С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 65

Тогда из(49), учитывая (9), для средней вероятности процесса получаем ((Рл 2 л()л ~ 7 'Р'л"ь """' г(Р = П( Олгаз (5 1.50) е Статистический выигрыш в рассматриваемом шумовом поле г!л = (РлЛ'л. а =)л (Г)/Узл = П1! (5.1.51) т, е. такой же, каи при возбуждении л-й гармоники шумом. От. метим, что результат (51) применим и для многофотонной эмиссии и люминесценции (ср. также с (9а)). Таким образом, если многофотонная ионизация осуществляется гауссовским оптическим шумом, шумовое возбуждение н а1 раз более эффективно, нежели монохроматическое Для реального лазерного излучения формулой (51) следует польюваться с осторожностью; сначала надо убедиться в том, что критерий гауссовости (см.

й 10 гл. 2) выполнен. Пусть оптический шум описывается многомодовой моделью (2.10.1). Возникает вопрос: каким должно быть число мод, чтобы можно было пользоваться формулой (51)Р Ответ для одного случая фактически уже содержится в результатах гл. 2; обратимся к более детальному обсуждению ионизации атома многомодовым излучением. Пусть световое поле имеет вид (2.10.1): х(!)= ~ р сох(ш (+гр ), (5.1.52) л ! ° ) Формула (47) хорошо описывает процессы нерезонансной многофотоннои иопизации атомов в световых полях; строгое ее обо. пованис и результаты весьма полного рассмотрения задачи можно найти в работе !211, 4 с. нвлинаинов ввзынвеционнов пэаовялзовлнив где ес = ес,+т(! — частота моды (л2=1, 2, ..., сэ'), фазы мод ср считаем статистически независимыми и распределенными равномерно на интервале 2п (см. (2.10.2)), с!с' — число мод.

Расчет статистического выигрыша в многомодовом поле (52) существенно зависит от того, определяется ли он для излучения с постоянными или с флуктуирующими амплитудами. В случае непрерывного многомодового излучения амплитуды мод р можно считать постоянными; поле излучения представляе~ собой стационарный случайный процесс. Если амплитуды р для простоты считать равными, то для оценки статистического выигрыша Ч, = Чу,""/Ц7,,0 =1" (1))УО' можно воспользоваться значениями моментов интенсивности многомодового колебания, полученными в ~ 10 гл. 2.

При большом числе сэ' мод, пользуясь формулами (2.!0.34) и (2.10.17), можно записать [22! т) — 1[1 (5.1.53) Точная зависимость 2). от числа сэ' до и= б включительно приведена в табл. 2.1. В случае импульсного многомодового излучения в (52) Рссс = Рсс (С) = Рто1 (Т) [спах = 1 (5. 1.54) где р, — максимальное значение амплитуды. При этом, если амплитуды мод постоянны, то, очевидно, 1 с [Ж (1) И ()сс (С)) 12сс (С) Поэтому выражение (53) не меняется и остается справедливым для импульсного излучения. Для излучения с флуктуирующнми амсслнтудами мод статистп. ческий выигрыш иногда определяют по отношению к усредненной за время Т ~ 2п/11 интенсивности с Я [23 — 25[. Согласно (52) и (54) эу ! ссссас = ~т ' Рсссс = ~~~ сссс.

2 (5.1.55) Максимальная интенсивность с',„в рассматриваемом случае явля. ется случайной величиной. Статистику мод будем считать гаус. совской, а средние интенсивности мод — равными. Следовательно, цс(1 ) --,елр [ — с' со„")„ збп ГЛ.

О НВЛИНВЛНЫВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА Вероятность многофотонной ионизации атома для излучения с интенсивностью (65) (р. (!) = М'"(!) !.".. (5.1.56) В случае многомодового излучения вероятность ионизации атома равна (р„"" (!) = ()„/'" (!) !" (!). (5.1.57) Здесь, как и вьппе, волнистая линия означает усреднение по интервалу времени Т, /(!) — мгновенная интенсивность: В !2 /(!)=-,У, 'р е ("! + 1~. (5.1.58) т.=. ! Согласно (56), (57) на величину (У', (!)/(У'„(!) = /„(!)/! ",х (5.1.59) ) (!) не влияет. Усредняя (59), находим статистический выигрыш ч.=<! (!)//"-> (5.1,60) При большом числе й! мод величины /" (!) и !"„можно считать статистически независимыми, так как /,„(55), в отличие от /(!) (58), не зависит от фаз мод. В этом случае соотношение (60) можно записать !Вк,'24, 281: Чх = (! (!)>/( /п1хх>.

(5.1.61) Поскольку в рассматриваемом случае статистика поля (52) гауссовская (таковой обладают отдельные моды, характеристическая функция поля (2.10.25)), то среднее (/А(!)> = (/ ' (!)> = л) (й!о!!)". Чтобы определить (/",„>, найдем сперва функцию распределения ш(/ .х): СО СО М !а (! .,) = ~ ... ~ 6(! ° —,>, / ) Ц !а (! ) х//!... !(/А! = о о хх ! ! х У-! оя ехр ( !~~~/М Ф вЂ” !)'о." Следовательно, ! И+о — 1 !Л'+о — 1р ох" (!"->= ~, '",, р( — / „./о))о!/...='— — '. (5.1.62) ОУ вЂ” !)! 4 ( нелинепнов БезынеРциОннОЙ прйоврхзовхнив 55( Таким образом, значение статистического выигрыша равно т)к = п1 (5.1.63) Мы следовали методу расчета, изложенному в [24).

Более строгие, но и более громоздкие вычисления 125) также приводят к формуле (63). Следует отметить, что значения величин т)„, 1, амл. аа аае ааа агг гат, аМЛМГ 1 га гаа гада л Рнс. 5,10. Статнстнческнй выигрыш в завнскмостн от числа М мод лазера 125!. Точки — аксперкмекталькме акачеккя, кривая рассчктака по формуле (ЕЗЬ Рнс 5.9. Интенсннность двухфотонной люминесценции („в завнснмостн от квадрата средней ннтенснвностн одномодового (!) н многомодового (М вЂ” 500) (2) лазерных полей 127] определяемые формулой (63) и приведенные в табл. 2.1, не сколько различаются между собой.

Это обусловлено различием как статистических свойств рассмотренных многомодовых процессов (постоянные и флуктуирующие амплитуды), так и способоп определения коэффициента выигрыша т)„. При числе мод М~1, но ие«У формулу (63) можно привести к виду (ср. с (53)) т) жп( ехр ( — )~ и!(1 — ). (5.1.64) и (и — 1)1 ( и (и†1)1 л 2М ) 1 2М )' Формулой (64) удобно пользоваться для оценки числа мод Ме, при котором статистический выигрыш с относительной точностью Лт)/т)=й) близок к предельному значению т)„=п!: Л(* =п(и — 1)!2 Лт). Как видно из табл. 5.2, величина Уе сильно зависит от и. Та. ким образом, в нелинейном процессе условия, при выполнении которых многомодовое излучение можно рассматривать как гаус совский случайный процесс, зависят от степени нелинейности (см.

также гл. 8). Гл. а нвлиивиныв пРвоВРАзовАния шумА Таблица 52 Зиачеиии Д1* дли АЧ= 0,1 и различных л 1261 5 ! 6 10 3 4 210 260 360 30 60 100 150 10 й 2. Амплитудное детектирование шума Квадратичный детектор. Идеальпым квадратичным детектором называют устройство с нелинейной характеристикой у =ахв. (5.2.1) Согласно (5.1.4) на выходе квадратичного детектора генерируются нулевая и вторая гармоники входного колебания (5.1.3): у (1) = уе (т) + у. (1) Уе (1) = 2 Р' (1) Ув (г) = 2 рв (1) с аз (2!о г+ 2ср ((Ц. С помошью квадратичного детектора можно измерять интенсивность ! (Т) = Ра (1)/2 входного и Роцесса х (1) = Р (1) соз(тоа(+!Р (1)]. Рис 5 11.

Квадратичиыд параболический детектор. Поставив после нелинейного элемента низкочастотный фильтр с соответствующим образом подобранной полосой пропусканяи В заключение приведем некоторые экспериментальные данные о коэффициенте статистического выигрыша. На рис. 5.9 наглядно показан выигрыш в эффективности двухфотонной люминесценции в поле излучения многомодового лазера по сравнению с одномодовым; здесь с точностью до О,1 значение т)в=2.

Рис. 5.10 для одиннадцатифотонного процесса ионизация иллюстрирует рост статистического выигрыша с увеличением числа мод. 4 Е АМПЛИТУДНОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ШУМА абз Лв (рис. 5.11), получим на выходе фильтра сигнал, пропорцио нальный мгновенному значению интенсивности: г — уо(г) — р'(1)- !(1) (Лв~.'Ьво), или ее среднему значению: г-уо(Г)-(ро(1)) - (()) (Лв> Лво). Здесь Лв — ширина частотного спектра процесса х. Корреляционная функция н спектр на выходе детектора. Корреляционная функция на выходе детектора уу, = а- "(х'х,') легко находится, если шум на входе — гауссовский и известна его корреляционная функция: +со Х=О, хх,=Во(т)=оо)то(т) $ 6о(в)е-'"'с(т. (5.22) Учитывая правило вычисления моментов гауссовского шума (см, (2.2.8), (2.2.10)), находим у = аоо, уу, =аз(оо+ 2В,' (т)1= аооо(1+ 2)тоо (т)1.

(5.2.3) Определим теперь выражение для спектра на выходе детектора: 6 (в) = -, — ~ уу, е' ' ~(т. ! Подставляя сюда (2) и (3) и интегрируя по т, получим 6(в)=аоооб(в)+2а' ~ 6о(в1)6о(в,— в)айви (524) СО где первое слагаемое описывает постоянную оставляющую у: 6о (в) ов = аооо = (у)о 6о (в) = аоо'5 (в), (5.2.4а) а второе — спектр флуктуаций у=у — у: 6 '(в) = 2а' ~ 6о(во) 6о(в,— в) с~во — (О (5.2.5) 6о" (в) дв = 2аооо. Так как процесс х предполагается ззкополосным и спектр 6,(в) соА)модоточен в узкой области частот Дв около в - '- вв то гл.

а. нелииепиые преоврлзовдиия шхмд из структуры подынтегрального выражения в (5) видно, что 6еа(в) будет заметно отличаться от нуля лишь при в 0 и со =., +' 2ао. Соответственно 64" (со) можно представить в виде двух компонент: 64" (а)=6„,(с )+6„(а), а именно, спектра низкочастотных флуктуаций 6»о(со) = 2сс ~ 6о(ат) 6о(⻠— со) с(а» (в 0) (5.2.5) и спектра высокочастотных флуктуаций 6„(со) = 2сса ~ 6о (со,) 6о (со, — со) йо, (в '+ 2во), (б 2.7) причем интенсивности низкочастотных и высокочастотных флуктуаций одинаковы и равны интенсивности постоянной составляющей: а„', = ~ 6«а (а) йо = аааа = д', «в1«о, 6,„(а) с(со = аааа = дв » а„= (см. (4а)).