С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 9

Это утверждение носит название центральной предельной теоремы (ЦПТ). ЦПТ имеет фундаментальное значение для физики; в силу ЦПТ подавляющее большинство реальных случайных процессов оказывается гауссовским, Многомерное нормальное распределение. Разделим сумму (30) на две части: У=Ух+Уз ч ч Уз= ~ Уаха (он+да — — 1).

а=! Случайные величины у, н ум вообгде говоря, статистически зависимы. Каждая из них является суммой независимых случайных величин и, следовательно, в пределе л — роз является нормальной (т. е. имеет гауссовское распределение вероятностей), как и у=у,+у,. Отсюда видно, что сумма не только двух, но н произвольного числа нормальных случаяных величин (зависимых или независимых, безразлично) (1.2.401 5 = с,у, +... + смум (с! — неслучайные коэффициенты) также нормальна, и согласно (39) (ага) = ехр (Тй — (ох — 5')/2), (1.2.4!) Полагая в (40) с!=и! н используя (41), находим многомерную характери. стическую функцию для совокупности нормальных случайных величаи и„, уср 6(им ... ~ ит) = (ехр (г (иьрт+."+наум))) = ю м 1 ст 'кч чВ ), (с!.Е2) 2 з~з л~! р=! где В„=((ур — д,) (ут-дс)) (1.2 43) — двумерный центральный момент, или функция корреляция флуктуаций гауссовских сл>чайньж величин ур и у .

Подставив (42) в (13) и выполнив интегрирование, найдем многомерное гауссовское распределение; 1 р. т=! зв ГЛ 1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЯ 4де Р— детерминант корреляционное матрицы Врч, А — элементы матрацы, обратной корреляционной. В частном случае л! 1 выражение (44) переходит в (1 1.3?). Из сравнения (42) и (21) следует, что для совокупности гауссовских случайных величин многомерные кумулянты выше второго порядка равны нул4а (как н одномерные) Согласно (22) отсюда вытекает простое правило вычисления многомерных центральных моментов: при гауссовском распределении (44) псе моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного порядка— сумме всех возможных комбинаций нз моментов второго порядка. Например, (1,2.45) В!ззз = В44В44 г В4зВ«4+ В44Вза В!амза= Вы (В44Ввв+ ВМВ44-(-ВМВы)+ В4з (ВМВвв+ Вз»Взв+ ВзаВИ)+ + В!4 (ВззВзв+ В41В и + В44В В + В!в (ВМВы + ВчвВ44+ ВзвВИ) + + Вы (ВззВ-з + ВчзВ44 + В! Взз) (1.2.46) Число слагаем»а в выражении для нентрального момента 2л-го порядка равно (2п — 1)Н = 1 ° 3.

5 ..... (2а — 1). Стационарные и нестациоиарные случайные процессы. Пользуясь многомерными распределениями, можно определить и исчерпывающий способ задания случайного процесса х((). Случайный процесс задан, если для любого числа п произвольно выбранных моментов времени известна и-мерная функция распределения ш (Х1 Хз ° 4 Хл ~14 ~з 4 ~и) (!.2.47) С помощью указанной функции можно определить и вероят- ность того, что реализация прож(() цесса достаточно близка к заданхз ной траектории: г(Р=пч(х,, ..., х„; (1. ..., (и) 4(х! ...

4(хгс (1.2.48) 4 Формулу (48) можно рассматри- г 'з ~ вать как «статистический аналог» р 1 2 Г( очаг е ая ма запиеи (1 1 1) РЕГУЛЯРНОИ фуниреализаций и оценка ее зеро~тно. Ции времени. 2(ля случайного простей с помощью л-мерного распре. цесса (случайной функции) рЕа- деления случайного процесса. лизации испытывают флуктуациВероягяасгь последовательного попа- ОННЫЙ раабРОС, ОДНаКО, ЗНан давая в тря заданных интервал определяется трехмерным рвспределенвем пг (х1 . хп (1 ° ° ° ° (и), мОжнО Расы(кь к,. «41. считать вероятность осуществле- ния данной реализации (рис.

1.2). Обобщая (5), можно записать, очевидно, и4(х„ ..., х ; („ ..., г' ) = =$пп(л1, 4 Хлг (1 ... (и) (Х, ! ° . С(х„(т(а) (12.49) $2. МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЭ вЂ” младшие функции распределения могут быть определены нз старших. Таким образом, старшие функции распределения содержат в себе всю информацию о процессе, заключенную в распределениях более низкого порядка, плюс некоторая дополнительная информация. К счастью, для большинства практически важных задач ценность этой дополнительной информации быстро уменьшается с ростом и; поэтому ниже мы не будем, как правило, иметь дело с п)5, а в очень многих случаях вообще будем ограничиваться рассмотрением только одномерных и двумерных функций распределения.

Выбор необходимого описания существенно зависит от типа случайного процесса, т. е. фактически от условий в физической системе, в которой рассматриваемый случайный процесс возникает. Далее особое значение будут иметь так называемые стационарные случайные процессы, для которых статистика определяется только разностью времен 1; — (~ и не зависит от начала отсчета времени (Р Стационарным случайным процессом являются флуктуации некоторой физической величины, возникающие в системе, находящейся в равновесных условиях.

Сформулируем теперь и математическое определение стационарного процесса. Стационарным случайным процессом называют процесс, произвольная п-мерная функция распределения которого не изменяется при одновременном сдвиге всех точек (и ..., („на оси времени на одну и ту же величину, иначе говоря — функция распределения не меняется со временем: ш (Аи ..., х„; (и ..., („) = ш (хи ..., х,; (, + !, ..., („+ 0. (!.2.50) В соответствии с (50) одномерное распределение вероятностей стационарного процесса не зависит от времени вообще: (1.2.5!) ш (х, () = ш (х), а двумерное — зависит только от интервала т =(,— (,: ш [х ((), х ((+ т); (, (+ т) = ш [х, х„т[, (!.2.5!а) где х,=х(Г+т).

Процессы, для которых выполняются соотношения (51) и (51а), иногда называют стационарными в широком смысле. В статистической радиофизике и оптике стационарные процессы занимают особенно важное место, 'условия их реализуемости осуществляются во многих экспериментальных ситуациях. Вместе с тем подчеркнем, чтз и нестационарные процессы, для которых (50) несправедливо, также играют важную роль: например, все переходные процессы, протекающие в присутствии флуктуаций, оказываются фактически нестационарпыми случайными процессами.

40 гл г. мктоды тиории слхчлииых окикции ! х' ) шм (х) = ехр У2ла ~ 2аз ) (б) сигнал+ шум ! ! (х — 5,)'' ш +м (х)= .. ехр ) (5г с ((г)) У 2л а ~ 2а' (1.2.52) Вывол о наличии или отсутствии сигнала в момент времени Ч можно сделать просто исходя из того, какое из распределении (52) дае| для х, ббльшую вероятностьч т. е, при юч,(х,) ):с,„„, (хг) счигатгч что сигнала нет, а при шю (х1) .с ш, (х,) — сигнал обнаружен, Пронедура обнаружения сводится здесь к тому, что х, сравнивается с некоторым порогом обнаружения х„, величина которого находится из уравнения (1.2.53) г ~м (ха) шсчш (Хч)' Поде!авив (52) в (53), получим хя = 5г/2.

(1.2.54) Порог (54) оказался, однако, не зависящим от р или д, и это позволяет предположить, что он выбран не лучшим образом, так как не использована вся априорная информапия о сигнале. Рассмотрим теперь более оптимальный выбор порога, который приводил бы к наименьшей вероятности ошибок (критерий и(мального наблюдателя). Таких ошибок моукет быть две. Первая состоит в тои, что х, ) хч и мы делаем вывод о наличин сигнала, хотя на самом деле сигнала аег (ложная тревога). Радиофизическнй пример: обнаружение сигнала на фоне шума; статистические ошибки.

В этой главе мы ограничимся лишь немногими примерами практического использования олномерных и многомерных законов распределения. Следующий ниже просши пример позволяе~ сформулировать некоторые важные понятия статистической уеории обнаружения сигналов на фоне шумов Еш!и отногпение сигнал)шум невелико (интенсивно,ть сигнала порядка или меньше интенсивности шума), то в распоряагении наблюдателя имеется факада. чески реализапия некоторого случайного пронесса х(Г), представляющего собог! либо а) шум, либо б) смесь сигнала 5 (!) и шума. Вынесение решения о наля. чии или отсутствии сигнала прелставляет собой в этом случае. очевидно, статистическую задачу (на основании измерения наблюдатель дола.ен выбрать одну из гипотез (а) или (б)), а само решение неизбежно будет вязано с ошибками Рассмотрим одну из простейпгнх задач обваружения. Вероятность случая (а) обозначим через д.

Число 4 можно интерпретировать как априорную, т. е. известную заранее, вероятность отсутствия сигнала Соответственно априорная вероятность наличия сигнала, нли вероятность случая (б), равна р -! — я. Задача обнаружения ставится так: сделано измерение пронесса х, и получено, что х(Г,)=хг. Требуется сказать, с какой из гипотез, (а] яли (б), лучше согласуется этот результат измерения. Распределение вероятностей для х в случае, например, гауссов коя помехи имеет вид: (а) только шум % т мнОГОмеРные стАтистические хАРАктеРистики 4! Условная вероятность такой ошибнн будет Р, (х, ) х„' 5 = 0) = ) . "м (х) дх, «и а полная вероятность согласно (23а) равна Р 4 ) шм(х)дх.

(1.2 55) «и Другая ошибка возникает, если сигнал есть, но х, (хи и мы делаем вывод об его отсутствии (пропуск сигнала) Аналогично (55) находим, что зта ошибка ямеет вероятность п ! з=р ) шсни (х)ил. Суммарная вероятность ошибки будет, следовательно, «и Р=Р,+Рз=д ) ю, (х) дх+р ) ш, „,(х)дх, (!.2.56) Приравнивая нулю производную др)дхи, получим, что вероятность ошибки (55) будет наименьшей, если величина хи опоеделяется соотношением (!.2.57) йшш (хи) =Ршсчю (хи) которое совпадает с (53) лишь в частном случае р=д=!12.

Подстановка (52) в (57) дает 5, ! 2оз р 1 и 2 5с 'и) (1.2.58) Согласно (58) критерий обнаружения сигнала хг ) хи можно представнтг в форме х,5, ) †'- — пс )п 5-; р 2 (1.2 59) Разумеется, процедура вынесения решения о наличии или отсутствии сигнала по результатам одного измерения весьма груба. Точность можно повысить, переходя к серии измерений, проводимых в нескольких точках времемной шкалы Гб для выбора оптимальной процедуры обнаружения в атом случае следует, очевидно, воспользоваться многомерными распределениями ш(х! хл (ы ° ° ! ).

Обратимся для простоты к случаю независимых измерений, когда много. мерные распределения, в силу (28), можно заменить произведениями одномерных Считая случайные величины х; =х ((г) статистически независимыми (физически зто условие означает, что гснлсриал времени между последовитсльнымя залсерамн намного превосходит так называемое время корреляции, см. $ 3 ГЛ ! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЯНЫХ ФУНКЦИЯ гной главы), вместо (57) и (59) получим, соответственно, д 1А) с"ш (хз) р П шсеш (хв) с а р 1 ~з а (1.2.60) х5 ) Чг 31 — и'!и-- (Сш 1 Схемная реализация условия обнаружения (60) показана на рнс.