С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 87

В лазерной фнзнке предложены н методы осущесгвлення регулярной обратной связи, не имеющие прямых аналогов в радноднапазоне, — напрнмер, так называемой распределенной обратной связн 156[; о флуктуацнях в лазере с распределенной обратной связью см в [581 Заметим, наконец, что в оптике когсренгные гесговые колгбання, стагнсгнка которых практнческн впало~ нчна стао нстпке колебаний лазера $ ь ФлуктуАции Амплитуды и ФАзы Автоколенаиии 487 2. Стохастическим процессом оказывается во многих случаях и процесс самовозбуждения автоколебаний.

Действительно, в авто. номном генераторе, если включение усиления или обратной связи не связано с возбуждением сигналов на частотах порядка средней частоты автоколебаний (именно с такой ситуацией приходится сталкиваться при самовозбуждении лазера), «затравкуз для самовозбуждающихся колебаний создают собственные шумы. В этом случае процесс самовозбуждения можно рассматривать как процесс трансформации (во времени) собственного шума. Ниже порога самовозбуждения собственный шум радиогенератора или лазера представляет собой стационарный узкополосный гауссовский процесс,' в режиме развитой стационарной генерации мы имеем дело с существенно негауссовским процессом.

Каковы закономерности такой трансформации7 Згот вопрос представляет не только принципиальный, но и несомненный практический интерес; ниже мы обсуждаем его применительно к томсоновскому генератору и одномодовому лазеру. Флуктуационный характер процесса самовозбуждения автоколебаний приводит к тому, что случайной величиной становится и время установления автоколебаний, †обстоятельст, существенное для импульсных систем. Особенно важны статистические явления при установлении колебаний в генераторах с несколькими ненулевыми устойчивыми состояниями; здесь выбор устойчивого состояния может в значительной мере определяться статистикой начальных условий.

Последнее положено в основу методов исследования достаточно тонких характеристик случайных процессов В й 4 эта задача рассмотрена на примере одноконтурного параметрического генератора. 3. Наконец, в Ц 6, 7 обсуждается и статистика многомодового излучения. Надо сказать, что многие результаты, относящиеся к временным характеристикам многомодового излучения, содержатся в й 9 гл. 2 и $4 гл. 5. Поэтому ниже главное внимание уделено поперечным корреляционным функциям излучения лазеров, генерирующих несколько поперечных мод.

Математическая сторона теории флуктуаций в автоколебательных системах оказывается сложной, что связано с решением нелинейных стохастических уравнений. Поэтому ниже будут широко использованы различные физические приближения. В режиме развитой генерации малость собственных шумов позволяет линеаризовать стохастические уравнения. Так строится с обратной связью, могут быть с4юрмироваиы в иелииеииом усилителе бе~углей волны (см.

$2 гл. 8). Гл. г Флуктулции В Гянеелтоехх теория естественных флуктуаций а томсоновском генераторе и одномодовом лазере в существенно анадпороговом» режиме. Для исследования явлений вблизи порога генерации (этот режим представляет специальный физический интерес, поскольку именно здесь можно проследить, как происходит формирование когерентного негауссовского излучения из стационарного гауссовского шума) мы пользуемся методами уравнения Фоккера— Планка и статистической линеаризации; результаты хорошо согласуются между собой. Заметим наконец, что для описания закономерностей формирования когерентного излучения из шума прн переходе через порог генерации плодотворным оказывается использование методов теории фазовых переходов.

Аналогия между самовозбуждением лазера и фазовым переходом детально прослеживается в э 8; мы используем методы теории критических явлений для расчета закономерностей формирования пространственной и временной когерентности одномодового лазера. й 2. Естественные флуктуации амплитуды и фазы в томсоновском генераторе в режиме развитой генерации Мы начинаем с рассмотрения естественных флуктуаций в том. соновском генераторе радиодиапазона. Общее уравнение, описывающее колебания в томсоновском генераторе, имеет внд 1 х+ со„"х = рг (х, х, 1), (7.2. 1) л с г где точка означает дифференцирование по и„ времени. Малый параметр р (рч 1) подчеркивает слабое отличие колебаний от гармонических. рис. 7д, схема генера- Обратимся теперь к конкретной схеме, тора с колебательным рассмотрим генератор с колебательным контуром в анодноя чепн контуром а анодной цепи (рис. 7.1), ко.

торый имеет параметры 7., С, 1г; М вЂ” коэффициент взаимной индукции катушек, 1,— регулярный анодный ток, 1 — ток индуктивной ветви, (,р — ток дробового шума, и — напряжение теплового шума сопротивления контура. Приравнивая напряжения на индуктивной и емкостной ветвях колебательного контура, получаем уравнение + )тг (1) — С- ') (1, (1')+ ~, (1') — 1(1')) й' = и (1). (7,2.2) Напряжение на сетке лампы в отсутствие сеточных токов определяется наводимой электродвижущей силой: и„= Л! (7.2.3) 4 А ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ РАЗВИТОП ГЕНЕРАЦИИ 489 Характеристику элентронной лампы запишем в виде .( — 3 7А1, (7.2.4) где 3 — крутизна характеристики, у — козффицнент нелинейности.

Вольт-амперная характеристика вида (4) соответствует тан называемому мягкому режиму возбуждения генератора. Дифференцируя (2) по времени и используя соотношения (3) и (4), придем к следующему уравнению: ки и+в',1=2~(6 — а) — з ~в,'~Ы~ ~ а +вБ(1), (7.2.5) Здесь в, = (/.С) — ьа — собственная частота нолебательного контура, а= )г/2/. — величина, харантеризующая затухание в контуре, 6 =в,'ЯМ/2 — отрицательные потери, вносимые обратной связью, параметр () =ХЯМАв,'/8 харантеризует нелинейность генератора, $ (1) = 1А (1) + в~ "й (1) //..

(7.2.6) Слагаемые правой части уравнения (5) обусловливают отличие колебаний от гармонических. Укороченные стохастические уравнения. Для того чтобы изучить нолебательный процесс, описываемый уравнением (5), получим укороченные уравнения, воспользовавшись методом, развитым в 9 2 гл. 3 на примере линейного контура. Представим решение уравнения (5) в виде 1(1) = х (1) = — А (1) е'""+ к. с 1 (7.2.7) Поснольку высокодобротный нолебательный контур подавляет спектр, расположенный вне узкой полосы вблизи частоты в, (см.

(3.2.32)), т. е, является полосовым фильтром, шум в контуре е(1) можно представить кан е(1) =Ч (1)ехр(1(в,/+и/2)1+к. с. (7.2.8) (фаза и/2 добавлена для удобства дальнейшей записи). В (7) и (8) фуннции А (1) и г) (1) являются медленными по сравнению с ехр ((в,(). Учитывая условия медленности изменения компленсной амплитуды А (1) (3.2.33), из (5) получаем уравнение ~, + ((а — 6) + () ~ А ('! А = в,п (1), (7.2.9) в котором опущены быстро осциллирующие члены. Последние выпадают при умножении (5) на ехр( — 1в,1) и усреднении по периоду нолебаний Т,=2п/вм Уравнение (9) отличается от уравнения (3.2.37) линейного контура наличием нелинейного члена ()! А ~' и отрицательных потерь б.

Гл т Флуктулиии В ГенеРАтоРАх Выразим комплексную амплитуду А через огибающую р и фазу р (А=реке), а случайную силу т)(() представим через квадратурные компоненты а и Ь: т) (() = а+ 1Ь. (7.2.10) Разделяя в уравнении (9) вещественную и мнимую части, приходим к уравнениям р + 1а — б+ ()ра) р = шеьо, (7.2.1 1) ме ~ Р (7.2.12) где ь е асоз<р+Ьз(п~р, ьв — — Ьсоз~р — аз(п~р. (7.2АЗ) р, 1(б — а)/1)нт, (7.2.14) Ясно, что в (14) должно быть б)а, т. е. необходимо, чтобы 2 вложение энергии, вносимое обратной р,<~о > связью генератора, превышало потери в контуре; пороговое значение баа =а.

Запишем формулу (14), вводя относительное превышение порога самовозбуждения б =на (в теории лазера В будем называть параметром накачки, см. 2 5): 1 а е — 1 а пт в=ба Р,'У' ° Р, ( (Р) Рнс. 7.2. Зависимость установившейся амплитуды ко- (7.2.15) лебаина томсоновското генератора от параметра накач- где р„— характерная амплитуда колекн а в отсутствие (1) и прн баинй ГЕНЕратОра: р, р Прн В=2 наличии шума (2). Изменение р' с ростом е показано на рнс. 7.2 кривой !.

Из уравнения (12) при ф= О следует, что <р =<р„т. е. фаза сохраняет то значение, которое было в момент включения генератора (обратной связи). В автономном генераторе естественно считать ~ре случайной величиной с законом распределения го (~ре) = 1/2п, — и ~'ра~ и. Уравнение (9) и система уравнений (11), (12) являются укороченными уравнениями томсоновского генератора соответственно в комплексной и действительной записи. В отсутствие флуктуаций (с=О) уравнение (11) обстоятельно изучено в теории колебаний (см., например, 111). Стационарному, илн установившемуся, состоянию (Р=О) соответствует амплитуда колебаний э в елрктрлции в режиме рлзвитон геиерлции 491 Таням образом, в отсутствие шума стационарные колебания томсоновского генератора гармонические: х (1) = р соз (гоог+ оро).

(7.2.16) При наличии шума колебания — каазигармонический процесс (7.1,1). Относительно случайного процесса $(() (6) можно принять, что он представляет собой 6-коррелированный шум с гауссовской статистикой: $ = О, Вх (т) = (Ко) 2пбоб (т). (7.2. 17) Отметим, однако, следующее. Хотя дробовой и тепловой шумы, дающие внлад в $(1), являются б-коррелированными, в выражение (6) входит производная от напряжения теплового шума, вследствие чего спентральная плотность процесса 3(1) зависит от частоты ви бо(ы) б р (м) + (горЕ) о оР 6 (ы) б, (ы) и 6,(го) — спектральная плотность дробового и теплового шума соответственно. В пределах узкой области спентра Лго в окрестносги частоты го спектральная плотность бо(м)~о бор(го) + а бт(го) бо(озо) 01 (7.2.18) 1 (оооь) практически постоянна.

В этом случае применимо соотноше- ние (17). В укороченных уравнениях (9) и (11), (12) случайные функ- ции о)(1), а(1) и Ьб) можно также считать белым шумом в мас- штабе изменения величин А, р и ~р. При этом в соответствии с результатами $ 3 гл. 2 и в силу постоянства, а, следовательно, симметрии спектра (18) относительно гоо, л Б О, (аЬД =(а,Ь) О, (аа,) (ЬЬ,) = — баб(т) (7.2.19а) Я=О, (о)п,) =О, (г)тф) =пбхб(т).