С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 86

(/м„я ",м 0,2 1О-э с = 0,2 нс). Условие (55) можно, соответственно, переписать как /нмяс (2( (/имя (0,2 ис). и /„' 2Тзаз+а, = !+ —" )а, )з) 4ют (6.7.75) Если абозизчить Уаз/4зца„=х, 2Т,= а-Ч то (75) перепишется как и/'„„х (1+~ х)') (6.7.76) 95 С. А Ахмаяов я хр. Таким обрезом, развитая здесь теория однореэонаторного и двухрезонаторного ПГС н уравнения (15), э также (24) и (38) применимы для описзния генерации импульсов наносекундной длительности, в то времи кзк уравнения двухрезоизторного ПГС (69) †импульс субнаносекундного и пнкосекундиого диапзэоиа.

Естественная ширниа снмгтральной линни генерации ПГС. При интегрировании колебательных урзвнеиий ПГС (в частности, прн расчете импульсов генерации, представленных на рис. 6.16, 6.18 и 6.19) иеобходямо было вздеть некоторое малое иачзльиое значение хотя бы одной нз амплитуд, играюшее роль затравки всего процесса генерации. В реальных условиях такой затравкой явлиются спонтанные шумовые поля. Для параметрвческого генератора света основной вклад в эти паля вносит так иазываемзя пзраметрическзя люмннесценция, связанная со спонтанным пзраметрическнм распздом квантов нзкзчкн [29) Параметрическая люминесценции приводит к появлени1о слабых полей на частотах юьз.

Воздействне этих полей на ПГС является одним иэ примеров воздействия собственных («естественныхз) флуктуаций нэ автоколебательную систему (см. также гл. 7). Влияние спонтанных полей на интенсивность волн з режиме развитой генерации нз-зз их относительной малости пренебрежимо мало. Тем не менее благодаря им колебания, генерируемые в ПГС, всегда являются, в принцяпе, случайным процессом, нотормй даже при идеально монохромзтической накачке характеризуется малой, но конечной шириной спектре Ью. Величянв Ью огрзничивзет минимзльно достижимую ширину спектрзльиой линни ПГС Чтобы нзйти Ью, надо, как обычно, ввести в колебательные уравнения ПГС случайные источники.

Рассмотрим здесь в качестве примерз двухрезонзтор. ный ПГС, процессы в котором прн одномодовой монохромзтической накачке описываются вытекающим из (37) уравнением (аз ивою) 482 Гл.а. пАРАметРический системы В зто уравнение нужно ввести случайные функцнв, опнсываюшне шумовые нсточннкн, спектр которых лежит в области частот ыы ыз н ю„. Ограннчнмся здесь тем, что добавим в правую часть (76) 6-коррелнрованный шум Е(Г), име- ющий смысл комплексной амплятуды шумов с частотами, близкими к ю,: п)нз» х+ах=(!+!"' зз+а5(') (6.7.77) <р>=О, <33 >=О, <Вц>=206 <т>.

(6.7.78) Выразим в (77) х через огибающую р н фазу ф, а $(Г) — через статистические независимые квадратурные компоненты а н Ь: х=ра~е, $=а+(Ь, (а)=(Ь)=0, (аа )=(ЬЬ )=206(т). (6.7.79) Комплексное уравненне (77) распадется прн атом на два вешественных: Р+ар= 1, +и(а сов ф+Ь пп ф>, (6.7.80а) сс ф = — (Ь соа ф — а мп ф). Р После преобразований, полностью аналогичных прнведенным в 4 2 гл. 7, мы получим уравнения отдельна для Р н ф: аl'„р аз0 9+ар= + — +3,(г), (1+Р*)' ф=5з (').

(6.7.81) (6.7.82) в которых <Ыгт> = 2016 (т), 0 =сгз0, <йз3зт>=20,6(г), 0,=аз <ПР> ° и. Средняя ннтенснвность затравки а,' определяется как велнчнна (хз) прк !'„=0: согласно (77) а',=00 = 0. (6.7.82а) <Р*> (Р') 4п(1 — 1(рг);, ) 4 4 ' (РВ ~Г! Постоянная 0 может быть вычислена как аффективная спектральная платность спонтанной параметрической люмннесценцня (см., напрнмер, [29), с, 362). Заметим, что акспернментально величину а„'можно оценнть по за.

паадыванню нмпульса генерации, учитывая результаты 4 6 гл. 1; согласно подученной в (33) оценке а,'=10-гй Рассмотрим теперь режны развитой генерации <!'„а~ 1>. Полагая в (81) Р=р+Р, прн Р~р получим гс ~ !г Ь вЂ” чтс1з ьв а»и~ Как следует нз (83>, 4 т. пАРАметРические ГенеРАтОРы светА А(ы видим, что компонента р действительно мала, а ширина ее спектра с ро- стом интенсивности накачки стремится к постоянной велячине: Ьво — — 4««(1 — 1/ / /;в) ~ 4««. Таким образом, вклад р в спектр излучения ПГС состоит в создании очень широкого, но малого по интенсивности «пьедестала» спектра (аналогично тому, как зто имеет место в случае томсоновскога генератора или лазера †. рис, 7 5).

Ширина спектра ПГС определяется, следовательно, фазовыми флуктуацнями, я согласно (82) она равна (при /;, ~ 1) Ам=20», или / 1 1з 4вх 4«шх» Лв 4в' ( — ) 0«в — 0= ' ~4в, (6.7.84) Ьв с 1 — Р+2п»5 Ь/ — = — ' о,'. 2Л 2пС '(/ /'„— 1 Подставив сюда ь 3 см, 1 — )7+2ихь=б.

Гб ', /;, =16, а,'=10-", получим б/=0,25. 10 о Гц. уравнение (83) является уравнением тяпа (1.7.28), так что распределение вероятностей в(р) в установившемся режиме генерации ПГС дается решением уравнения Фоккера †План (1.7.50): в (р) =Ср ехр [ — —, (ро + но )~„ Отсюда мажет быть найдено распределение интенсивности /,'=(4в /вн) а,;» = (4в,/вн) р': но бвх/ох„( 2а! 14вх ' 1+(вн/4в,) /; /)' ((ак следует из (85), наиболее вероятным является значение интенсивно.

сти, равное /Х(ваха! = в (~/нО !) вн (6 7.86) Интенсивность /;(в „, 1 оказалась не зависяшей от спектральной плотности спонтанного шума) ана равна /; в отсутствие шума (см. (17)). Подставив (85) в (2.5.30), можно найти также функцию распределения вероятностей в(Е,) самого генерируемого поля Еь Заметим, что с учетом (82а) и (86) фоРмУлУ (84) можно записать в виде Ам=16(в,/вн) п«0//х „,„, т. е. она аналогична формулам (7.2.54а) и (7.5.28) для ширины линий томсонавского генератора н лазера. В отношении же амплитудных флуктуаций такой аналогии нет: в ПГС ширина их спектра ограничена (ср.

(83а) с (7.2.39а)). ГЛАВА 7 ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ РАДИО- И ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНОВ й 1, Введение. Флуктуации амплитуды и фазы автоколебаний. Форма н ширина спектральной линии Статистические задачи, связанные с флуктуациями и шумами в автоколебательных системах, весьма разнообразны.

Неизбежные в реальных генераторах радиодиапазона и лазерах нестабильности параметров представляют собой по существу случайные процессы $„(1). Спектры этих процессов Оа (ш) отличны от нуля лишь в узкой области вблизи нулевой частоты '); эффективная ширина спектра Ов (ш) флуктуаций параметров не превышает обычно 10' — 1(Р Гц. Воздействие флуктуаций параметров на автогенератор проявляется поэтому обычно в виде медленной, квазистатической случайной модуляции амплитуды и частоты (фазы). Колебания реального генератора, близкие к гармоническим, представляют собой случайный процесс вида х(1) =р (1) сох (ша1+<р(1)).

(7.1.1) Статистические характеристики р (1) и ф (1) в рассматриваемом случае, разумеется, существенно отличаются от таковых для узкополосного гауссовского шума, рассмотренного в й 4 гл. 2. Амплитуда флуктуирует вблизи среднего значения р, определяемого динамическими свойствами системы; флуктуации амплитуды и фазы в общем случае коррелированы. Г)о известным статистическим характеристикам р (1) и ф (1) с помощью формул й 7 гл. 2 можно определить и форму спек. тральиой линии. В соответствии с результатами гл. 2, если относительные флуктуации амплитуды невелики, р(1)=р+р(1).

(р')~Р' форма и ширина спектральной линии в основном определяются квазистатическими флуктуациями частоты. Хорошим приближе- ') Среди иизкочастотиых флуктуацивииых процессов, приводящих к флуктуациям параметров, особое место занимают процессы типа фликкер.шума, для которых, как показывает эксперимент, вплоть до очень иизкях частот ( 10 '-1О" Гц) ба(ы) ыкн Физика таких процессов с иеиитегрируемым спектром до конца ие ясна и по сей день. Принято считать, что речь идет о существенно нсстациояариых процессах 14); обзор ковых дакиых, очиосящкхся к этой проблеме, содержится в 1541.

% ь Флуктукции лмплитуды и Фазы лвтоколввлнии 486 нием в этом случае оказывается модель медленных и сильных гауссовских флуктуаций частоты (см. (2.7.39), (2.7.44)). Тогда спектр автоколебаний имеет вид (см. (2.7.41)) б+ (гв) = ехр ) — —, Р' (в — ш,)11 У2в о, 2ов~> (7.1.2) где и* — дисперсия частоты, а„' ~ 6~(в) дв. а Ширину спектральной линии "~мт = пв называют техвической ширилой, подчеркивая этим, что причиной уширения линии в рассматриваемом случае оказываются факторы технического порядка, вклад которых зависит от конструкции генератора, стабилизации параметров и т.

и. Величина Ла, различна для генераторов разных типов; переход к высокостабильным системам, например таким, как лазеры, стабилизированные по сверхузким оптическим резонансам в атомах и молекулах, позволяет получить ширину спектральной линии 0,5 Гц. Чем определяются предельные возможности сужения линии? Оказывается, что наряду с «техническнми» флуктуацнямн имеются обстоятельства н более принципиального порядка. Даже в гипотетической автоколебательной системе с абсолютно стабильными параметрами генерирование идеальных монохроматнческих колебаний невозможно. Причиной этого являются принципиально неустранимые собственные шумы генератора, такие, как тепловой н дробовой шум в радиогенераторе н спонтанные переходы в лазере. Эти источники флуктуаций в генераторе следует рассматривать, очевидно, как случайные внешние силы, в спектре которых имеются и компоненты на частоте автоколебаннй.

Как ведет себя автоколебательная система, находящаяся под воздействием случайной силы7 Оказывается. что и в этом случае дело сводится к случайным амплитудной и фазовой модуляциям; автоколебания описываются формулой (1). Статистические же характеристики возникающих под действием собственных шумов естественных флуктуаций амплитуды и фазы, разумеется, отличаются от технических', по-иному выглядит и спектр колебаний. Для естественных флуктуаций частоты адекватной оказывается модель быстрых и слабых флуктуаций (2.7.45), форма спектральной линни становится лоренцевской (см. (7.2.51а)). ГЛ, 1. ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ Естественная ширина ") спектральной линии Лго, обычно гораздо меньше технической, Лго,» Лсо„ однако для высокостабильных генераторов радио. и в особенности оптического диапазона [5[, в технике предельных измерений 19[, эффекты, обусловленные естественными флуктуациями, становятся существенными.

Большой круг статистических задач связан со статистикой многомодовых генераторов. Особенно актуальны эти задачи для оптики, поскольку лазер, если не приняты специальные меры, является принципиально многомодовым генератором. Если речь идет о статистически независимых модах, для выяснения картины флуктуаций суммарного колебания достаточно довольно грубых представлений о статистике колебаний в отдельной моде. Случайная временная структура многомодового колебания определяется в основном величиной межмодового интервала и полным числом продольных лазерных мод.

То же самое можно сказать и о случайной поперечной структуре излучения лазера, генерирующего несколько поперечных мод. В этой главе мы ограничимся и основном рассмотрением трех проблем, относящихся к флуктуациям в автоколебательных системах, генерирующих колебания, близкие к гармоническим. 1. Прежде всего это классическая задача о естественных флуктуациях в слабонелинейной автоколебательной системе с высокодобротным контуром — в так называемом томсоновском генераторе, Близка к ней и задача об обусловленных спонтанными переходами естественных флуктуацнях амплитуды и фазы в одномодовом лазере. Однако прямая аналогия прослеживается здесь лишь до тех пор, пока речь идет о временных флуктуациях амплитуды и фазы.

В лазере спонтанные переходы приводят и к флуктуациям в пространственном распределении генерируемого поля. Пространственным аналогом естественной ширины спектральной линии оказывается естественная ширина углового спектра, непосредственно связанная с определяемой спонтанными переходами предельной пространственной когерентностью излучения одномодового (по поперечным индексам) лазера **). ") Классифицируя нсточннкн флуктуаций в авгоколебагельных системах, мы пользуемся здесь терминологией, введенной Горелнком. *') Спецнфнческне задачи, связанные с флукгуацнямн в лазерах, этим не нсчерпываются. Интересный класс сгагясгнчегкнх задач связан с нзученнем оптических генераторов с гак называемой стохастнческой обратной связью, генераторов, принцип дейсгвня которых ближе к принципу действия ядерного реактора, нежели генератора радноднапазона [31.