Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 29

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 29 страницы из PDF

К счастью,все, что мы знаем о физике, совместимо с гипотезой о том, что все физиче­ские процессы (в том числе измерения) могут быть точно смоделированыунитарной эволюцией волновой функции (илн матрицы плотности). Еслимикроскопическая квантовая система взаимодействует с макроскопическимприбором,ro«для всех пракгических целей)} декоrерентизация вызывает«КОЛЛШIС» ВОЛНОВОЙ функции.Если мы избегаем рассматривать и:~мерение как некий таинственныйпроцесс и принимаем волновую функцию в качестве описания физиче­ской реальноС'IИ, то это ведет нас к Эверетrу или интерпретации квантовойтеории с позиции «множественности миров». Согласно этой точке зрениявсе возможные исходы любого (<Измерения» рассматриваются как ((реаль­ные))-но я воспринимаю rолько один результат, поскольку состояние мо­его мозr·а (как части квантовой системы) сильно скоррелировано с ним.Несмотря на то, что эволюция волноnой функции в интерпретацииЭверстга является детерминистской, у меня нет возможности однозначноЩJС,il,сказать результат выполняемого в будущем эксперимента-я не знаю,в какой ветви волновой функции окажусь после него, следовательно, я нев состоянии нрсi~сказать будущее состояние моего разума.

Таким образом,ГЛАВА 3148хотя «глобальнаю> картина в известной степени детерминистская, из моетuсобственного локал,~ного вида изнутри системы я ощущаю квантово-меха­ническую случайность.Мой личный взr;1яд состоит в том, чтu эверепопекая интерпретацияквантовой теории дает удовлетворительное объяснение измерения и прИJЮ­,цы С!I}'Чайности, но все еще не дает полного объяснения квантово-механи­ческих правил вычис,;:rения вероятностей. Для пштного объяснения следуетвыйти за рамки частопюй интерпретации вероятности-в иn,еале хотелосьбы поставить бейесовский взгля;~ па вероятность на надежное объективноеоснование.3.7.РезюмеПОЗМ.

&ли мы ограничиваем наше внимание поднространством бо­пес широкого ги.1ьбсртова пространства, то ортоrонапьное измерение (из­мерение фон Неймана), выполненное в более широком нространстве, вооб­ще говоря, не может быть описано как ортогональное измерение в подпро­странстве. Это скорее обобщенное измерение или ПОЗМ, ре3ультат которогоноявляется с вероятностьюProb(a) ~ trгде р-(F.p),матрица плотности подсистемы,F11-(3.191)положительные зрмитовыоператоры, удовлетворяющие условиюl:F.

= 1(3.192)аIЮЗМ в 1tл может быть реапюована как улитарное иреобразование на тсн­:юрпом произведении 1iА ® 1iв после ортоrоналыюго измерения в 1i в.Суuеро11ератор. Упятарная в7t А® 'Н в эволюция в общем случаене будет вышя;(еть унитарной, сспи мы ограничим свое внимание толькопространством 7t А- Скорее звоmоция в 7t А булет описываться суперапера­тором (который обратим только ·rогда, когда он увитарен). Произвольныйсупероператор $ имеет нредставление операторной суммы (представлениеКрауса)(3.193)$где"мtмL.; 1-t /), = 1 .(3.194)3.8.149УПРАЖНЕНИЯФактически .1юбое разумнос (линейное и вподне положительное) отобра­жение матриц плотности в матрипы плотности имеет унитарное nредстав­ление и представление онераторной суммы.Декогерептизапия.

Декогерентизация·-разрушение квантовой ин­формации вследствие взаимодействия системы с ее окружением-- можетбып~ описана суперонсратором. Есшr окружение час·ю <(рассеивает» систе­му и его состояние не контрОлируется, тогда в искотором выделенном бази­се (обычно, в соотнетствии с прирадой связи системы с окружением, выби­рается нространственно-локаJJИ3ован:ный базис) недиаrональныс .эJЕсмснтыматрш~ы шют1юсти системы быстро затухают.

Временной масштаб декоге­рентизации определяется частотой рассеяния, которая может бьпъ горазrюбо.1ьше темпа затухания состояния.Основное уравнение. Когда соо1'Ветствующий динамический времен­ной масштtlб открытой кваиговой системы ве:JИк по сравнению со време­нем, в течение коrорого окружение юабываеп> квантовую информщию,эволю1~ия системы эффективно лакальна во времени(марковекоеприбли­жение). Подобно тому как общая унитарная эволюция генерируется га­мильrонианом, общая маркоnекая эволюция генерируется супероператоромr., как это описывается основным уравнениемр ер ••_-i[H,pJ + 2: (L,.рч- !LtL,,p- !pLf.L,.).Линдблада(3.195)1'Здесь каж;1ый оператор Линдб"'да (или оператор квантовою скачка)предстанляст «квантовый скачою>, который в аринципе можно регистри­ровать,ec:mдостаточно тщательно коюролировать окружение.

Решая ос­новное ураинение, мы можем вычислить темп дскоJ·сренти'3ации открытойсистемы.3.8.3.1.УпражненияРеалН3ацвя ПОЗМ. Рассмотрим ПОЗМ, ОПJJСi1Сленную чеТЬiрr.мя по­ложите;rrыiыми 011сраrорамир1=Р, ~!1 l,)(i, j,1zl['.2 ----1.112 z,)(l' z 1~(3.196)ix)(1x1,Покажитс, каким обра:юм лу ПОЗМ можно реали:ювать как ОJУГОГО­нальнос измерение в двухкубитовом гильбертовам нространстве, есJшВВеден О,lИН ВСПОМОПН'СЛЬНЫЙ(ancilla)СПИН.ГЛАВА 31503.2. Обратимость супероператоров.Цель этого упражнения-показатъ,что супероператор обраrnм только тогда, когда он уиитарен. Напом·ним, что тобой суперонератор может быытъ представлен в виде оnе­раторной суммы; он действует на чистое состояние как.М(IФ)(ФI) = _LM,.IФ)(ФIMt.":L MLM,.

= 1. Другой суперолератор N"отношениюк М, если N о М = 1, илигде_LN.M,.IФ)(ФIM1Nl=(3.197)называется обратным поIФ)('I/,1(3.198)J',aдля moбoro IФ). Отсюда следует, что(3. 199)"·"а) Исnользуя условия нормировки, которым удовлетворяютпо кажите, чтоNо .М =1 влечет заNaи м,.,собой(3.200)для всех а и р., другими сJювами, каждое произведениеNaM,.пропорционадъно тождественному (едниичному) оnератору.Ь) Исполъзуя рсзудътат (а), покажите, что ДJIЯ всех р. иv мtм,. про­порционально тождестnепному онсратору.с) Покажите, что из (Ь) следует упитарность М.3.3.

Какмвоrо супероператоров? Сколько вещественных nара.~етров не­обходимо для параметризапии супероnератора общего вида$:если р-р- р',оператор плотности вN -мерном(3.201)ги;n.бертовом !Гростран­стве? [Указание: Сколько вещественных чисел nараметризует эрми­товуNхN -матрицу?Как много линейных отображений ~рмнтовыхматриц на эрмитовы матрицы? Как много сохраi!.Яющих след отобра­жений эрмитовых матриц на эрмитовы матрицы?]УПРАЖНЕНИЯ3.8.1513.4. Насколько быстра 11еко•·ереН1·изацви? Очень хороший маятник с мае·сой т = 1 г и крутовой частотой w = 1 с- 1 имеет доброnюсть Q ~=10 9 .

Маятник притотовлен в состоянии «кот-суперпозицию)jcat)=~(lx) + 1- х))(3.202)волновых пакс~тоn с минимальной нсопределепностью, nервоначальнопокоящихся в положениях ±х, где х = 1 см. Оценить по порядку вели­чины, как быстро прОизойдет декогерентизация этого «КОт-состояния»,если окружение находитсяа) при нулевой темнсратуре;Ь) при rомнаnюй температуре.3.5. Затухание фазы.

На лекции мы по.1учили представление операторнойсуммы канала затухания фазы для одного кубита с операторами КраусаM 0 =Ji=Pl, М 1 =у'р~(l+<Т 3 ), М 2 =у'р~(1-<Т 3 ).(3.203)а) Найдите а.пы'Срнативное представдение, используя только два опе­ратора КраусаN 0, N 1.Ь) Найдите унитарную 3 х 3-матрицу И~а такую, что полученные вамив (а) операторы Крауса (дополненные третьим N 2 = О) связаныс М 0 1 2 соотношением(3.204)с) Рассмотрите унитарное представление однокубитового канала/0) А /0) Е->V1=P /0) л/0) Е+ у'р /0),,/"Уо) Е•/1)л/О)Е _, Jl=PI1)лiO)Eгде I"Yo) Е и11'1) Е-+ v'Pil)лi"Y1)E,(3.205)ортогональные /0) Е нормированные состоя·ния, удов.1етворяющие условиюо< €< 1.(3.206)Покажите, чw это тоже канал за'I)'Хания фазы, и найдите его пред­ставление операторной суммы с двумя операторами Крауса.d)Допустим, что канал из (с) описывает то, что происходит с куби­rом, когда на нем рассеивается один фоrон.

Выразите темп деко­герентизации гdecoh через темп рассеяния г scatt·Гллвл1523.6. Декоrсревтнзаi(Ия3па сфере Блоха. Пара"етризуйте матрицу тютио­сти одного кубита слсаующим образом:р= ~(1 ~J'.и).{3.207)а) Онишите, что нроисходит с Р под действием капала затухания фа­зы.Ь) Опишите, что происходит с[ЮД действием кана:Iа 3атухания ам­ftплитуды, определяемою оператора."и КраусаМ 0 ~О у~ 1°_Р).с) Проде11айтеm'{!)(3.208)же самое ;.1дя ((Дiюйного кана...1а Паули»:г.-:fPГрM 0 ~yl-pl,3. 7.м,7(~М1={2и,,М"~V2.:т".(3.209)ДскОI'ерентизация за·rухающего осцн.-шя·I'Ора. Па лекнии~ ы гово­рИJш, что в представ.1ении взаимоJiейспшя матрица н:ютностиp 1 (t)осци:LJятора, который может ИЗ.!)'Чать кванты в находящийся ври ну­;Iевой re~nepaтype резервуар. подчиняется основному уравнениюi>1 с_ 1' ( apra1 - ~a 1 apr- 1pra1a),где а - оецJL'L1Я1орный \шератор уничrожения.(3.210)а) Рассмотрите величинуХ(Л, t) ~ tr [p 1 (t)eлat "-л'а],1де А-комплексное число.

Испош. .1уя основнос уравнс11ие, вы­ведите и репmтс дифференциа.н.ное уравнение ;ця Х (Л,дитеme Л'Л'(Л,t). Най-Х(Л,t) = Х(Л',О),(3212)яВJrястся функцией от Л, Г и t. Чrо зто 1а функцияJ', t)?Ь) ПредпоJЮжи", что приляторагде(3.211)Ja)t=О пригоrовлено <<кот-состояние» ощшr­Jcat) ~ - 1 (la 1) 1 1<> 2 )),V2(3.213)обозначает коrсрентное состояние•:.>.1ja) = e-lиl i 2 eaa JO).(3.2\4)Используйте результат (а), чтобы получить матрицу П.;ютностив более поздний момент времени t.

Каков темп 3атухапия недиа­юна.1ыrых злемен·юв р (в Э'ЮМ когерентно" базисе) при Гt«1?ГЛАВА 4Квантовое запутывание4.1.Несепарабельность ЭПР-пар4.1.1.Скрытая квантовая информация1 Лубоки еаспекты, о1личrоощие квантовую информацию от к.-Jассиче­ской, вк.1ючают в себя свойства, привлечение и использование квшtтовогозппуmы(Jш-тя. Вспомним, что, согласнотано, ес.rшe1u§ 2.4.1,бинарное состояние запу­число JПмидта болыпс с;~инипы. Зшiутанные состояния ин­тересны тем, что в них проявляются не имеющие· классических аналоговкорре."'ции.В качестве примера напомним опреде.1енное в§ 3.4.1даксuJшльно :т­путанное состояние двух кубитов (1L1И :JПP-napa 1 ):(4.1)«Максимально запутанный» означает, чrо если мы вычислим след по состо­яниям кубита В, чтобы найти онератор плотностир А кубита А, то получимонсратор, пропорциональный единичному:(4.2)(и аналоi·ично Рв -~lв)· Это значит, что резуш.тат измерения спи­на А НJ(ОЛЬ любой оси бу71:ет полностью случайным: с вероятностr.юмы найдем его ориентированным вверх, и с вероятностыо1/21/2вниз.Следовательно, если мы выполним любое локальное измерение А или В,то не понучим 1шкююй информации о приготовленном состоянии, лишь1ЭПР - Эйншrейн, Подолъский, Розе н.

- Пpu.:w. перев.!54ГЛАВА 4породив вмесrо зrого случайный бит. Эта ситуация резко контрастирует;Jсо случаем одного кубита в чистом состоянии. Лриготовпв, скажем, 1 tили J !п)~ мы можем хравить в этом состоянии один бит и достоверноизвлекать его, вьmоJшяя измерение вдоль оси {t. В случае двух куби1овнам следовало бы уметь хранить два бита, но в состоянии IФ+) АВ эта ин­формация скрыта; по крайней мере, мы не можем извдечь ее, измеряя АилиR.Фактически IФ+) АВ является одним из представитедей введенногов§ 3.4.1базиса четырех взаимно ортоюнальных сосrояний двух кубитов,каждый из которых также максима...т:rьно запутан:IФ±)Ав1>/,±)Ав==~(IОО)Ав ± IЩАв),~(IOl)Aв ± llO)Aв).(4.3)Представим, чrо Алиса и Боб играют с Чарли. Чарли готовит одно из этихчетырех сосrояний, кодируя таким образом два бита в сосrоянии двух­кубитовой системы. Один из них нрсдставляет собой бит четности (IФ)или j-ф) ): пара.wсльпы или антипард.IШеJiыfы состояния двух спинов? Дру­гой-бит фазы(-1или- ):какой четности выбрана суперпозmщя двухсостояний? Затем ЧарJIИ посылает кубнт А Алисе, а кубит В Бобу.

Свежие статьи
Популярно сейчас