С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 92

Вероятность возбуждения устойчивых состояний; квантование фазы. Рассмотрим влияние флуктуационных начальных условий на возбуждение параметрического генератора. Статистикр начального «шума» естественно принять гауссовской, т. е. функции 4 о одноконттнныв пяяямктяичкскив генкяятоя 513 распределения амплитуды и фазы начального колебания имеют вид п2о(Ро) = фо ехР ( — 7Р,,), оно (~Ро) = 112п, — п~сРо(п (7 4.10) р1 1 1 а Пользуясь соотношениями (7), (10) и формулами преобразования функций распределения для функционально связанных величин (см.

5 2 гл. 1, а также предыдущий параграф), для нестационарной функции распределения фазь; находим еги (ф) =— зн секо ор+ег 2 Мцо ф (7.4. 11) Графики функции распределения (11) приведены на рис. 7.14. В идно, что с ростом времени 1 вблизи стационарных фаз ч2 =О, пформируются два горба плотности ве- Рнс. тд4.

Функция распределения фазы роятиости. В пределе при в, (ор) устанаалнааюшнхся лараметрнче- скнх колебанна для разлн ~ныл моментоа . -~ ОЭ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНО- аременн Т=Р,С 1) О; 7) О,51 3) 1,О; 4) 3,0. сти фазы и2 (~р) =- 0 всюду, где ~р~ор,, и испытывает дечьтообразные выбросы пря ср О, и (см. также рис. 2.8 и с. 425 и 447). В соответствии с (7) вероятность возбуждения устойчивых состояний определяется только функцией распределения начальной фазы: к!'2 — л;2 Р2М=О)= ~ Гсо(сРо)йРо~ Ря(сР=П)= ) И2о(фо)с(сРо (74 12) «с я)2 Значениям сро = +- и/2 соответствует сепаратриса на фазовой плоскости (см. рис.

7.!4). В случае равномерной функции распределения фазы (10) Р, = Р, = 1/2, т. е. вероятности возбуждения колебаний с фазой 0 илн и равны. В общем случае для функции гао(оро), отличной от (!0), Р,чь Р,. Если запуск параметрического генератора происходит от шумов, представляющих собой сумму гауссовского шума и регулярного сигнала и, =р,соз (а2,1+ ср,), то согласно формуле (2.4.69) се (~Ро) = о 1,, '-'Оь(фо Ч~р) ° 1, Ро (7 4.13а) 17 с.

А. Акаоиов я яа 514 Гл. г ФлуктуАции в ГепеРАТОРАх Теперь получим 1 Рс Рь в - + — созФ 2 )г~ Р' (7.4, 13б) Флуктуационные переходы нв одного устойчивого состояния в другое. В проведенном анализе учитывались только случайные начальные условия или предосцнлляционные шумы. Весьма сушественнымн для параметрических генераторов оказываются н эффекты, связанные с воздействием флуктуационных сил на процесс установления колебаний. Флуктуационные силы в параметрическом генераторе могут приводить к переходу фазы из одной области притя. женив в другую,(151 Для исследования флуктуациопных переходов в правую часть уравнении (1) необходимо добавить случайную силу ыД(1).

Тогда фазовое уравнение (4) принимает пид (ср. с (7 2.29)) г(т пп«,, ьь „ — йы„— —, 'ью2~1 ~ (7«К1о) ,М э 2 е Разность вероятностей возбуждения рассматриваемых фаз 0 и»х ЛР(0) Р,— Р,=2='сов гр, (7.4.14) Р'йп о, зависит не только ат отношения начальных интенсивностей регу. лярного колебания и гауссовского шума, но и от фазы колебания. Знак /АР позволяет при многократных запусках параметрического генератора определить, в какой интервал, ( — л/2, л/2) или (л/2, — и/2), попадает фаза гр, начального регулярного колебания.

Знание величин ЬР и р,/о, позволяет, очевидно, найти значение и самой фазы гр, (13), (14). Таким образом, параметрический генератор производит, по существу, квантование фазы. В такой системе сигнал на выходе имеет строго постоянн)ю амплитуду (реализуется «идеальное» амплитудное ограничение), а его фаза определяется фазой входного сигнала. При этом непрерывному множеству значений входной фазы в одноконтурном параметрическом генераторе сопостанляется два значения выходной фазы. Квантование фазы, в отличие от квантования амплитуды, представляет собой квантование «по интер.

валу»: область изменения фазы, приведенной в большинстве случаев к интервалу периодичности (О, 2л). делится на ( падынтервалов, заключенных межд) значениями фазы (грь гр,,). При попадании фазы гр квант)емого сигнала в интервал (Чз„гр;„) квантующее устройство выдает сигнал с одной и той же фазой. Обработка таким образом квантованного сигнала в фазовых систелгах позволяет преобразовать фазовую информацию в амплитудную. Для регистрации амплитудных сигналон уже можно использовать цифровые способы. Такой метод находит применение в технике фазовых измерений, в технике обнаружения слабых сигналов на фоне шулгов 110, !4].

4 4 Оцнакантррнып плрлметр44чеекип ГенеРАтОР 515 Статистическ х х ~рзктеристикн е, опрсдсляюгся (7.2 2.) би ч= 0 ($ч$ч. т) = А/тп616 (т), (7.4.15) где 6» †спектральн плотность 6-коррелироваиного случайного процесса й(/). Уравнение (15] в общем случае является нестационариым, что обусловлено зависимостью от времени амплитуды Р (/).

Можно дать наглядную интерпретацию флуктуапиоиным явлениям при установлении фазы, если сопоставить движению фазы в параметрическом генераторе одномерное движение брау- /7(гв 1р панской частицы в силовом поле потенциал котоРого (/ (гр) = /ионгр — — соз 2гр. Г 4 (7.4.17) График функции (/(44) изображен на рис. 7.15. Потенциальная функ- ЦИЯ (/(4Р) ЯВЛЯется пеРиодической, 4Р Миа им умы (/ (Чл) (потенЦиальнЫЕ -1пй ямы) соответствуют устойчивым состояниям параметрического генератора, максимумы (потенциальные ргрр барьеры) — сепаратрнсам. йр В отсутствие флуктуациоиной гр силы (й,еж О) процесс установлер ния можно представить как скатываиие в потенп»4зльную яму изо- -1нй бражзю них то ~ск, рзсппеделгняых в мочщ т времени /=0 в соответ. стяни с функцией ю„(гре).

При на- йр личин ф.,лкг)зципн 4оз силы,ч (/), наряду с движением в гторону по- Рис. 7.15. Нормированная потенциальтенпнальной ячы возможны дви- иая функция (7(гр) (17) силовога поля: женив в сторон) барьсра Иначе Π— а.4р — еозтч:14 — еоззг — олеочж з! — го тщ говоря, вчестся определенная ве.

4) — еоззш — йеозч, крива» 1 построена див автономного параметрического генератора. роятность дости'кения барьера и Кривив г, 4 поетроенм днн геиерзторз. находящегося под воздействием внешней перехода изображающей точки в гзрмоиичеекой еиим е чистотой, резной другую область притяжения. частоте параметрических «олебзинй, и физий. равной одной нз етвниоивримх рзз ввтоиомПрн этом вазможныс переходы ного генервторв. можно условно разделить иа два типа: «краевые» и еглубинные». В первом случае (при временах 1~/ч) числоточек, расположенных вблизи потенциального барьера, достаточно велико, а действие случайной силы йч(/)/р максимально. Поэтому вероятность «краевых» переходов велика.

Во втором случае (/ ) / ), когда эффективное действие случайной силы К, (/)/Р спадает как ехР ( — (Гв/2 — а) /), подавлнющее большинство изображающих точек находится вблизи потенциальной ялты, совершая л4алые колебания вблизи устойчивого состояния равновесия. Переходы через потенциальдыи барьер в э~ам случае моловероятиы, 17 ГЛ т ФЛУКТУА!1ИИ В ГВИГРхтл)РАХ рассчитаем, следуя работе [!5[, влияние «краавых» переколов на вераятносгы Р» «(12).

Поскольку в рассматриваемом случае фазовые траектории проходят в непосредственной близости от сепаратрнсы, которой соответствует фаза 9=«р» (изображающие точки в момент (=0 расположены вблизи максимума потенциального профиля), уравнение (4) можно линеаризовать, представляя )р = =Ф„,+6(Г), !6[< !. Для 6 имеем «)В ы + (ямал ссм 2«у р) 6»е (!) (7.4. 18) 6,=.6(1=0), ф(1)=--ы !Ге ™В (х)бх, Рл,) Согласно (19) движение нзображаюшей точки вблизи сепаратрнсы является суперпозшц«ей регулярного скатывания па закону Вр — — В,е"' и случайных блужданый В,л»Р(1)етт. для гауссовского случайного процесса $ (1) условное иестацнонарнае распределение ш (Г, В,л) (пры фиксированном р = р«) является гауссовсянл): ! Вслл ш(1 Вел)=- - — ехр(— (7.4.20) с дисперсией аз, в соответствии с (19) равной ыяетГГ " а[ ф»етге ' ~ ~ е — Г)л'+л.)(р (х')Х (х'))Лх'«(х.

р« о С учетом о)отношения (16) а' — й [ешт — 1!. в 4р«Г' (7.4.21) Примем для определенности, что область притяжения 1 соответствует 6(0, а область 2 — 6)0, Для условной вероятности перехода фазовой траектории, начинающейся с заданного значения Вл, из области 1 в область 2 имеем Р ) З (Г Вр) ~ ш (Г Вел) «)Всл' 6 Полная вероятность перехода из области ! в область 2 (7.4.22) ЕР) з«)= '; — (6,)Р, а(1, 6,))В„.

1)) (7,4.23) Прн этом з)п 29)ср — — 2Ь/т. Поскольку соз2«р,о(0 (см. также (8)), целесообразно ввести фааовый ннкремент Г= — ты„соз2ф„р. На рассматриваемом интервале времени (1((ч) амплытудв р приблнчнтельно постоянна, понтону нз (18) имеем; 6 [6«+ ф (!)[ ег«, (7.4 19) 4 4 ОднокОнтуРнып НАРАметРическип ГенГРАГОР 517 Вероятности перехода рч ~ и сугт, даютас фор: улшсн, аналогичными (22), (23). Очевидно, по, если функция распределения начальной фазы ш(8а) симметрична относительно сепаратрнсы (таковым является и распределение ш (зр)), ВЕРОЯтИОСтн УР! 2 =Мчз ~ И КРаЕВЫЕ ПЕРЕХОДЫ НЕ ИЗМЕНЯЮТ ВЕРОЯтНОСтЕй Рь Р, возбухсдення устойчивых состояний Иная ситуация имеет место для условий, прп которых функция ю (6,) несимметрична относительно сепаратрисы.

Предположим, что запуск генератора происходит от суперпозицин регулярного сигнала и шума. Ири П .= 0 разность вероятностей ЬР (О) попадания фазы возбуждаемого колебания в область ! или 2 дается формулой (!4). В качестве меры влияния внешних сил на ЬР (О) удобно использовать величину (() О) ЕР (О) ЕР (О) ЕР (О)!й (!) А((!) = ЕР (!) ДР (О) )7 (!) ЬРмК (г) — ! а,(6,)=,— + 6,. Рс 2)' 2лп Тогда, пользуясь (22). (23), (2!) н (23), для !) (, можно записать к/2 со )~ ((ч РО) 2 [су $2 сг 2 !)~ ~ 6, ~ ш (ф) с(ф с(йз. 2поа — ш2 Ь, (7.4.25) (7.4.26) Отсюда, учитывая (!4), получаем я/2 са -! — 1 — 6, ~ с х' с(х с(зе 4Сч„(7.4.27) и((ч Ра) ~2)' л — НГ2 асс, где Со — — 2р о )с Г/ы )' пб~. Для получения окончательного результата соотношение нужно усредннть по ансамблю реализаций, а именно по распределенкю э„(ра) (!О). Тогда будем иметь АР(0) / ЕР(0) ) р„р — 4п —" )7 ((ч) сс Й ((ч ре) ! ымс»' (7.4.23! Величину р,', нетрудно оценить, рассматривая колебания в невозбужденном контуре.