А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 6

В результатетакого перемножения будет образован новый вектор B , ортогональныйrорту 1z ′ :r r rB = A × 1x ,который мы можем сопоставить с осью oX′. Опять же, можно определитьrкомпоненты разложения орта 1x ′ в основном базисе, аналогично тому, какrэто было сделано относительно орта 1z ′ . Эти компоненты будут равны36cos( x ′, x ) =ByBBx, cos( x ′, y ) =, cos( x ′, z ) = z .BBBrrДалее вновь векторно перемножим орты 1x ′ и 1z ′ . В результатетакого перемножения появится новый орт, который должен по своемуrнаправлению совпадать с ортом 1 y ′ . Поскольку результат векторногоумножения будет определяться порядком следования перемножаемыхвекторов, то их следует расположить так, чтобы была образована праваятройка:rrr1 y ′ = 1z ′ × 1x ′ .Так как компоненты разложения ортов новой системы координат поосям исходной системы равны своим проекциям на координатные осиисходной системы, то тем самым определена матрица прямого перехода Γ .Следующий этап будет заключаться в том, что нам нужно будетпересчитать координаты концов отрезка и координату точки наблюденияM0, заданных в исходной системе, в координаты новой системы:⎡ x⎤⎡ x ′⎤ ⎡cos( x ′, x ) cos( x ′, y ) cos( x ′, z )⎤ ⎡ x ⎤⎢ y ′⎥ = ⎢cos( y ′, x ) cos( y ′, y ) cos( y ′, z )⎥ ⎢ y ⎥ = Γ ⎢ y ⎥ ,⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎣ z ⎥⎦⎢⎣ z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ cos( z ′, x ) cos( z ′, y ) cos( z ′, z ) ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦⎡ξ1′ ⎤⎡ξ 1 ⎤⎢η ′ ⎥ = Γ ⎢η ⎥ ,⎢ 1⎥⎢ 1⎥⎢⎣ζ 1′⎥⎦⎢⎣ζ 1 ⎥⎦⎡ξ 2′ ⎤⎡ξ 2 ⎤⎢η ′ ⎥ = Γ ⎢η ⎥ .⎢ 2⎥⎢ 2⎥⎢⎣ζ 2′ ⎥⎦⎢⎣ζ 2 ⎥⎦Если все направляющие косинусы были вычислены верно, то в новойсистеме должны выполняться следующие равенства: ξ1′ = ξ 2′ , η1′ = η 2′ .

Еслиэто так, то теперь можно воспользоваться приведенными выше формуламидля вычисления компонент силы тяжести в новой системе координат.Получив значения компонент поля силы притяжения Vx′, Vy′, Vz′ врасчетной точке M0, можно вычислить компоненты этого поля в исходнойсистеме с помощью матрицы обратного перехода:⎡V x ⎤⎡V x′ ⎤⎢V ⎥ = Γ −1 ⎢V ⎥ .⎢ y⎥⎢ y′ ⎥⎢⎣Vz ⎥⎦⎢⎣Vz′ ⎥⎦Отметим также, что значение потенциала в точке наблюдения M0 независит от системы координат.373.Аналогичным образом можно вычислить и компоненты аномальногомагнитного поля создаваемого такой моделью.

В этом случае в новойсистеме координат необходимо будет рассчитать матрицу вторыхпроизводных Vi′j′ , где i′ и j′ принимают значения x′, y′, z′, а такжеrкомпоненты вектора линейной намагниченности m л в новой системеrкоординат. Вектор m л может быть определен аналогично тому, как былоrrопределено понятие линейной плотности, – m л = J ⋅ S , где S – площадьпоперечного сечения стержня.Далее, воспользовавшись матричным соотношением Пуассона,вычисляются компоненты аномального магнитного поля в новой системе,а затем осуществляется обратный переход к компонентам поля в исходнойсистеме координат.[ ]4.Рассмотрим изложенный алгоритм на примере расчета компонентаномального магнитного поля от двухмерной однородно намагниченнойпластины(тонкогопласта).Введемпонятиеповерхностнойrrнамагниченности, которую определим следующим образом m п = Jd , где d– толщина пласта. В исходной системе координат компоненты векторанамагниченности будут определяться его склонением D, наклонением i иазимутом профиля А:J x = J cos i cos( A − D ) , J y = J cos i sin( A − D ) , J z = J sin i ,rсоответственно будут определены и компоненты вектора m п .Для случая вертикального пласта можно получить выражения длявторых производных функции V:ζ2ζ1 2ζ −zd (ζ − z ) 2Vz ( x , z ) = 2 ∫dζ = 2 ∫=222 ζ 1 (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2ζ 1 (ξ − x ) + (ζ − z )[= ln (ξ − x )Vzz ( x , z ) =2[(ξ − x )+ (ζ − z ) ] = ln[(ξ − x )2 ζ2ζ1ζ1 − zζ2 − zζ1 − z ζ 2 − z−=[(ξ − x )2 + (ζ 1 − z )2 ] [(ξ − x )2 + (ζ 2 − z )2 ] R12 − R22 ,38]]+ (ζ 2 − z ) 2,2+ (ζ 1 − z ) 22V xz ( x , z ) =⎛ 11 ⎞ξ−xξ−x−= (ξ − x )⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ,2222[(ξ − x ) + (ζ 1 − z ) ] [(ξ − x ) + (ζ 2 − z ) ]⎝ R1 R2 ⎠где (ξ, ζ1, ζ2) – координаты, задающие положение пласта, R1 и R2 –расстояния от верхней и нижней кромок пласта до расчетной точки (x, z).Еслиположениепластаопределяется координатами (ξ1, ζ1)и (ξ2, ζ2), то можно ввести новуюсистему координат, у которойнаправлениеосиoZ′будетнаправлено по падению пласта.

Вrэтом случае компоненты орта 1z ′будут определены из соотношений:cos( z ′, x ) =ξ 2 − ξ1,Lζ −ζ1cos( z ′, z ) = 2,Lгде L – длина пласта, L = (ξ 2 − ξ1 ) 2 + (ζ 2 − ζ 1 ) 2 . Для того, чтобыполучить компоненты разложения орта 1x ′ , можно опять воспользоватьсявекторным умножением:rr r1x ′ = 1 y × 1z ′ .В результате получим:cos( x ′, x ) = cos( z ′, z ) =ζ 2 − ζ1Lcos( x ′, z ) = − cos( z ′, x ) = −,ξ 2 − ξ1L.Далее составляем матрицу преобразований координат:⎡cos( x ′, x ) cos( x ′, z )⎤Γ=⎢⎥,′′cos(z,x)cos(z,z)⎣⎦и с ее помощью рассчитываем положение пласта и расчетной точки M0 вновой системе координат.

Кроме того, с помощью этой же матрицыrрассчитываются и компоненты вектора намагниченности m п в новойсистеме координат:⎡ x ′⎤⎡ x⎤=Γ⎢ z′ ⎥⎢z⎥,⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ξ ′ ⎤⎡ξ ⎤=Γ⎢ζ ′⎥⎢ζ ⎥ ,⎣ ⎦⎣ ⎦39⎡ m ′пx ⎤⎡ m пx ⎤=Γ⎢ m′ ⎥⎢ m′ ⎥ .⎣ пz ⎦⎣ пz ⎦Затем определяются компоненты вектора аномального магнитного поля⎡ X ′⎤ µ 0 ⎡ − Vzz V xz ⎤ ⎡ m ′пx ⎤⎥ ⎢ m′ ⎥ ,⎢ Z ′ ⎥ = 4π ⎢ VV⎣ ⎦xzzz⎣⎦ ⎣ пz ⎦гдеVzz ( x ′, z ′) =ζ 1′ − z ′ ζ 2′ − z ′R12−R22,⎛ 11 ⎞V xz ( x ′, z ′) = (ξ ′ − x ′)⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟⎝ R1 R2 ⎠,и на заключительном этапе осуществляется вычисление компонент векторааномального магнитного поля в исходной системе координат′⎡X ⎤T ⎡X ⎤=Γ⎢ Z′⎥ .⎢Z⎥⎣ ⎦⎣ ⎦В учебниках и справочниках по магниторазведке приводятсяформулы для компонент аномального поля для случая наклонного пласта сглубоко залегающей нижней кромкой.

Стоит проделать приведенныевыкладки на бумаге и сравнить результат с тем, который дается вучебниках.5.Теперь рассмотрим случай прямоугольной плоской пластины,произвольно расположенной относительно системы координат. Расчетгравитационного или магнитного поля от такой модели будет основан натом, что вновь будет введена новая система координат, и в этой системеплоскость пластины будет параллельна одной из координатныхплоскостей, например плоскости oX′Y′. Тогда направление нормали к этойпластине будет совпадать с осью oZ′ новой системы.Здесь следует сделать следующие замечания. Во-первых, какизвестно плоскость можно провести только через три точки впространстве, если они не лежат на одной прямой.

Если же пластина имеетбольшее число вершин, то следует проверить, лежат ли все эти вершины водной плоскости. Поэтому основной формой пластин, с помощью которыхможно аппроксимировать поверхность любого тела, будут треугольники.Во-вторых, направление нормали будет зависеть от направления обходапластины.

Если пластина представляет собой многоугольник, то – отнаправления обхода вершин многоугольника. При этом направлениенормали определяется согласно правилу буравчика.40Таким образом, задавшисьнаправлением обхода, тем самымвыбираетсянаправлениенормали к этой пластине. Длятого, чтобы вычислить векторнормали достаточноr образоватьrдвавектораAиB,совпадающих со сторонамипластины и следующих друг задругом.

Векторное умножениепервого из нихr на второй дастновый вектор N , который будетим ортогонален, т.е. и будет являться вектором нормали к этой пластине иопределять направление оси oZ′. Положив одну из сторон такой пластинысовпадающей с осью oX′ и, приняв, что направление этой оси совпадает снаправлением обхода, определяем направляющие косинусы этой оси.Далее, вновь воспользуемся векторным умножением для определениянаправляющих косинусов оси oY′.

Дальнейшие вычисления будутаналогичны тем, которые были рассмотрены нами ранее.6.Как видим, введение новой системы координат оказываетсядейственным способом по упрощению моделей. При этом нетнеобходимости выписывать окончательные аналитические формулы длярасчетов элементов полей.7.Рассмотрим следующую возможность, с помощью которой можноупростить вывод аналитических формул для тел со сложнойконфигурацией.

Ясно, что основная проблема при выводе аналитическихформул от тел такой конфигурации состоит в необходимости взятиятройных интегралов (в трехмерных задачах) или двойных интегралов (длядвухмерных задач). Один из подходов, который позволяет в какой-тостепени избежать такой процедуры, состоит в понижении кратностиинтегралов, т.е. к переходу от объемных, тройных, интегралов кповерхностным, двойным, интегралам, от площадных, двукратных,интегралов – к контурным, однократным. Такое понижение кратностиинтегралов основано на формулах Остроградского–Гаусса, Грина, Стокса.8.Теорема Гаусса – Остроградского. Пусть функции P, Q, R и их∂ P ∂Q ∂ R,,непрерывны внутри области D и начастные производные∂x ∂y ∂zзамкнутой поверхности S, ограничивающей этот объем.