А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки (1156330), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Магниторазведка, - Л.: Недра, 1978. 352 с.Магниторазведка. Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990. 470 с.Миронов В.С. Курс гравиразведки. – Л.: Недра. 1980. 543 с.Серкеров С.А. Гравиразведка и магниторазведка.: Учеб. для вузов. –М.: ОАО «Издательство «Недра». 1999. 437 с.Лекция 2. Основные интегральные соотношения и поля элементарныхисточников (поле силы тяжести).При решении прямых задач, как гравиразведки, так имагниторазведки представляет интерес получить явные аналитическиевыражения для элементов полей от элементарных источников. К числутаких полей в первую очередь необходимо отнести потенциал силыгравитационного притяжения и его частные производные.Гравитационное поле.1.Как известно, потенциал силы гравитационного притяжения V вточке M0 точечного источника массой m, расположенного в точке M,определяется следующим образом:m,V (M0 ) = GrMM 0где G – гравитационная постоянная, rMM 0 – расстояние между этимиточками.Если в пространстве задана система точечных масс mi,расположенных в точках Mi, то потенциал такой системы будетопределяться суммой потенциалов всех точечных источников в точкенаблюдения M0:V ( M 0 ) = G∑imrM i M 0.Если в пространстве задана некоторая область D с плотностьюисточников δ(M), где M – координата точки внутри этой области, топотенциал притяжения, создаваемый таким объектом будет иметь вид:V (M0 ) = G∫D7δ ( M )dvrMM 0.Представленное уравнение для точек расположенных вне областиудовлетворяет уравнению Лапласа ∆V = 0 , а для внутренних точек –уравнению Пуассона ∆V = −4πGδ .
Зная потенциал притяжения, можноопределить поле силы притяжения, вычислив градиент этой функции:rg ( M ) = ∇V ( M ) = gradV ( M ) .Здесь стоит сделать следующее замечание. При определениинапряженности электрического или магнитного поля через их скалярныепотенциалы перед градиентом ставится знак минусr (например, длянапряженности электрического поля можно записать E = − gradU , где U –электрический потенциал). Это связано с тем, что положительные зарядыявляются источниками поля. В гравитационном поле наблюдаетсяобратная ситуация, силовые линии поля направлены к положительныммассам.
Этим и объясняется отсутствие знака “–” в приведенномвыражении.2.Введемдекартовусистемукоординат с осями, образующимиправую тройку. В этой системеположение точки наблюдения M0 будетопределяться координатами (x,y,z), аточки M – координатами (ξ,η,ζ). Тогда,расстояние между точкой M и точкойM0, будет равноrMM 0 = (ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 ,и для полученных ранее выражений для потенциала можем записать:– потенциал точечного источника:V ( x, y, z ) = Gm(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2;– потенциал объемного источника:V ( x, y, z ) = G ∫Dδ (ξ ,η ,ζ ) dξdηdζ.(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2Уравнение Лапласа в этой системе координат будет иметь вид:∆V =∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V++ 2 = 0,∂x 2 ∂y 2∂z8а напряженность гравитационного поля будет определяться через первыечастные производные потенциала:∂V∂V∂Vrg = ∇V = gradV =1x +1y +1z .∂x∂y∂zОтметим, что частные производные потенциала силы притяжения вгравиметрии принято обозначать следующим образом:∂V∂V∂V= Vx ,=Vy ,= Vz ,∂x∂y∂z∂ 2V∂ 2V∂ 2V=== V xz , иVV,,xxxy∂x∂y∂x∂z∂x 2т.д.Продифференцировав выражение для потенциала точечного источника,получим выражения для Vx, Vy, Vz:V x ( M 0 ) = V x ( x, y, z ) =∂V= Gm∂x(ξ − x )[(ξ − x )2+ (η − y ) 2 + (ζ − z )]32 2= Gm(ξ − x )3rMM0,V y ( M 0 ) = Gm(η − y )(ζ − z ), V z ( M 0 ) = Gm 3.3rMM 0rMM 0Соответственно, для объемного источника –V x ( M 0 ) = G ∫ δ (ξ ,η ,ζ )DV y ( M 0 ) = G ∫ δ (ξ ,η ,ζ )DVz ( M 0 ) = G ∫ δ (ξ ,η ,ζ )D(ξ − x )dξdηdζ ,3rMM0(η − y )dξdηdζ ,3rMM0(z − ζ )dξdηdζ .3rMM0Произведя дальнейшее дифференцирование можно получить выражениядля вторых частных производных Vxx, Vyy, Vzz, Vxy, Vxz, Vyz.Проанализировав полученные выражения, можно, в частности, убедиться втом, чтоVxy = Vyx,Vxz = Vzx,Vzy = Vyz.3.В практике гравиразведки особое значение имеет возможностьвычисления производной Vz, поскольку при направлении координатной9оси oZ вниз по направлению вектора силы тяжести, эта производнаяхарактеризует аномальное поле ∆g, создаваемое изучаемым объектом.Здесь мы уже приходим к понятию модельности, а именно, мы считаем,что в пределах исследуемой области, вектор силы тяжести направленвертикально вниз и не меняет своего направления.
В то же время, прирешении региональных задач, когда исследуемая площадь такова, чтонеобходимо учитывать кривизну Земли, аномальное поле, создаваемоеобъектом, следует рассчитывать как проекцию на внутреннюю нормаль креференс-эллипсоиду (эллипсоиду, аппроксимирующему фигуру Земли).Здесь также возможно упрощение, которое состоит в том, что фигуруЗемли можно представить в виде сферы, и рассчитывать проекцию силыпритяжения, создаваемой объектом, на радиус Земли, считая, что векторсилы тяжести направлен по нему.4.Еще одно упрощение модели – переход от трехмерных объектов кдвухмерным.
Понятие двухмерности предполагает, что объект вытянутвдоль одной из осей на бесконечность, и его свойства вдоль этой оси неменяются. Хотя в природе таких объектов и не существует, тем не менее,такая модель оказывается очень удобной при рассмотрении вытянутыхобъектов, поперечные размеры которых в несколько раз меньше ихпродольных.Получим выражение компонентаномальногополяпритяжениябесконечнойматериальнойлинии,вытянутой вдоль оси oY. Это выражениеможно получить путем интегрированияполя точечного источника массой dm.Предполагая, что материальная линияимеет постоянную линейную плотность δл,элемент массы этой линии можнопредставить в виде dm = δ л dη . Тогда дляточки M с координатами (x,y,z) можемзаписатьVz ( x , y , z ) = Gδ лζ −z∞∫−∞[(ξ − x )2∞= Gδ л (ζ − z ) ∫−∞[(ξ − x )+ (η − y ) + (ζ − z )122+ (η − y ) + (ζ − z )2]32 2]dη =32 2d (η − y ) .Возьмем этот интеграл с помощью замены переменных.
Для этого введемобозначения: a 2 = (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 , η − y = a tgϕ . При такой замене10пределыинтегрированияd (η − y ) = aбудутизменяться−от1dϕ :cos 2 ϕπ2доπ2,иπ∞1∫−∞(a2+ (η − y ))32 22∫πd (η − y ) =−2π=1∫πa 3 (1 + tg 2ϕ )2231adϕ =cos 2 ϕπ1= 2a(a2+ a 2 tg 2ϕ )32a1dϕ =cos 2 ϕπ2−12∫π−13⎛ 1 ⎞22 a2⎜⎜ cos 2 ϕ ⎟⎟⎝⎠1dϕ =cos 2 ϕπ2122∫π cosϕ dϕ = a 2 (sin ϕ ) −2π = a 2 = (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 .2−2Обратим внимание, что полученное выражение не зависит от значения y. Сучетом этого окончательно для Vz можем записать:Vz ( x , z ) = 2Gδ лζ −z.(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2Для компоненты Vx справедлива следующая запись:V x ( x , z ) = 2Gδ лξ−x.(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2Полученные выражения являются первыми частными производнымиот функции[]V ( x , z ) = −Gδ л ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 = −2Gσ л ln rMM 0 ,где rMM 0 = (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 – расстояние между координатой точкиM(ξ,ζ), в которой расположена бесконечная материальная линия, и точкойнаблюдения M0(x,z).
Полученная функция – потенциал бесконечнойматериальной линии, и она носит название логарифмического потенциала.В отличие от потенциала точечного источника, потенциал бесконечнойлинии при удалении от нее возрастает. Такая ситуация физически невозможна, но и бесконечной материальной линии в природе также несуществует, это – математическая модель.11Можно записать выражения для потенциала и компонент поля силыпритяжения, создаваемой двухмерной областью D:[]V ( M 0 ) = −2G ∫ δ ( M ) lnrMM 0 dS = −G ∫ δ (ξ ,ζ ) ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 dξdζ ,DDξ−xdξ dζ ,(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2Dζ −zVz ( x , z ) = 2G ∫ δ (ξ ,ζ )dξdζ .22−+−(ξx)(ζz)DV x ( x , z ) = 2G ∫ δ (ξ ,ζ )В этих выражения δ – объемная плотность источников, зависящая толькоот двух координат.Как и в случае трехмерной задачи, можно показать, что вторыечастные производные удовлетворяют условию Vxz=Vzx.
Кроме того,поскольку потенциал и его производные не зависят от координаты y, тоуравнение Лапласа для таких моделей будет следующим:V xx + V zz = 0 .Следовательно, в области, свободной от источников, для двухмерноймодели Vxx = –Vzz.5.В практике гравиразведки и магниторазведки иногда используютпонятие 2,5–мерных моделей. Такие модели предполагают, что онивытянуты вдоль оси oY на одинаковое расстояние от начало координат, иих свойства зависят только от координат x и z.
По сути дела такие моделиявляются частным случаем трехмерных моделей, и по этой причине вдальнейшем мы их рассматривать не будем.6.Рассмотрим самые элементарные модели, используемые приаппроксимации реальных геологических объектов, и поля создаваемыеими. В ряде случаев для нас будет представлять интерес не тольковыражения для компонент поля силы притяжения, создаваемые такимителами, но и выражения для потенциала, поскольку, получив егоаналитическое выражение всегда можно вычислить его частныепроизводные.–Сфера радиусом R с постоянной плотностью δ. В общем курсегравиразведки показывалось, что поле такой сферы совпадает с полемточечного источника, расположенного в центре этой сферы, и с массой m,равной ее массе:12V ( M 0 ) = V ( x, y, z ) = GmrMM 01⎛4⎞= G ⎜ πR 3δ ⎟⎝3⎠ (ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2[]12.Первые частные производные потенциала такой модели также совпадают счастными производными потенциала точечного источника.–Материальныйстержень(материальная линия) с постояннойδл.линейнойплотностьюДостаточнопростополучитьвыражение потенциала для линии,расположенной вдоль одной изосей.
Так, например, если стерженьрасполагается по оси oX, икоординаты его начала и конца – ξ1и ξ2 соответственно, то выражениедля потенциала будет полученопутем решения следующего интеграла:ξ2V ( M 0 ) = Gδ л ∫ξ11[(ξ − x )2+ y2 + z2[dξ = Gδ л ln (ξ − x ) + (ξ − x ) 2 + y 2 + z 21]2]ξ2ξ1.Таким образом, для стержня, расположенного вдоль оси oX, можнозаписать:V ( M 0 ) = Gδ л ln(ξ 2 − x ) + R2,(ξ1 − x ) + R1где R1 и R2 – расстояния от начала и конца отрезка до точки наблюденияM0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
