Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 26

В отсутствии за'I)'Хания переменпая:::с-= е-· iHotaeiHot = aeiwt ОСТЗСТСЯ ПОСТОЯННОЙ. Ilpи НаJШЧИИ За1УХЗНИЯ .iiния.ii(3.159)измеюrется в соответствии с уравнением~ (ii.)а из(3. \59)=~ tr(apr) =trap,(3.\60)мы имеемtrap=1' tr ( a 2 p1 at -~aatap 1 - ~aprata)=Гtr(![al,a]apr)=-~tr(ap,) = -~(ii.)(3.161)1n-e возбужденное coc-roJIHИe oclЩ.!UUiтopa может интерпретиронатъся: как состояние nневзаимодействующих частиц; ero темп затухания равен пГ, nоскольку исчезнуrь nри этомможет любаи из2n частиц (.кванrов).Эта модель распространяет наше обсуJКДенне канала затухания ампmпуды, скорее назатухающий осuИЛJ1ятор, а не на за'l)'Хающий кубнт.3.5.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕИнтегрируя зто уравнение, получим(ii(t)) = e-Гt/ 2 (ii{O)).(3.162)Аналогично, число заполнения осци.imятора n = а t а",.,. а t а затухает со­гласно;ft (п) =~ (ata)= tr(atap1 ) == Гtr (ata2 p1 at- !ataalap1 -~а1ар1 а1а) == Гtra1[a1,a]ap 1 = -Г~ratap 1 = -Г(п),(3.163)что после интегрирования дает{n(t)) = e-r'(n{O)).(3.164)Таким образом, Г представляет собой темп затухания осЦИJUIЯтора. Мы мо­жем интерпретировать и-е возбужденнос состояние осциллятора как со­стояниеnневзаимодействующих часпщ, каждая из которых распадаетсяс отнесенной к единице времени вероялшс1ъю Г; следоватеш~но, уравне­ние(3.164) иесть тот самый экспоненциальный закон, которому удовлетво­ряет численность популяции распадающихся часпщ.Бо.1ее интересно то, что говорит основное уравнение о декогерентиза­ции.

Детали этого анализа будут в домашнем задании. А здесь мы проана­лизируем более простую задачу-осЦИJUIЯтор, испытывающий затуханиефазы.3,5-4.Затухание фазыЧтобы смоделировать затухание фазы гармонического осцидлятора,возьмем другую связь осциллятора с резервуаром:(3.165)Таким образом, существует только один оператор Линдблада, а основноеуравнение в представ.:"Jении взаимодействия имеет вид(3.166)ГЛАВА1363Здесь Г может интерпретироваться как частота (отнесенная к еципице вре­мени всроятносn>), с которой фотоны резервуара рассеиваются осцюшяm­ром, находящимся в первом возбужденном состоянии.

Если чис.tо заполне­ния равно п, ·ro частота рассеяния становится равной п 2 Г. Причина ноявле­пил множителя n 2 состоит в том, чrо все вюrады в амплитуду рассеяния откаждой изnосцилляrорных «частиц» складываются когерентно; амrшитудапропорциопальна п, а частота (темп) - n 2Уравнение 1\JIЯ р 1(3.166)легко решить в базисе чисел 1аnолнсния.Разлагая(3.167)n,m(гдеataln) ~ nln)), запишем OC!IOI!HOe уравнение в ВИJ\ег2-2(n- m) Pnm·(3.168)Ею инте1рирование даст(3.169)Если мы приготовим подобную «кот-состоянию» суперnозинию соб­ствсiшых состояний онсратора чисел занолнения с большой разницей значенийnlcat)топсдиагопа.lыiые~ ~ (10)элементы1ln)),матрицыn»(3170)1,плотностибудутза1)'хатькакехр (- Гn 2 t/2).

Фактически э1u точно такой же тип поведения, что и об­наруженный нами нри апа.rшзе затухания фазы оююru кубита. Темп декоге­рснтизации равен п 2 Г, так как оп равен частоте рассеяния фотонов резер­вуара осцюu1Ятором, возбужденным в сос1uяние\n).Как и ранее, мы ни­дим также, что декогерентизация фазы выбирает предпочтительный ба.1ис.Она возникает в базисе собственных состояний оператора чисе:т заполне­ния, поскольку это именно 10т оператор, который входит в свя.зт~ осциштя­тора с резервуаром Н'.Вернемся к за·1ухюшю амплитуды. Поскольку в нашей моде.1и зюу­хания аМJшитуды в связь осци.пятора с резервуаром Н' входит операторуничтожения а (и сопряженный ему оператор рождения at), то можно прем­по.rюжи1ъ, что декогерентизация возникает в базисе собственных состояний1373.5.

OCHOBHOF. УРАВНЕНИЕопераюра а. Когереитное состояииеla)= e-lu''/2ea•'IO) . е ,al'/2L= ~ln)n(3.171)n~ablпредстакmет собой собственное состояние оператора а, отвечающее соб~ствешюму значению а. Два когерентных состояния с разными собствсшJы~ми значениями а 1 и а 2 не ортоrоиалъны друг другу:l{a 1 1a2 )1''.,.-;a;fe-'"11e 2 Re(aia.,) = ехр( -la 1 -о. 2 1 2 ),сдедовательно, перскрытие очень мало при большой величинеПредставим, что мы приr'О·ювили «кот-состояние))(3.172)la1 -а2 1 2 .(3.173)супернознцию когерентных состояний сla 1 -а2 1»1. Вы накажете (в до­машнем упражнении), что недиагоиальиые элементы матрицы плотности р1а1)'Хают какexp(-~1 la 1 -a21 2 )(при Гl<< 1).(3.174)Таким образом, темп декогерентизацииГd., ~ ~la1- <>2I 2 Гdamp(3.175)оiро,."ен по сравнению с темпом за'I)'Хания.

Такое поведение также легкоинтерпретируется. В когерентном сосюянии ожидаемое значение числа за­полпения равно {alatala) ~- lal 2 Следова:,·слыю, если <> 1, 2 сравнимы номодулю, но имеют существеюю разные фазы (как в суперпозиции волно­вых лакстав с минимальной всонределенностью, центрированных в ТОЧ"Кахf х и -х), темп цскогерентизации имеет порядок темна эмиссии одногофотона. Он очень велик по сравнению с темном диссинации значите.:Iьнойчасти энергии осншыятора.Аналогично можно рассмотреть осцилсJЯтор, связанный с резервуаром,нахо;(ящимся при конечной тсмпера:rуре. Вновь темn декогерситизации бу­;.tет иметь норядок частоты кшучения и;rи поглощения одного фотона, нотеперь она гораздо выше, чем при пулевой темпера1уре.

Поскольку фотон~пыс моды с час1отой, сравнимой с частотой осцил.Jтя1uраw,имеют терми~чески равновесное чис.1о запо;шения(3.176)!38!ЛАВА(при Т ~лемn1 .3hw ), то интенсивность взаимодействия уве;шчивастся множите­Тогда мы имеем(3.177}где хамiШИтуда осцилляuий, а >.т--тепловая длина во;mы ;(е Бройля.Декогерентизация протекает очень быстро.3.6.В чем проблема? (Здесь есть проблема?)Наш обзор оснований квантовой теории почти завершен. По преждечем мы займе?.t:ся своим главным делом, кратко проанализируем состояниезтих оснований. Находится ли квантовая: теория в «хорошей форме» ИJТИв ее корнях имеются фундаментальные пробнемы, до сих пор требующиесвоего решения?Одной такой нотенциально серьезной нроблемой, впервые упомяну­2.1, является пробле.uа ю.wерения. Мы отмечали странный дуаJШЗМ,присущий аксиомам квантовой теории.

Существует два способа измене­той в§ния кванrовоrо состояния: детерминистская уиитариая ,')волюция и веро~ятностное измерение. По почему измерение должно принцнпиа.1ъно от­личаться от любого дpyroru физического нроцссса? Э·rот дуали~lм вселяетв некоторых людей подозрение, что современная формулировка квантовойтеории вес еще не полна.В этой шаве мы многое узнаJIИ об измерениях. В§ 3.1. 1мы обсуди­ли, как унитарная эволюция может привести к появлению корреляций (за­путывания) между системой и <<nеременной-указателем» измерительногопрнбора.

Таким образом, чистое состояние системы может эволюциониро­вать в смешанное (после взятия следа по сосmяниям «указателя))), котороедопускает интерпретацию как апсамбля взаимно ортогональных чистых со­стояний (собственных состояний оператора плотности рассматриваемой си~стемы), каждое из которых возникает с вполне определенной вероятностью.Таким образом, уже в этом простом высказывании .заложены зерна болеешубокого понимания того, как исюпочительпо в рамках унитарной эволю­цнн может возникнуть <<КОJшапс» (редукция) вектора состояния.

С друтоiiстороны, в§ 2.5мы говорили о том, что интерпретация матрицы юотно­стн как ансамбJIЯ неоднозначна. В§ 2.5.5мы особенно ясно видели, Ч1Оес.11и мы снособны измерить «указатеJIЬ)> в любом понра:вивmемся нам ба­зисе, то мы можем приготовить систему в любом из множества «~кзотиче­ских.)> состояний, суперпознций собственных состояний системы р (теоре-3.6. В ЧЕМ ПРОБЛЕМА? (ЗДЕСЬ ЕСТЬ ПРОБЛЕМА?}139ма ЖХЙВ). Следовательно, редукция (разрушающая относитет.ные фазысостояний в суперпозицин) не может быть объяснена одним тот.ко запуты­ванием.В§3.4 и§ 3.5 мы изучали друrой важиый аспект процесса измерения­декогеренmU3ацию.

Главная идея состоит в том, что в случае макроскопи­ческих систем мы не можем надеяться ус.i1едить за всеми микросiQ)nичс~скими степенями свободы. Нам прихQiщтся дово.JIЬстооваться сглажепным(caarse-grained) описанием, получающимся в результате взятия следа помножеству ненабшодаемi.rх перемснных. В случае макроскоnического из­мерительного прибора мы должны взять след по степеням свободы окруже­ния, с которым прибор неизбежно взаимодействует. Тогда мы обнаружим,что прибор искшочитеJIЪно быстро релакснрует в некоторый предпочтн­тельный базис, определяемый прирадой связи прибора с его окружением.Похоже, чrо особенностью гамильтониана Вседенной яв.пяется то, что фун­да.\оiентальные взаимодействия хорошо локализованы в пространстве, сле­довательно, избираемый в процессе декогерентк•ации базис также хорошолокаJШЗован в пространстве.