Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 24

Вместо этого он время от времени (с вероятностью р)«рассеиваеТ>> окружение, толкая его в состояниев состоянии11} Е• если А находитсяIO} А• и- в состояние 12} Е• если А находится в состоянии 11) А'Бо.::rее того, также в от;шчие от деполяризующего канала, этот канал ВЫ.Jl.С­ляет предпочтительиый базис для кубита А; только в базисепроисходит опрокидывание спина кубита А.{IO) А 11},4 }не3.4.ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛА123Пре;1ставление КраусаВычисляя частичный снед по Нв в базисе {!О) в, l1)в, l2)в}, получимоператоры КраусаНетрудио про верить, что Мб+ MJ +М~ = 1.

В этом случае не обязатеш.ноиметь три оператора Крауса; как вы покажете в домашнем упражнении,возможно представление двумя операторами Крауса.Начальная матрица ruютпостн р эоолюционирует к$(р) ~ М 0 рМ 0+ М 1 рМ 1 + М 2 рМ 2=( 1 -р)р+р(РооО)=(О Р11=Роо(1- P)Plo(1- Р)Ро! ) ; (3.127)Р11таким образом, диагональные ЗJtементы р остаютСя неизменными, т01дакак недиагональные-затухают.Предположим, что отнесенная к единице времени вероятность актарассеяния Г такова, что вероятность рассеяния за время ~t гораздо меньшеединицы (р = Г 1\.t1).

Эволюция в течение времени t = nl\.t управ­ляется сунсропсратором $n, так что недиагональные элементы матрицы«плотности подавляются(приtlt110закону (1 - p)n = (1- Гtlt)'i"'--+ехр( -Гt)--+ О). Таким образом, еСJШ мы приготовили !fачальное чистое со­»стояние а!О) + Ьl1), то спустя время tг- 1 оно распадается в некогерент­22ную суперпознпию р' = iai IO)(OI + lbl 11)(11. Декогерентизацня возникаетв выделенном базисе {!О),11)}.Представдеоне сферы БлохаЭту задачу вы исследуете в домашнем упражнении.ИнтерпретацияКанал затухания фазы можно интерпретировать как описывающий тя­же.1ую <<классическую» частицу (например, частицу межзвездной пыли),взаимодействующую с фоновым газом легких частиц (например, с фотона­ми реликтового микроволнового излучения).

Можно представить. что пер­вонача.ш.но нЬLжнка была приготов:~ена в суперпозиции собственных со-ГЛАВА 3124стояний оператора координаты !Ф) = -1-(!х)V2+ 1- х))(или в более общейсуrrерпознции слабо перекрывающихся, прострюtственно-лока.:шзоваmtыхво:пювых пакетов ). Можно коптролировап~ попедение час1ички пы.rrи, нобезнадежно пытаться следить за квантовым состоянием всех фотонов, рас­сеиваемых :этой частицей; для наших целей ее квантовое состояние опи­сывается матрицей rшотности р, полученной восле вычисления с:1сда пофотонным степеняУ свободы.Наш аншшз канала затухания фазы показывает, что если фотоны рас­сеиваются частицей с частотой Г, то недишuнальные элементы матрицытшотности р затухают как е-хр( -Гt) и становятся полностью пренебрежи­мыми приt>>Г 1 . Начиная с этго момента, когерентная сунсрпозициясобственных состояний оператора наложения полностью разрушена-нетникакой возможноl"ТИ восстановить волновые пакеты и заставить их интер­ферирuвать.

(EcJJи мы пытаемся получить с помощью частиц пы.rти картипуинтерференции на двух щелях, то мы не увидим ее, сс:ти пьшинкам необ­ходимо времяt>> г-1, чтобы пройти путь от ис·rочника до экрана.)Частицы пыли тяжелы. Вследствие бо.1ьпrой инерции, их состояниеднижения мало подвержено влиянию со стороны рассеиваемых фотонов.Таки:м образом, имеется два нессизмеримых временных масштаба, име­ющих отношение к динамикс частиц пьти.

С одной стороны, эrо времязатухапия, то есть время, за которое значительная часть имnульса частицпередается фотонам: это большое время, если частиr1ы достаточно IЯже­лы. С другой стороны, существует временной масштаб декоrерентизации.В этой :моде~'Ш он имеет порядокr- 1 -времени, н течение которотu на ча­стице пы.1и ttроисходит рассеяние одного фотона и которое 10ра:що корочеиремениого масштаба затухания. В макроскопическом объекте декогерен­тизация протекает быстро.Как мы уже отмечали, канал затухания фазы ньщеJrяет предночтите:rь­ный базис для декогерентизации.

в нашей «интернрстаrщю> мы предпо­ложили, что им является базис собственных состояний оператора положе­ния. С физической точки зрения декогерентизация выТJ,е.-;тяет пространствен­по докализаванные состояния частиц пы .tи, поскольку их юашюдействиес фотонами лок3..1шзо.вано в пространстве. Частицы, находящися в различи­мых пространствеиных положениях, стремятся рассеивать фотоны но вза­имно ортогонаш~ные состояния.Даже если <(Частицы» раз;tелены настолько ма.;ю, что они не разреша­ются рассеиваемыми фотонами, процесс JIСкогерентизации все еще работа­ет подобным образом.

Возможно, фотоны, рассеянные частицами, нахотr:я­щтшся в точках+х и -х, не являются взаимно ортогональными, а вместо!253.4. ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛАэтого имеют невулевое перекрытиеЕ«).(3.128)Тем не менее канал 3а:Iухання фазы описывает тrу ситуацию, но теперьс р. замененным на ::р (е спи р -по-прежнему вероятность акта рассеяния).Таким образом, темп декогерентизации становится равным Г dec =c:I'scat•где гscat- частота рассеяния (см. домашнее задание).Интуитивное понимап~е, и.знлекаемос .из :пой простой модели, примс­нимо к огромному множеству физических сюуаций. Расnад ктерентвойсунерпозиции макроскопически раз;шчимых состояний «тяже~Jых» объек­тов происхолит гораздо быстрее их затухания.

Пространствеиная .:юкали­зацня взаимо;~ействия системы с ее окружением делает предпочтительнымдля дскогерентизации «локальный» базис. По-видимому, но;~обные прин-цины можно при!~-1енить к декоrерентизации «Состояния кота>> ~ ( ldead) +-t- laliYe) ),поскольку состояния {<мертвый» и «живой» можно различитьJюкальными испытания.\1и.3.4.3.Канал 'Jатухания амплитудыКанал штухания CLШUlttmyды представляет собой схематическую "\Ш­де;!Ь распада возбу-жденного состояния (двухуровневого) атома вследствиеспонтанного из;Jучения фотона. Регистрируя излучаемый фотон ({<наб~tюдаяза окружениеМ>>), мы можем выпюнить ПОЗМ, которая дает информациюо начальном состоянии атома.Унитарное предсrавлеuпеОбозначим как IO) А основное состояние атома, а интересующее насвозбужденное состояние - 11) А.

Роль «окружению> 11I'J)acт злсктромагнит­нос поле, начальным состоянием котороrо нрсдполагается основноеIO) Е·G'уществует вероятность р того, что некоторое время спус'IЯ возбужденноесостояние распадается в основноеIO) А• что сопровождается из.оучениемфотона и, следовате~ьно, перехо,,ом окружения из сосrояния IO) Е («нетфошною>) в состояние ll) Е (<<один фатою>).

Эта звш1юция описываетсяунитарным преобразованием, действующим на атом и окружение какIO),,IO)E~ IO)лiO)E,IJ)AIO)в _, ll=PII)лiO)E + vl/'iiO)лll>в(3.129)ГЛАИА 3126(Естественно, сели начальным состоянием атома является основное, а окру­жение находится при нулевой темнераtуре, то никакие переходы не проис­ходят).Операторы КраусаВычисляя частичный след по окружению в базисе {!О) Е, ll)в}, най­дем операторы Краусам,=( ооJP)о.(3.130)Нетрудно проверить, что1 (10М 0t М 0 +М 1 М 1 =о!~р) -+ (оо) =1.о Р(3.131)Оператор М 1 индуцирует <<квантовый скачою> - распад состояния 11) Ав \0) А• а М 0 описывает эволюцию состояния в отсутствии скачков. Матри­ца Il..iiOTHUCти изменяется как(3.132)Если мы применим кана.1nраз подряд, то матричный злемент р 11 умень­mнтся согласно(3.133)Следовательно, если вероятность переход.а в течение времени дt рав­на Г д.t, то верояпюсть того, что возбужденн:ое состояние прожинет в тече­ние :времениtравна (1- Гдt)tfдt---+ e-rt, ожидаемый экспоненциальныйзакон затухания.Приt ___,оо вероятность заl)'Хания стремится к единице, следователь-но:$(р) =(РооЬР11 ~)(3.134)3.4.

ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛА127Атом IJсегда сва.'JИRается. в свое основное состояние. Этот nример показы­вает, что иногда ока.%rвается возможным, что супероператор преобразуетначальное смешанное состояние, например:о )(3.135)Р11:в чистое конечное состоян?е.КонтролL окруженияВ случае расnада возбужденнш'О атомного состояния, сuпровождающе­Iося излучением фотона, полезно следИть за состоянием окружения с по­мощью детектора фо1онов. И3:мерение окружения готовит чистое состояниеа-п:Jма и, в сущности, предотвращаает процесс декоrерснтизации.Возвращаясь к унитарному пренставле1шю капала заtухания амплиту­ды, мы видим, что когерентная суперпозиция основного и возбужденногоатомных состояний эвшiюiщонирует как(а/0) А +Ь/1) в) /0) Е--> ( а/0) А +bv'J=P/1) в) /0) 1,+Ьур/О) л/1) Е- (3.1 36)Реt·истрируя фотон и, следовательно, проецируя окружение на состоя­ние/1) Е•мы готовим атомное состояние/0) А_Фактически мы приготовилисостояние, относите.1ьно которого нам точно извесmо, что оно было по­рождеrю начальным возбужденным атомным состоянием/1) А•-основноесосrояние не распа.r~ается.С другой стороны, если мы не зарегистрировали фотон, а наш детекторобладает идеа.ньной чувствитеньноС1ъю~ то мы спроецировали окружениена состояниеIO) Ь'и, следовательно~ приrотовшш атомное состояниеа/О) л+ bj]-=p/l)в.(3.137)Ввиду неудачи в регистрации фотона становится бодее вероятным, чrо на­чальным атомным состоя:нием бьшо основное!Как уже отмсqалось, унитарное преобразонание, которое зануrывает Ас Е вслед за ортогона:1ьным измерением Е, может быть онистю как ПОЗМв А Rслн/'1') Аизменяется как(3.138)ГЛАВА 3128то ортогональное mмерсние в Е, которое проецирует на базис {ll')в}, длякаждого резрьтата1'реа;:нвует ПОЗМ сProb(~t) = tr (F рРл),F" = м;,м,,.(3 139)В случае кана.оа затухания амшитуды находим:1() )Fo ~ ( О 1- р ,(3.140)гз:еF 0 определяет вероятность успешного детекгирования фотона, а F 1 дополнительную к ней вероятность того, что фотон не заре1·истрирован.Если мы ожи;щем в течение времениt>> 1·-1,так чm р стремитсяк сJщнице, наша ПОЗМ приближается к ортогошuн,ному измерению, из­мерению начюыюго атомного состояния н базисе {I0).4 .Il)л}.

1-!еобычнойчертой этого измерения яв.'IЯстся то, что мы можем проецировать па со­стояниеIO) л,не регистрируя фотон. Это пример того, чю Дикке называл«измерением без .юаимодействия»-наблюдая omo'mcmвue из.менения в со­стоянии окружения, мы де~Jаем вывод, каким ,'-lОлжно бьLJО быть атомноесостояние. Термин «измерение без в1анмодействия» яв.нястся обт.супотре­бительпым, хотя он в некоюрой степени вводит в заб.1ужденис; очевидно,что есШI бы t'а\iильтониап Вселепной пе включа...1 свя.зь атома с э.::tектромаг­нитным нопем, то измерение бЫ;"JО бы невозможно.3.5,Основное уравнение3.5.1,Маркоиекая >волюцияФорманизм супероператоров предоставляет общее описание JВОiiЮцииматрицы п:ютности, в том числе эвоJпоции чистш-о сос·rояния в смешанное(декогереJrГНзация).