Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 29
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 29 страницы из PDF
К счастью,все, что мы знаем о физике, совместимо с гипотезой о том, что все физические процессы (в том числе измерения) могут быть точно смоделированыунитарной эволюцией волновой функции (илн матрицы плотности). Еслимикроскопическая квантовая система взаимодействует с макроскопическимприбором,ro«для всех пракгических целей)} декоrерентизация вызывает«КОЛЛШIС» ВОЛНОВОЙ функции.Если мы избегаем рассматривать и:~мерение как некий таинственныйпроцесс и принимаем волновую функцию в качестве описания физической реальноС'IИ, то это ведет нас к Эверетrу или интерпретации квантовойтеории с позиции «множественности миров». Согласно этой точке зрениявсе возможные исходы любого (<Измерения» рассматриваются как ((реальные))-но я воспринимаю rолько один результат, поскольку состояние моего мозr·а (как части квантовой системы) сильно скоррелировано с ним.Несмотря на то, что эволюция волноnой функции в интерпретацииЭверстга является детерминистской, у меня нет возможности однозначноЩJС,il,сказать результат выполняемого в будущем эксперимента-я не знаю,в какой ветви волновой функции окажусь после него, следовательно, я нев состоянии нрсi~сказать будущее состояние моего разума.
Таким образом,ГЛАВА 3148хотя «глобальнаю> картина в известной степени детерминистская, из моетuсобственного локал,~ного вида изнутри системы я ощущаю квантово-механическую случайность.Мой личный взr;1яд состоит в том, чтu эверепопекая интерпретацияквантовой теории дает удовлетворительное объяснение измерения и прИJЮ,цы С!I}'Чайности, но все еще не дает полного объяснения квантово-механических правил вычис,;:rения вероятностей. Для пштного объяснения следуетвыйти за рамки частопюй интерпретации вероятности-в иn,еале хотелосьбы поставить бейесовский взгля;~ па вероятность на надежное объективноеоснование.3.7.РезюмеПОЗМ.
&ли мы ограничиваем наше внимание поднространством бопес широкого ги.1ьбсртова пространства, то ортоrонапьное измерение (измерение фон Неймана), выполненное в более широком нространстве, вообще говоря, не может быть описано как ортогональное измерение в подпространстве. Это скорее обобщенное измерение или ПОЗМ, ре3ультат которогоноявляется с вероятностьюProb(a) ~ trгде р-(F.p),матрица плотности подсистемы,F11-(3.191)положительные зрмитовыоператоры, удовлетворяющие условиюl:F.
= 1(3.192)аIЮЗМ в 1tл может быть реапюована как улитарное иреобразование на тсн:юрпом произведении 1iА ® 1iв после ортоrоналыюго измерения в 1i в.Суuеро11ератор. Упятарная в7t А® 'Н в эволюция в общем случаене будет вышя;(еть унитарной, сспи мы ограничим свое внимание толькопространством 7t А- Скорее звоmоция в 7t А булет описываться супераператором (который обратим только ·rогда, когда он увитарен). Произвольныйсупероператор $ имеет нредставление операторной суммы (представлениеКрауса)(3.193)$где"мtмL.; 1-t /), = 1 .(3.194)3.8.149УПРАЖНЕНИЯФактически .1юбое разумнос (линейное и вподне положительное) отображение матриц плотности в матрипы плотности имеет унитарное nредставление и представление онераторной суммы.Декогерептизапия.
Декогерентизация·-разрушение квантовой информации вследствие взаимодействия системы с ее окружением-- можетбып~ описана суперонсратором. Есшr окружение час·ю <(рассеивает» систему и его состояние не контрОлируется, тогда в искотором выделенном базисе (обычно, в соотнетствии с прирадой связи системы с окружением, выбирается нространственно-локаJJИ3ован:ный базис) недиаrональныс .эJЕсмснтыматрш~ы шют1юсти системы быстро затухают.
Временной масштаб декогерентизации определяется частотой рассеяния, которая может бьпъ горазrюбо.1ьше темпа затухания состояния.Основное уравнение. Когда соо1'Ветствующий динамический временной масштtlб открытой кваиговой системы ве:JИк по сравнению со временем, в течение коrорого окружение юабываеп> квантовую информщию,эволю1~ия системы эффективно лакальна во времени(марковекоеприближение). Подобно тому как общая унитарная эволюция генерируется гамильrонианом, общая маркоnекая эволюция генерируется супероператоромr., как это описывается основным уравнениемр ер ••_-i[H,pJ + 2: (L,.рч- !LtL,,p- !pLf.L,.).Линдблада(3.195)1'Здесь каж;1ый оператор Линдб"'да (или оператор квантовою скачка)предстанляст «квантовый скачою>, который в аринципе можно регистрировать,ec:mдостаточно тщательно коюролировать окружение.
Решая основное ураинение, мы можем вычислить темп дскоJ·сренти'3ации открытойсистемы.3.8.3.1.УпражненияРеалН3ацвя ПОЗМ. Рассмотрим ПОЗМ, ОПJJСi1Сленную чеТЬiрr.мя положите;rrыiыми 011сраrорамир1=Р, ~!1 l,)(i, j,1zl['.2 ----1.112 z,)(l' z 1~(3.196)ix)(1x1,Покажитс, каким обра:юм лу ПОЗМ можно реали:ювать как ОJУГОГОнальнос измерение в двухкубитовом гильбертовам нространстве, есJшВВеден О,lИН ВСПОМОПН'СЛЬНЫЙ(ancilla)СПИН.ГЛАВА 31503.2. Обратимость супероператоров.Цель этого упражнения-показатъ,что супероператор обраrnм только тогда, когда он уиитарен. Напом·ним, что тобой суперонератор может быытъ представлен в виде оnераторной суммы; он действует на чистое состояние как.М(IФ)(ФI) = _LM,.IФ)(ФIMt.":L MLM,.
= 1. Другой суперолератор N"отношениюк М, если N о М = 1, илигде_LN.M,.IФ)(ФIM1Nl=(3.197)называется обратным поIФ)('I/,1(3.198)J',aдля moбoro IФ). Отсюда следует, что(3. 199)"·"а) Исnользуя условия нормировки, которым удовлетворяютпо кажите, чтоNо .М =1 влечет заNaи м,.,собой(3.200)для всех а и р., другими сJювами, каждое произведениеNaM,.пропорционадъно тождественному (едниичному) оnератору.Ь) Исполъзуя рсзудътат (а), покажите, что ДJIЯ всех р. иv мtм,. пропорционально тождестnепному онсратору.с) Покажите, что из (Ь) следует упитарность М.3.3.
Какмвоrо супероператоров? Сколько вещественных nара.~етров необходимо для параметризапии супероnератора общего вида$:если р-р- р',оператор плотности вN -мерном(3.201)ги;n.бертовом !Гространстве? [Указание: Сколько вещественных чисел nараметризует эрмитовуNхN -матрицу?Как много линейных отображений ~рмнтовыхматриц на эрмитовы матрицы? Как много сохраi!.Яющих след отображений эрмитовых матриц на эрмитовы матрицы?]УПРАЖНЕНИЯ3.8.1513.4. Насколько быстра 11еко•·ереН1·изацви? Очень хороший маятник с мае·сой т = 1 г и крутовой частотой w = 1 с- 1 имеет доброnюсть Q ~=10 9 .
Маятник притотовлен в состоянии «кот-суперпозицию)jcat)=~(lx) + 1- х))(3.202)волновых пакс~тоn с минимальной нсопределепностью, nервоначальнопокоящихся в положениях ±х, где х = 1 см. Оценить по порядку величины, как быстро прОизойдет декогерентизация этого «КОт-состояния»,если окружение находитсяа) при нулевой темнсратуре;Ь) при rомнаnюй температуре.3.5. Затухание фазы.
На лекции мы по.1учили представление операторнойсуммы канала затухания фазы для одного кубита с операторами КраусаM 0 =Ji=Pl, М 1 =у'р~(l+<Т 3 ), М 2 =у'р~(1-<Т 3 ).(3.203)а) Найдите а.пы'Срнативное представдение, используя только два оператора КраусаN 0, N 1.Ь) Найдите унитарную 3 х 3-матрицу И~а такую, что полученные вамив (а) операторы Крауса (дополненные третьим N 2 = О) связаныс М 0 1 2 соотношением(3.204)с) Рассмотрите унитарное представление однокубитового канала/0) А /0) Е->V1=P /0) л/0) Е+ у'р /0),,/"Уо) Е•/1)л/О)Е _, Jl=PI1)лiO)Eгде I"Yo) Е и11'1) Е-+ v'Pil)лi"Y1)E,(3.205)ортогональные /0) Е нормированные состоя·ния, удов.1етворяющие условиюо< €< 1.(3.206)Покажите, чw это тоже канал за'I)'Хания фазы, и найдите его представление операторной суммы с двумя операторами Крауса.d)Допустим, что канал из (с) описывает то, что происходит с кубиrом, когда на нем рассеивается один фоrон.
Выразите темп декогерентизации гdecoh через темп рассеяния г scatt·Гллвл1523.6. Декоrсревтнзаi(Ия3па сфере Блоха. Пара"етризуйте матрицу тютиости одного кубита слсаующим образом:р= ~(1 ~J'.и).{3.207)а) Онишите, что нроисходит с Р под действием капала затухания фазы.Ь) Опишите, что происходит с[ЮД действием кана:Iа 3атухания амftплитуды, определяемою оператора."и КраусаМ 0 ~О у~ 1°_Р).с) Проде11айтеm'{!)(3.208)же самое ;.1дя ((Дiюйного кана...1а Паули»:г.-:fPГрM 0 ~yl-pl,3. 7.м,7(~М1={2и,,М"~V2.:т".(3.209)ДскОI'ерентизация за·rухающего осцн.-шя·I'Ора. Па лекнии~ ы говорИJш, что в представ.1ении взаимоJiейспшя матрица н:ютностиp 1 (t)осци:LJятора, который может ИЗ.!)'Чать кванты в находящийся ври ну;Iевой re~nepaтype резервуар. подчиняется основному уравнениюi>1 с_ 1' ( apra1 - ~a 1 apr- 1pra1a),где а - оецJL'L1Я1орный \шератор уничrожения.(3.210)а) Рассмотрите величинуХ(Л, t) ~ tr [p 1 (t)eлat "-л'а],1де А-комплексное число.
Испош. .1уя основнос уравнс11ие, выведите и репmтс дифференциа.н.ное уравнение ;ця Х (Л,дитеme Л'Л'(Л,t). Най-Х(Л,t) = Х(Л',О),(3212)яВJrястся функцией от Л, Г и t. Чrо зто 1а функцияJ', t)?Ь) ПредпоJЮжи", что приляторагде(3.211)Ja)t=О пригоrовлено <<кот-состояние» ощшrJcat) ~ - 1 (la 1) 1 1<> 2 )),V2(3.213)обозначает коrсрентное состояние•:.>.1ja) = e-lиl i 2 eaa JO).(3.2\4)Используйте результат (а), чтобы получить матрицу П.;ютностив более поздний момент времени t.
Каков темп 3атухапия недиаюна.1ыrых злемен·юв р (в Э'ЮМ когерентно" базисе) при Гt«1?ГЛАВА 4Квантовое запутывание4.1.Несепарабельность ЭПР-пар4.1.1.Скрытая квантовая информация1 Лубоки еаспекты, о1личrоощие квантовую информацию от к.-Jассической, вк.1ючают в себя свойства, привлечение и использование квшtтовогозппуmы(Jш-тя. Вспомним, что, согласнотано, ес.rшe1u§ 2.4.1,бинарное состояние запучисло JПмидта болыпс с;~инипы. Зшiутанные состояния интересны тем, что в них проявляются не имеющие· классических аналоговкорре."'ции.В качестве примера напомним опреде.1енное в§ 3.4.1даксuJшльно :тпутанное состояние двух кубитов (1L1И :JПP-napa 1 ):(4.1)«Максимально запутанный» означает, чrо если мы вычислим след по состояниям кубита В, чтобы найти онератор плотностир А кубита А, то получимонсратор, пропорциональный единичному:(4.2)(и аналоi·ично Рв -~lв)· Это значит, что резуш.тат измерения спина А НJ(ОЛЬ любой оси бу71:ет полностью случайным: с вероятностr.юмы найдем его ориентированным вверх, и с вероятностыо1/21/2вниз.Следовательно, если мы выполним любое локальное измерение А или В,то не понучим 1шкююй информации о приготовленном состоянии, лишь1ЭПР - Эйншrейн, Подолъский, Розе н.
- Пpu.:w. перев.!54ГЛАВА 4породив вмесrо зrого случайный бит. Эта ситуация резко контрастирует;Jсо случаем одного кубита в чистом состоянии. Лриготовпв, скажем, 1 tили J !п)~ мы можем хравить в этом состоянии один бит и достоверноизвлекать его, вьmоJшяя измерение вдоль оси {t. В случае двух куби1овнам следовало бы уметь хранить два бита, но в состоянии IФ+) АВ эта информация скрыта; по крайней мере, мы не можем извдечь ее, измеряя АилиR.Фактически IФ+) АВ является одним из представитедей введенногов§ 3.4.1базиса четырех взаимно ортоюнальных сосrояний двух кубитов,каждый из которых также максима...т:rьно запутан:IФ±)Ав1>/,±)Ав==~(IОО)Ав ± IЩАв),~(IOl)Aв ± llO)Aв).(4.3)Представим, чrо Алиса и Боб играют с Чарли. Чарли готовит одно из этихчетырех сосrояний, кодируя таким образом два бита в сосrоянии двухкубитовой системы. Один из них нрсдставляет собой бит четности (IФ)или j-ф) ): пара.wсльпы или антипард.IШеJiыfы состояния двух спинов? Другой-бит фазы(-1или- ):какой четности выбрана суперпозmщя двухсостояний? Затем ЧарJIИ посылает кубнт А Алисе, а кубит В Бобу.