechankal Description of Physical RealityConsidered Complete?, Phys. Rev., 47,777-780 (J935); современная нttтсрпретацня: мыслсн~uoro эксперимента ЭПР, НСПQЛЬЗ)'Ющая максимально запутанное сосrо.а:ние спинов, предложена Д. Бомом: D.Bohm, Quannun Тheory, Prentice-Hall, Бnglewood Cliffs< New Jersey (1951);неревод: Д. Бом, Квантовая теория, М., Наука (1965). - Пpu.'lt.
ред.Ве4.1. НЕСЕПАРАБЕЛЬНОСТЪ ЭПР-ПАР!59Но ес:ти А и В запутаны, измерение А выпшmено и кmtкретный полученный результат известен,roматрица плотности В обязательно изменится. Следовательно, согласно критерию Эйнштейна описание квантовойсистемы с помощью волновой функции или оператора плотности не можетсчитаться полным_Эйнштейн пытался представить более полное описание, которое устранило бы индетерминизм квантовой механики.
Теории такого рода называются теориями локальных скрытых переменных. В теории скрытых переменных измерение в дейс:rвите.аъности явдяется детерминистским, но выглядит верояmостным, поскольку некоmрые степени свободы точно неизвестны. Например, возможно, что для описания приrотовленного спиновогосостояния, которое в квантовой теории рассматривается как чисmс состояr,},ние 1в действительности существует более глубокая теория, в которойоно параметризуется как (2, Л), где Л (О ( Л ( 1)- скрытая переменная.Допустим, что при современном уровне :экспериментальной техники мыне контролируем .\, следователLно, когда мы готовим спиновое состояние,может принять любое значение - распреде:тение вероятностей, управля,\ющее ее значениями, яааяется О[{Нородным на единичном интервале.Теперь предположим, что при измерении спина вдо.dЬ оситой на угол В оnюсительно оси\lz}Z,.\,повернупри О (Л ( cos2 ~'\1 2 } приЕспи мы знаемii)буnет получен результатcos2 ~<Л ((4.14)1.то резу;zътат является детерминистским, но ecJПfностью неизвестна, тогда,\полуправляющее измерением распределение вероятностей будет соrласоваться с предсказаниями кванrовой теории.