Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 23

PDF-файл Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 23, который располагается в категории "книги и методические указания" в предмете "квантовые вычисления" изседьмого семестра. Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 23 - СтудИзба 2019-09-18 СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 23 страницы из PDF

опсраторнычи су)I1Ш:чи) { v/i-~IФP) А 13 } и { yl~, i' . J л н}. /L:ш каж­дого анса\1б:1я н Н _,_11_1 .-;.'Не существует соотвс 1ствуюrцсс <щч:нщею-rе»:L,,~!Ф).rнl'~р)с,(3.106){ln)r·} и {li.i'0 )c-} · щш ра·шых ортанормированных набора и1 Не·Tcope).ia )КХЙВ уп~ерж:-щет, что эти два «очищения» свя·шны меж;~у собойl.ll';н:~йстнуюшим в Не_., унитарным 1Iреобра-юi~Ш!ИС\f 1:-~н ,~-, п~..Сlс.-юнатс;Jь­НО,L,, \'/([~~IФJL/"~L/--1.,(1.AFu~-~ io:p/c·,;ч;:-11>,,) АнU1 ",[!3")с.(3.107)1173.4. ТРИ КВ.'\НТОRЫХ КАНАЛАЗ.;tect, нторос раRснслю ~tы шпучи.::ш, ~~а.'v!.стив что ортонормированные ба­·шсы {lй 1 ,)с} и {I.Зu)c} свя3аны ~tе:жду собой унитарным преобразованием,а проИ'ЗВеJ,ение преобразованнй, в свою очередь, унитарно.

Мы приходимк выводу, чrо2::: уГrJ,;IФ")лпU"аV]J;Jr,,)A~-(3.108)"1(Г.JС [} _щ.- унитарное ПрсО6рЮОR3НИС), ОТК)"1lД C.iiC11yeт, ЧТОN(l.=Lмj..tu~нJ·(3.109)"За\-tсчанис. Поскольку :мы уже установи:ш, что можем перейти отпредстав.1ения операторной сум\tЫ для $А к унитарному представлению,МЫ Н3НI.IИ, ЧТО JII060Й «разу:\ШЬIЙ)) ЗаКОН ЭВОJIЮЦИИ Оператора IUOTIIOCTИв 'Н А !>южет быть реализован унитарным преобразованиемU А R, действу­юн~нм в 'НА.

·2 'li 8 как1>11 ).1 '·"IО)в ~L,,l;:)_.2i!<)в.(3.110)Является .·1и :нот рсзу.н.. тат JJсожи.~аппы\1'? :Воз:можно, да . .\1ы можем ин­геrнlретиронать сунсронсратор как описьтающий эволюцию системы (А),взаиио.Jействующей с окруженис!l-1 (Н). Н обще~ случае состояния систе­"ы :шпутапы с се О!ЧJужение'.!. По в(3.110)предпюагается, что началь­ное состояние не занутано. Нес\1отр.н на то что реальная система всегдасиюана 3апутынапием с ее окружение~, при описании эво.1юции ее матри­цы плотности бе3 нотери общности м:ожJJо представлять, что в момент.когда мы начинаем ее наб.iiЮ.Jать.

предварительное запутынанис отсут­ствует!Замечание. Представ1'ение операторпой сум"'ы даст очень мобныйспособ выражения .1юб<н·о шюш1е по.1ожительного $. Но по:южите.Jъный$1tc допускает такого nредставления, если не является впо.""Iне ноложитсJiь­ным.

Наско.1ько мне известно,не сунtествует удобного, сопоставимогос nредста&Jением Крауса, способа выразить наиболее общий положитель­ный$.3.4.Три квантовых каналаЛучше всего по:шако"Wиться с нопятие~ су1rеронсратора, изучив неско.:Iь­копримеров._\1н рассмотримтрипримера(все они интересныи по-118ГЛАВАлезны)супсронераторов для одного3кубита.Изуваженияк традитщ­онной терминологии (классической) теории связи я буду ссьl!Ш'IЪСя наэти суnероnераторы как на квачтовые каналы.

Мы можем представлятъ,что$ описывает судьбу кваитовой информации, которая с пекоторой по­терей точности воспроизведенияпосы.пастся от передатчика кприем­инку. Или, если угодно, можно считать (в духе предыдущсrо обсужТJ:е­ния), что передача идет во времени, а не в пространстве, то есть$описывает эволюцию квантовой системы, взаимодействующей с ее окру­жением.3.4.1.Деполяризующий каналДеполяризующий канал представляет собой модель декогерснтизациикубита, имеющую особенно тонкие свойства симметрии.

Мы можем опи­сать его, говоря что с вероятностыо1-р кубнт остается псноврежден­ным, тогда :как с вероятностью р возникает ошибка. Она может быть лю­бой из трех типов. nричем все три типа ошибок равновероятны. Если{10}, 11}} - ортонормированный базис кубита, их можно описать следу­ющим образом:1.Ошибка инвертирования бита2. Ошибка обращения фазы= (IO} __,1!} __,10} __, IO}IJ} __, -11}или IФ)__,изiФ}. из ~~ ~1)IO) __, +ill}3. Обе ошибки ll) __, -iiO) или1'11') __,и 2 11/!), и 2 =(о -i )i0.При появлении ошибки IФ} превращается в ансамбль трех равноверо­ятных состояний: и,I,Р}, и 2 11/J) и изl~;}.Унитарное представлениеДсполяризующий кавал может быть представлен унитарным онерато­ром, действуюпщм в НА® Н в, где размерность прое1ранства Н в равначетырем.

(Я обозначаю здесь это пространство 1{.1:-'• чтобы подтолкнуть вас3.4. ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛА\19к мысли о вспомогательной системе как окружении.) Унитарный опера·тор U АЕ действует какп4Е: I·Ф)л 12 IО)в--> Jl=PI.Ь)л 0IО)в1+Л[иll"&)л011)в+и,IФ)л®l2)в lизi"&)А®IЗ)в](Поскольку(3.111)U AR сохраняет внутреннее произведение, он имеет унитарное0 7-lв.) Окружение эволюциониру­расширение на все просчэанство 7-lлет к одному из четырех взаимно ортогональных состояний, «хранящих за·пись» о том, что nроизоnшо; если бы мы могли измерить окружение в ба·зисс{11") "' !"= О, 1, 2, 3}, мы узнали бы, какого сорта ошибка возник;Iа(тоrда мы бьши бы в состоянии вмешаться и устранить ошибку).Представление КраусаЧтобы получить представление канала в виде операторной суммы, вы~числим частичный след по окружению в базисе {11") в}- Тогда(3.112)Г!(СИспользуя и? = 1, можно непосредственно проверить условие нормиров­ки:LM~M~= [(1-р)+З·~] 1=1.(3,114)1'Произвольпая начальная матрица плотности кубита р А преобразуется как(3,115)где мы суммируем по четырем (в принциве разшiчимым) путям, по кото­рым могло бы эволюционировать окружение.Представление соответственного состоянияКанал можно также охарактеризовать, описывая как в нем преобразу­стся максимально запутанное состояние двух кубитов,ec.lli Iсанал действуетГЛАВА 3120только на нервый кубит.

Существует четыре взаимно ортогональных мак­симально запутанных состояния, которые можно записать в вщ~е1IФ+)Ав- ~(IОО)Ав-1IФ J.1в ~-lll)Aв),v'2)2(100)ARI11)Ав),(3.116)IФt)Ав ~ ~(IOl)Aв+llO)Aн),lо/-)мз ~ ~(IО1)лв-llO)AR)-Если начальным сос'lояние яв.lЯется IФ-) АВ• то, когда деполяризующий ка­на.тт действует на первый кубит, запутанное состояние эволюционирует какIФ+)Ав Ав(Ф'I __, (1- р)lф+)Ав лв(<?+l++t(lv,+)AвAlJN+I+IФ-)лnAв(Ф-IiiФ-).,n.ш(Ф 1)- (3.117)В ~<наихудшем>) квантовом канаJiе р =3/4,в этом случае начальноезапутанное состояние эволюцишmрует вIФ')Ан Ан(Ф+I--> i(IФ+)An лв(<?тl + IФ-)Ав лв(Ф+IФ 1 )лн лв(Ф+I IIФ-)лв лв(Ф-1)=1+ii,RОно становится полностыо случайной матрицей плотности R 'Н .4.(3.

11~):8::Jt я.Тогда, применяя метод соответственншu состояния, можно увидеть, чточистое состояние11")IY') Аодного кубита А эво,1юционирует какА А (1"1 В ( \?' 12 ( ~ 1 ЛВ) 1\'')В = ~ 1 А;--->(3.119)оно становится случайной матрицей в '}-{А' нсзависимо от значения началь­ного состояния lcp) л- Как если бы канал выбросил начальное состояниеи замешш его совершенно случайны!У! мусором,3.4.ТРИ КВАНТОВЫХ КАНАЛА121Альтернативным пре)l.ставлением эво,;тю1щи максимально запутанногосостояния яв,;тяетсяТаким образом~ вместо тою, чтобы JПВОритъ о трех типах равновероятныхошибок, поя:мяющихся с вероятностыо р каж.11ая, мы могли бы говорить,ч1о с вероятностыо 4р/3 во.зникаст ошибка, но . пюстью «рандомизирую­щаю> СОС'lОЯНИе (МЫ МОжем так ГОВОрИТЬ ПО крайней мере ПрИ р":; 3/4).Наличие двух естсетвенных способов онределения «вероятности ошибки»н эrом канале иногда может приводить к путанице и недоразумениям.Полезной мерой того, насколько хорошо канал сохраняет исходнуюквантовую информацию, является так называемая «точность воснроизвсде­ния ЗШJутанности»Jt'e_.Она кшшчественно определяет~ насколько конечнаяматрица плотности ((бли:ша>> к исходному максимально запутанному состо­янию IФ+}:(3.121)Д1я деполяризующего кана.Jа :-.tы имеем РеинтерпретироватьFe__:__ ] -р И; с.1едовательно,можемкак ljероятtюсть отсутствия оmибки.Представлеоне сферы БJioxaТакже поучитс;Jыю рассмотреть, как деполяризующий кана.1 действу­ет на сфере Б.10ха.

Произвольпая матрица IL1отности одного кубнта можетбытr. записана в ви11.е(3.122)1;;~е Р«спиновая поляризация» кубита. Повернем оси таким образом,= Рзе 3 , ар ::__ 21 ( 1 + Р3 и 3 ). Тогда, IЮСкольку о- 3 и 3 и 3 = о- 3 ,U 10" 3 U 1 =- -ст 3 :-:- и 2 ст 3 и 2 , H3Йi\tM, ЧТО-чтобы Р4а•(3.123)ИСIИ р;-- (] -4pj3)P3 .

С учетом СИММе1рИИ OTHOCИTCJILHO ПОВОроТОJJчrо независимо от ориентации Рр', = (ВИДНО,44 ) Р.1- ЗР(3.124)122!'ЛАВА 3Следовательно, под действием деполяри~lУющего канала происходит одно­родное сжатие сферы Блоха; спиновая поляризаuия уменьшается на мно­житель(1 -4р/3) (вот почему мы называем этот канал деполяризующим).Этот результат следовало ожидать в связи со едеданным ранее заКJJюченисмо том, что с пероятиостью 4р/3 в канапе происходит подпая <<рандомиза­ция» снина.Обратимость?Почему мы rоворим, что супероператор необратим? Очевидно, мыможем обратить однородное сжатие сферы однородным же ра_1дуванием.По беда в том, что раздувание сферы Б;юха не положительно и потому неявляется супероператором.

Раздувание иреобразует Р длины IPI ,;; 1 в век­тор дднны IFI ?- 1, иреобразуя таким образом оператор плотности в онс­раrор с отрицательным собственным значением. Декогерентизация можетсжать шар, но нет физического нроцесса, способного снова надуть его! Су­пероператор, бегущий назад во времени, не является супсропсратором.3.4.2.Капал затухания фазыНашим следующим примерам является канал затухапия фазы.

Эютслучай интересен с практической точки зрения, поскольку представ.iJЯСТ го­лую, свободную от несущественных математических дета...-тей, карикаrурудекогерентизации в реальной физической сmуации.Унитарное представлениеУнитарным предстаRлевием канада являетсяIO}AIO)в-+ .J1=PIO}лiO}в+ v'PIO)лii}E,ll}лiO}в-+ .J1=PIJ}лiO}в + v'Pil)AI2}в·(3.125)В этом случае, в оТШIЧие от деполяризующего ка:на.:ш, кубит А не соверша­ет никаких переходов.

Свежие статьи
Популярно сейчас