Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 23
Описание файла
PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 23 страницы из PDF
опсраторнычи су)I1Ш:чи) { v/i-~IФP) А 13 } и { yl~, i' . J л н}. /L:ш каждого анса\1б:1я н Н _,_11_1 .-;.'Не существует соотвс 1ствуюrцсс <щч:нщею-rе»:L,,~!Ф).rнl'~р)с,(3.106){ln)r·} и {li.i'0 )c-} · щш ра·шых ортанормированных набора и1 Не·Tcope).ia )КХЙВ уп~ерж:-щет, что эти два «очищения» свя·шны меж;~у собойl.ll';н:~йстнуюшим в Не_., унитарным 1Iреобра-юi~Ш!ИС\f 1:-~н ,~-, п~..Сlс.-юнатс;JьНО,L,, \'/([~~IФJL/"~L/--1.,(1.AFu~-~ io:p/c·,;ч;:-11>,,) АнU1 ",[!3")с.(3.107)1173.4. ТРИ КВ.'\НТОRЫХ КАНАЛАЗ.;tect, нторос раRснслю ~tы шпучи.::ш, ~~а.'v!.стив что ортонормированные ба·шсы {lй 1 ,)с} и {I.Зu)c} свя3аны ~tе:жду собой унитарным преобразованием,а проИ'ЗВеJ,ение преобразованнй, в свою очередь, унитарно.
Мы приходимк выводу, чrо2::: уГrJ,;IФ")лпU"аV]J;Jr,,)A~-(3.108)"1(Г.JС [} _щ.- унитарное ПрсО6рЮОR3НИС), ОТК)"1lД C.iiC11yeт, ЧТОN(l.=Lмj..tu~нJ·(3.109)"За\-tсчанис. Поскольку :мы уже установи:ш, что можем перейти отпредстав.1ения операторной сум\tЫ для $А к унитарному представлению,МЫ Н3НI.IИ, ЧТО JII060Й «разу:\ШЬIЙ)) ЗаКОН ЭВОJIЮЦИИ Оператора IUOTIIOCTИв 'Н А !>южет быть реализован унитарным преобразованиемU А R, действуюн~нм в 'НА.
·2 'li 8 как1>11 ).1 '·"IО)в ~L,,l;:)_.2i!<)в.(3.110)Является .·1и :нот рсзу.н.. тат JJсожи.~аппы\1'? :Воз:можно, да . .\1ы можем ингеrнlретиронать сунсронсратор как описьтающий эволюцию системы (А),взаиио.Jействующей с окруженис!l-1 (Н). Н обще~ случае состояния систе"ы :шпутапы с се О!ЧJужение'.!. По в(3.110)предпюагается, что начальное состояние не занутано. Нес\1отр.н на то что реальная система всегдасиюана 3апутынапием с ее окружение~, при описании эво.1юции ее матрицы плотности бе3 нотери общности м:ожJJо представлять, что в момент.когда мы начинаем ее наб.iiЮ.Jать.
предварительное запутынанис отсутствует!Замечание. Представ1'ение операторпой сум"'ы даст очень мобныйспособ выражения .1юб<н·о шюш1е по.1ожительного $. Но по:южите.Jъный$1tc допускает такого nредставления, если не является впо.""Iне ноложитсJiьным.
Наско.1ько мне известно,не сунtествует удобного, сопоставимогос nредста&Jением Крауса, способа выразить наиболее общий положительный$.3.4.Три квантовых каналаЛучше всего по:шако"Wиться с нопятие~ су1rеронсратора, изучив неско.:Iькопримеров._\1н рассмотримтрипримера(все они интересныи по-118ГЛАВАлезны)супсронераторов для одного3кубита.Изуваженияк традитщонной терминологии (классической) теории связи я буду ссьl!Ш'IЪСя наэти суnероnераторы как на квачтовые каналы.
Мы можем представлятъ,что$ описывает судьбу кваитовой информации, которая с пекоторой потерей точности воспроизведенияпосы.пастся от передатчика кприеминку. Или, если угодно, можно считать (в духе предыдущсrо обсужТJ:ения), что передача идет во времени, а не в пространстве, то есть$описывает эволюцию квантовой системы, взаимодействующей с ее окружением.3.4.1.Деполяризующий каналДеполяризующий канал представляет собой модель декогерснтизациикубита, имеющую особенно тонкие свойства симметрии.
Мы можем описать его, говоря что с вероятностыо1-р кубнт остается псноврежденным, тогда :как с вероятностью р возникает ошибка. Она может быть любой из трех типов. nричем все три типа ошибок равновероятны. Если{10}, 11}} - ортонормированный базис кубита, их можно описать следующим образом:1.Ошибка инвертирования бита2. Ошибка обращения фазы= (IO} __,1!} __,10} __, IO}IJ} __, -11}или IФ)__,изiФ}. из ~~ ~1)IO) __, +ill}3. Обе ошибки ll) __, -iiO) или1'11') __,и 2 11/!), и 2 =(о -i )i0.При появлении ошибки IФ} превращается в ансамбль трех равновероятных состояний: и,I,Р}, и 2 11/J) и изl~;}.Унитарное представлениеДсполяризующий кавал может быть представлен унитарным онератором, действуюпщм в НА® Н в, где размерность прое1ранства Н в равначетырем.
(Я обозначаю здесь это пространство 1{.1:-'• чтобы подтолкнуть вас3.4. ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛА\19к мысли о вспомогательной системе как окружении.) Унитарный опера·тор U АЕ действует какп4Е: I·Ф)л 12 IО)в--> Jl=PI.Ь)л 0IО)в1+Л[иll"&)л011)в+и,IФ)л®l2)в lизi"&)А®IЗ)в](Поскольку(3.111)U AR сохраняет внутреннее произведение, он имеет унитарное0 7-lв.) Окружение эволюционирурасширение на все просчэанство 7-lлет к одному из четырех взаимно ортогональных состояний, «хранящих за·пись» о том, что nроизоnшо; если бы мы могли измерить окружение в ба·зисс{11") "' !"= О, 1, 2, 3}, мы узнали бы, какого сорта ошибка возник;Iа(тоrда мы бьши бы в состоянии вмешаться и устранить ошибку).Представление КраусаЧтобы получить представление канала в виде операторной суммы, вы~числим частичный след по окружению в базисе {11") в}- Тогда(3.112)Г!(СИспользуя и? = 1, можно непосредственно проверить условие нормировки:LM~M~= [(1-р)+З·~] 1=1.(3,114)1'Произвольпая начальная матрица плотности кубита р А преобразуется как(3,115)где мы суммируем по четырем (в принциве разшiчимым) путям, по которым могло бы эволюционировать окружение.Представление соответственного состоянияКанал можно также охарактеризовать, описывая как в нем преобразустся максимально запутанное состояние двух кубитов,ec.lli Iсанал действуетГЛАВА 3120только на нервый кубит.
Существует четыре взаимно ортогональных максимально запутанных состояния, которые можно записать в вщ~е1IФ+)Ав- ~(IОО)Ав-1IФ J.1в ~-lll)Aв),v'2)2(100)ARI11)Ав),(3.116)IФt)Ав ~ ~(IOl)Aв+llO)Aн),lо/-)мз ~ ~(IО1)лв-llO)AR)-Если начальным сос'lояние яв.lЯется IФ-) АВ• то, когда деполяризующий кана.тт действует на первый кубит, запутанное состояние эволюционирует какIФ+)Ав Ав(Ф'I __, (1- р)lф+)Ав лв(<?+l++t(lv,+)AвAlJN+I+IФ-)лnAв(Ф-IiiФ-).,n.ш(Ф 1)- (3.117)В ~<наихудшем>) квантовом канаJiе р =3/4,в этом случае начальноезапутанное состояние эволюцишmрует вIФ')Ан Ан(Ф+I--> i(IФ+)An лв(<?тl + IФ-)Ав лв(Ф+IФ 1 )лн лв(Ф+I IIФ-)лв лв(Ф-1)=1+ii,RОно становится полностыо случайной матрицей плотности R 'Н .4.(3.
11~):8::Jt я.Тогда, применяя метод соответственншu состояния, можно увидеть, чточистое состояние11")IY') Аодного кубита А эво,1юционирует какА А (1"1 В ( \?' 12 ( ~ 1 ЛВ) 1\'')В = ~ 1 А;--->(3.119)оно становится случайной матрицей в '}-{А' нсзависимо от значения начального состояния lcp) л- Как если бы канал выбросил начальное состояниеи замешш его совершенно случайны!У! мусором,3.4.ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛА121Альтернативным пре)l.ставлением эво,;тю1щи максимально запутанногосостояния яв,;тяетсяТаким образом~ вместо тою, чтобы JПВОритъ о трех типах равновероятныхошибок, поя:мяющихся с вероятностыо р каж.11ая, мы могли бы говорить,ч1о с вероятностыо 4р/3 во.зникаст ошибка, но . пюстью «рандомизирующаю> СОС'lОЯНИе (МЫ МОжем так ГОВОрИТЬ ПО крайней мере ПрИ р":; 3/4).Наличие двух естсетвенных способов онределения «вероятности ошибки»н эrом канале иногда может приводить к путанице и недоразумениям.Полезной мерой того, насколько хорошо канал сохраняет исходнуюквантовую информацию, является так называемая «точность воснроизвсдения ЗШJутанности»Jt'e_.Она кшшчественно определяет~ насколько конечнаяматрица плотности ((бли:ша>> к исходному максимально запутанному состоянию IФ+}:(3.121)Д1я деполяризующего кана.Jа :-.tы имеем РеинтерпретироватьFe__:__ ] -р И; с.1едовательно,можемкак ljероятtюсть отсутствия оmибки.Представлеоне сферы БJioxaТакже поучитс;Jыю рассмотреть, как деполяризующий кана.1 действует на сфере Б.10ха.
Произвольпая матрица IL1отности одного кубнта можетбытr. записана в ви11.е(3.122)1;;~е Р«спиновая поляризация» кубита. Повернем оси таким образом,= Рзе 3 , ар ::__ 21 ( 1 + Р3 и 3 ). Тогда, IЮСкольку о- 3 и 3 и 3 = о- 3 ,U 10" 3 U 1 =- -ст 3 :-:- и 2 ст 3 и 2 , H3Йi\tM, ЧТО-чтобы Р4а•(3.123)ИСIИ р;-- (] -4pj3)P3 .
С учетом СИММе1рИИ OTHOCИTCJILHO ПОВОроТОJJчrо независимо от ориентации Рр', = (ВИДНО,44 ) Р.1- ЗР(3.124)122!'ЛАВА 3Следовательно, под действием деполяри~lУющего канала происходит однородное сжатие сферы Блоха; спиновая поляризаuия уменьшается на множитель(1 -4р/3) (вот почему мы называем этот канал деполяризующим).Этот результат следовало ожидать в связи со едеданным ранее заКJJюченисмо том, что с пероятиостью 4р/3 в канапе происходит подпая <<рандомизация» снина.Обратимость?Почему мы rоворим, что супероператор необратим? Очевидно, мыможем обратить однородное сжатие сферы однородным же ра_1дуванием.По беда в том, что раздувание сферы Б;юха не положительно и потому неявляется супероператором.
Раздувание иреобразует Р длины IPI ,;; 1 в вектор дднны IFI ?- 1, иреобразуя таким образом оператор плотности в онсраrор с отрицательным собственным значением. Декогерентизация можетсжать шар, но нет физического нроцесса, способного снова надуть его! Супероператор, бегущий назад во времени, не является супсропсратором.3.4.2.Капал затухания фазыНашим следующим примерам является канал затухапия фазы.
Эютслучай интересен с практической точки зрения, поскольку представ.iJЯСТ голую, свободную от несущественных математических дета...-тей, карикаrурудекогерентизации в реальной физической сmуации.Унитарное представлениеУнитарным предстаRлевием канада являетсяIO}AIO)в-+ .J1=PIO}лiO}в+ v'PIO)лii}E,ll}лiO}в-+ .J1=PIJ}лiO}в + v'Pil)AI2}в·(3.125)В этом случае, в оТШIЧие от деполяризующего ка:на.:ш, кубит А не совершает никаких переходов.