Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 22

Но является .JDf Т вполне nоложительным (положителен лилюбой оператор Т А 01 в)? Выберемdim 1i А=dim 1i в = Nи рассмотриммаксимально запутаннос состояние\Ф) АВN=)л,~ \i) А 0\i'} В>(380)где {\i) А} и {\i') в} ·- оtrГонормироваиные базисы в 'НА и 'Н в соответствен­но. ТогдаТА 01в: р\Ф}Ав Ав(ФI=~ L.(li)AA vl) 0 (li')в в(j'l) ~i,j-->р' = ~L (IЛAA(il) ® (\i')в вv'\).(3.81)i,jМы видим, что операторNN р'действует какр' ( ~ a,\i)A) 0 ( УЬ,\j')в )--"(~ а;\i')в )®(У o;ij)A). (3.Щили(3.83)Следовательно, N р' · оператор перестапоnки (квадрат которого являет­ся тождественным оператором).

Собетnснными состояниями N р' являютсяси..мметричные относительно А ~ В состояния. которым отвечает соб­ственное значение+ 1, и антисим.метричные состояния, которым отвечаетсобственное значение -1. Поскольку р' имеет отрицательные собственные:шачения, он не является положительным и (поскольку р несомненно поло­жителен), следовательно, Т Аобразом, Т А -0 1вне сохраняет положительность. Такимnоложительный оператор, но он не является вполне поло­жительным.3.2.4.ПОЗМ JСак супероператорУнитарное нрсобразованис, запутывающее А с В, после ортогональ­ного измерения В может быть описаво как ПОЗМ в А. Фактически по­ложительные операторы, включая ПОЗМ, можно посчюит•, из операторовКрауса. Еслиj<p) Азволюционирует какi'Р)лiО)я--> l:M,.I'P)лll')в,"(3.84)ГЛАВА З112тогда измерение вR,проецирующее на базис{11-') в},с вероятностьюProb(!-') = А (<р1М1Мм 1'1') Адает результат1-'·(3.85)Выражая р А как ансамбJiь чистых состояний, мы находимвероятностJ,tг (F ~РА),F ~ = М1М~результата J..t; очевидно, что F J-1.

nоложителен, а равенстноProb(!-')=L: F J-1.(3.86)1 еле­~,rtyeт из нормировки операторов Крауса. Следовательно, это дейспштельнореализация ПОЭМ.В частности, ПОЗМ, модифицирующая матрицу плотности сог.'тасно(3.87)является частным случаем супероператора. Так как каждыйVF: эрмитов,требование(3.88)"в точности совпадает с условием нормировки опср;rrорной суммы. Следо-вательно, ПОЭМ имеет «унитарное предстаюение»; существует унитарныйоператорU АВ•действующий как(3.89)где I~.P) А -чистое состояние п А.

Очевидно, что, выполняя ортогона.1IЬНоеизмерение в системе В, проецирующее на базис{ll'l R }, мы можем реали­зовать IЮЭМ, которая готовит состояниеР'л-VF:PAVF:tr(3.90)(F".РА)с вероятностьюProb(l') ~ tr (F ".РА)·(3.91):)та реализация ПОЭМ, возможно, не самая эффективная (мы требуем, что­бы гильбертово пространство Н АПОЗМ имеетn0Н в имело размерностьN · n,есливозможных результатов), но в некоторых отношениях онанаиболее у;щбна.

ПОЗМ представляет собой наиболее общее измерение,которое мы можем выполнить в системе А, сначала запутывая ее с систе­мой В, а затем выполняя ортогональное измерение в системе В.3.3. ТЕОРЕМА О ПРRjtСТАВЛЕНИИ КРАУСА3.3.113Теорема о представлении КраусаТеперь мы нрактически Iптовы доказатr., ч1п тобой.щий условиям(0), (J ), (2)и(3'),$,удовлетворяю~имеет нрсдставление операторной сум·мы (теорема о нредставлении Крауса) 1 . По сначала мы обсудим полезныйтрюк~ который бунст использован n 1lОказатслr,стне. Поскольку этот приемшироко применяется. имеет смысл описал~ е1·о отдельно.Этот трюк (который мы будем называть «метол.ом соответственногосостояния») IЮзво.аяет ттш.шостью охарактеризоsап~ оператор М_4 , действу­ющий в 7-lл, описывая действие оператора Млчисrос максимально запутанное состояние 2 вdim 1tл ""' N).&J lв на С,J~инственное1iA ®1iв {где diш1iв ~Рассмотрим состояниеNJФ)лв ~L Ji)_40ji') 8 ,(3.92)-i=11де {ji)л} и{Ji') 8} - ортонормированные базисы в 1tл и1t 8.

(Мы вы­бршш JФ)лв нормированным таким образом, чтобы лв(ФJФ)лв = N; этоизбавляет нас от необхо,1имости т tисатъ множители vГfli в формулах ниже.)Заметим, что любой вектор(3.93)в Н А :может быть представлен в виде «(IаСТИЧНОIП» внутреннего произведения(3.94)(3.95)Мы rпкорим, что lr..p) А является <(Соответственным состоянием>> «сосrоя~ния-указателя>> I'P') н· Отображение(3.96)1liриводимое здесь доказательство с..1елует {'<~боте В. W. Schumacber, Sending EnlanglementNob;y {_Juanlum Channefs, Phys. Re\·., А54, 2614--2628 (1996); quant--ph/9604023 (см.Тlu·oughAppcndix А в этой рабоrе).2Мы говорим, 'ПО состояние l·.:.i1) _48 максимаJJЬНО занутано, если tr в (I'Ф) АВ АВ (ФI) cx:l/1..ГЛАВА 3114очевидно.

является антилинейным и фактически антиунитарным отоб­ражением из '}{Анаnподпространство '}{в. Оператор М А 0 1 в, 11сйствуяi.P) АВ• даст(3.97)Из этого состояния мы можем выделитьMAI'P) Ав качестве соответствен-ноrо сосrояния(3.98)Мы можем интерпретировать формали.зм соответственного состояния, го­воря что можно реагrизовать ансамбль чистых состояний а 7-lл.

вьпюJrняяизмерения в 'Нв на запутанном сосrоянии- если измерение в 'Нн даетрезультат jcp*) В• то приmтовJiенным сосшяннем является jcp) А· Если мынамерены прим:енить некоторый линейный оператор в 'Н л, то обнаружим,что резуnьтат не зависит от того, бrillю ли сначала приготовлево состоя­ние, а затем на него подействовали оператором, и..w сначала был нримененоператор, а затем приготовлено состояние. Конечно, этот вывод имеет фи­зический смысл. Можно даже нредставить, что притотов.аение и действиеоператора являются событиями, ра1деленными прос·rранственно-подобныминтервалом, так что временное упорядочение становится вековариантным(зависящим от наблюдателя).Мы по кажем, что $л имеет представление операторной суммы, при­меняя метод соответственншu состояния не к операторам. а к суперопсра­торам.

Поскольку мы нреднолагаем, что $А вполне положителен, мы знаем,что $А ®1в положителен. Следовательно, если мы применяем $А ® 1 вк Рлв = iФ) Ав АВ (,Pj, то резудьтатом будет положите:IЬный оператор,(ненормированная) матрица nлошости Р'лв в '}{А 0 Н в· Поl\обно любойматрице плотности, Р~в может быть представ.'1етш как ансамбль чистыхсостоЯНИЙ. Следовательно,($л 0 lв)(IФ)лв лв(ФI)=:~._>'"iФ'")Ав лв(Фрi(3.99)ргде qP >О, L;'"q'" ~ 1, а каждый вектор iФ'")лв• подобно jJ,)Aв• нормиро­ван таким образом, что лв(Ф'"IФ'")лв ~ N. Применяя метод соответствен­ного сосmяния, имеем$А(I'Р)лл('РI) ~, в('Р*I($л 0 lвJ(IФ)лв лв<ФI)I<r')в с,= LЧ'"в('Р*IФ)лв лв(Ф,,i'Р*) в·р(3 100)3.3.

Т НО РЕМА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ КРАУСАМы почти у цели; определим оператор МР' в1tА115соо·mошением(3.101)Можно проверить, что1) Опера:rор М 1 , лuueeu~ поскольку отображение 1'1') А--+1'1'') вантили­нейно.2) $л (1'1') А А ('1'1) -!:Мм (l;o) А А (,oi)ML дня любого чистого сосюяниям1'1').4 Е Нл:J) $А(РА)= L::MмpAMt шrn шобой матриr1ы плотности РА, носколь­мку р А может быть nрсдстав.асна как ансамбль чистых состояний, а $Алинеен.4) L::МмМ1= lл, поскольку $А сохраняет след ;~IЯ любогоРлмТаким образом, мы построили представление операторной суммы для $А.Rкраще, доказательСТlЮ состоит в следующем.

Поскош.ку $_4 впоJшсrю.Jюжитc.JJCJI, то $А @ 1 н 11реобра~ует максимально запутанную матрицуплотности в Н А ® Н в в ;1ругую матрицу плотности. Эта матрица плот­ности может быть выражена, как ансамб.llь чистых состояний. Каждому изэтих чистых состояний в 1t А ® 1i в можно соноставить (с помощью методасоответственных состояний) слагаемое операторной суммы.Рассматривая таким образом представление опсраrорной суммы, мож­но легко установить два важных следствия:Как много операторов Крауса? Каждый оператор м" связан с со­стоянием IФр,) в представлении ансамбля Р~в· Так как максиманьвый рангР'лв равен N 2 (где N = dimHA), $А всегда имеет представление опера­торной суммы с максимальным числом операторов Крауса, равным N 2 •Какова пеоднозначность? Выше мы отмечали, что оnераторы Крауса(3.102)унитарное преобразование) преJставляют тот же, что и м", сут•сро­нератор $л- Теперь можно сказать, что любые два представления Краусадолжны бып связаны таким образом.

(Если чис;:ю операторов Na оказы­вается больше, чем MJ.t, rогда набору MJ.t, очевидно, нужно добавить со­(LJ ""ответствующее ко.-mчество нулевых операторов, так чтобы эти два набораll6операторов нче.1н О,'пrтrаконую мuшность.) Это свойство \1Ожнu ра~СV~атри­нал. какc.JC)\C'Iвне теоремы ЖХЙВ.Ошt(ЮТНая выше конструкння соответ~твенrют состшшия устанав;ш­вает в:ши:-.шо о.:н!(Ушачнос соответспнгс \-1Ciк·ry нрс.:rстав:Jстп-rямн aJICa\16-'ll:й(ненормпро.вашюй) \ШТрН!\Ы 11:юлюсти ($_ 1 .х 1 13 )(··~,~,'> ..

1n .-ln(<:~·l) н тtрi.':tстаюсниями опсрюорных сумм $ . ~- (.\'lr.1 явно описали. как нсрсйти отнrсдстав:тенr1я анса\16Jrя к нрС/(Став.JстJню онсраторной cy\l:vtы. но. OЧt'IHI.l­\!OЖIIO 1\ОЙТН Н .Jp)'!'И\f ГI)'ТСМ. 1-;C.IIlrro,$ .1 ( .'1 1; А,.1)А\)-~·1\rL,., 'J\·rt~~-(.1.103)'/iji)_q /\ \}1ТО($.,i-Iu)(l,;),ш лн\U-,1)-I: (M,,I')л!i')в)(л(:ilн(/iM), н(/:)1-.J,f.!-Lrt~JФI':)AP- АR(ф 11 [-(3 104)y1 9 11 [Ф,JJ-J.D-'----' Ll\II_н~·i! t1i')1J.)13.105)c-r;.1eРассмотрим те11сr'• il\~a Т(!.КИХ ансамб.-тя (~Lш соо п~етстненно .~~на 11репстаi'­."Iения $ _!\..