А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки (1156330), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3 – 87.Лекция 5. Прямая задача гравиметрии и магнитометрии дляпроизвольных однородных многогранников.В предыдущей лекции были рассмотрены способы, позволяющиеупростить общие выражения для решения прямых задач гравиметрии имагнитометрии. К этим способом относятся два основных подхода –переход к новой системе координат и понижение кратности интегралов,описывающих прямой эффект от заданного объемного распределенияплотности или намагниченности.В этой лекции рассмотрим, каким образом применение этихподходов может позволить получить аналитические выражения элементовгравитационного и магнитного полей от объемных (трехмерных) тел.
Этотвопрос нами будет рассмотрен на примере однородного как по плотности,так и по намагниченности многогранника, ограниченного плоскимигранями. Эта модель – одна из наиболее распространенных моделей, спомощью которой аппроксимируются реальные геологические тела.Частный случай такой модели – прямоугольный параллелепипед.Поскольку решение прямой задачи магнитометрии при нашихпредположениях о постоянной намагниченности тела тесно связано срешением прямой задачи гравиметрии, то рассмотрение этой задачиначнем с определения элементов гравитационного поля.1.Введемдекартовусистемукоординат (правую).
В этой системекоординатопределимположениемногогранника произвольной формы.Объем, занятый этим многогранником,будем обозначать как DQ, где Q – числограней Sq этого многогранника. ГраньSq имеет Nq вершин и, соответственностолько же ребер.При рассмотрении гравитационного поля для нас, как ужеотмечалось, будут представлять интерес выражения для гравитационногопотенциала, создаваемого эти многогранником, и его первые и вторыепроизводные. Потенциал силы тяжести для нас имеет не толькотеоретическое значение, поскольку путем дифференцирования мы можемопределить его частные производные, но и практическое.
Это связано стем, что с появлением спутниковой альтиметрии, в настоящее время свысокой точностью измерено превышение невозмущенной поверхностиморей и океанов относительно эллипсоида относимости. Как известно, этопревышение ∆N связано со значением аномального потенциала силы48тяжести ∆V, создаваемого плотностными неоднородностями внутри Земли,и с большой степенью точности эти превышения описываютсясоотношением Брунса:∆N ≈∆V,gгде g – значение силы тяжести. Таким образом, превышения поверхностиокеана – новый вид информации о гравитационном поле, который такжеможет интерпретироваться, как и поле силы тяжести.2.В общем виде потенциал многогранника с постоянной плотностью δбудет описываться соотношением:V ( M 0 ) = Gδ∫rDQ1dv ,MM 0где M0(x,y,z) – координата точки наблюдения, M(ξ,η,ζ) – координата точкиинтегрирования, rMM 0 – расстояние между этими точками, DQ – область,занятая многогранником с Q гранями.
Для того чтобы понизить кратностьинтеграла, следует воспользоваться формулами Остроградского–Гауссаили формулами Грина. Напомним выражение этих формул в векторнойформулировке:rr rdivAdv=A∫∫ ⋅ dS ,rgradadv=adS∫∫ ,DSDS∂b∫ (a∆b + grad a ⋅ grad b)dv = ∫ a ∂n dSDDS– 1-ая формула Грина,S∂a ⎞⎛ ∂b∫ (a∆b − b∆a )dv = ∫ ⎜⎝ a ∂n − b ∂n ⎟⎠dSDrr rrotAdv=dS∫∫ × A;– 2-я формула Грина.SТаким образом, поскольку под знаком интеграла стоит скалярная функция1, то ее следует представить или как дивергенцию некоторого вектора,rMM 0или как лапласиан скалярной функции.Можно показать, что1rMM 01= ∆ M rMM 0 ,249где знак ∆ M показывает, что дифференцирование ведется по координатамточки интегрирования M, т.е.
по координатам (ξ,η,ζ). Справедливостьэтого тождества стоит проверить самостоятельно.Воспользовавшись любой из формул Грина и положив в ней a = 1 ,получим:V ( M 0 ) = Gδ∫rDQ1MM 0∂rMM 01δδ Q ∂rMM 0dv = Gδ ∫ ∆rMM 0 dv = G ∫dS = G ∑ ∫dS2 DQ2 ∂DQ ∂n2 q =1 Sq ∂nq.В результате преобразованийнами получено подинтегральное∂rMM 0выражение,которое∂nqозначает, что следует вычислитьпроизводную от расстояния rMM 0по направлению вектора нормалиq–ой грани. Напомним, что векторнормали направлен из объема,занятого многогранником, наружу.Для того чтобы вычислитьтакую производную следует ввестиновую систему координат, уqкоторой ось oZ будет совпадать с направлением нормали к q–ой грани.Естественно, что для каждой грани многогранника эта система будет своя.Поскольку расстояние rMM 0 не зависит от системы координат, т.е.rMM 0 = (ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 = (ξ q − x q ) 2 + (η q − y q ) 2 + (ζ q − z q ) 2,и в этой новой системе координат производная по нормали будетсоответствовать производная по переменной ζq, то∫SqВычислим производную∂rMM 0∂nq∂rMM 0∂ζ qdS =∫Sq:50∂rMM 0∂ζ qdS .∂rMM 0∂ζq=∂∂ζq(ξ q − x q ) 2 + (η q − y q ) 2 + (ζ q − z q ) 2 =ζ q − zqζ q − zq.==rMM 0(ξ q − x q ) 2 + (η q − y q ) 2 + (ζ q − z q ) 2На основании проведенных выкладок и с учетом того, что в новойсистеме координат, связанной с q–ой гранью, величина (ζ q − z q ) являетсявеличиной постоянной, для потенциала силы притяжения получимследующее представление:V (M0 ) = GδQ∑2 ∫q =1 Sqζ q − zqrMM 0dS = GδQ∑ (ζ2q =1q− zq ) ∫1rdS .Sq MM 0Введем понятие потенциала силы притяжения q–ой пластины с единичнойповерхностной плотностью:Vq ( M 0 ) = G ∫1Sq rMM 0dS .Тогда для потенциала многогранника можем записать:V (M0 ) =δQ∑ (ζ2q =1q− z q )Vq ( M 0 ) .Таким образом, потенциал многогранника определяется черезпотенциалы его граней.2.Из полученного соотношения для потенциала силы притяжениялегко получить выражения для его производных.
Для этого необходимовспомнить, что при переходе из одной системы в другую, координатыпреобразуются согласно следующему соотношению:⎡ x⎤⎡ x ′⎤ ⎡cos( x ′, x ) cos( x ′, y ) cos( x ′, z )⎤ ⎡ x ⎤⎢ y ′⎥ = ⎢cos( y ′, x ) cos( y ′, y ) cos( y ′, z )⎥ ⎢ y ⎥ = Γ ⎢ y ⎥ .⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢′′′⎢⎣ z ⎥⎦⎢⎣ z ′ ⎥⎦ ⎢⎣ cos( z , x ) cos( z , y ) cos( z , z ) ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦Так значение z′ связано с координатами исходной системы следующимобразом:51z ′ = cos( z ′, x ) x + cos( z ′, y ) y + cos( z ′, z ) z = cos( z ′, ri )ri = γ z′i ri .Здесь при окончательной записи использовано соглашениесуммировании, ri может принимать значения x, y, z; γz′i = cos(z′,ri). Тогдао∂V ( M 0 ) δ Q ∂(= ∑(ζ q − z q )Vq ( M 0 )) =2 q =1 ∂ri∂ri=δ⎛QQ⎜⎜ ∑ − γ z q iVq ( M 0 ) + ∑ (ζ q − z q )2 ⎝ q =1q =1∂Vq ( M 0 ) ⎞⎟⎟ .∂ri⎠В частности, для вертикальной составляющей поля это выражение будетиметь вид:Q∂Vq ( M 0 ) ⎞∂V ( M 0 ) δ ⎛ Q⎟⎟ .= ⎜⎜ ∑ − cos( z q , z )Vq ( M 0 ) + ∑ (ζ q − z q )2 ⎝ q =1∂z∂zq =1⎠Отметим, что величина h q = (ζ q − z q ) равна высоте точки наблюдения M0над плоскостью q–ой грани.
В зависимости от того, выше или ниже этойплоскости расположена точка M0, будет определяться и ее знак.r3.Еще более простое соотношение для поля силы тяжести g можнополучить на основе теоремы О.–Г. Проведем соответствующие выкладки:⎛⎞11rg ( M 0 ) = gradV ( M 0 ) = grad ⎜ Gδ ∫dv ⎟ = Gδ ∫ grad M 0dv =⎜⎟rrMMMMDD00QQ⎝⎠= −Gδ∫ gradDQM1rMM 0dv = −Gδ∫∂DQ1rMM 0rQr1nqdS = −Gδ ∑ ∫dS .q =1 Sq rMM 0Поскольку для q–ой грани направление вектора нормали величинапостоянная, то выражение для поля силы тяжести приобретает вид:QQ1rrrg ( M 0 ) = −Gδ ∑1nq ∫dS = −δ ∑1nq Vq ( M 0 ) ,q =1q =1Sq rMM 0где Vq – потенциал q–ой грани с единичной поверхностной плотностью.Выпишем вертикальную компоненту поля:52gz ( M 0 ) =Q∂V ( M 0 )= −δ ∑ cos( z q , z )Vq ( M 0 ) .∂zq =1Очевидно, что полученное нами выражение компонент гравитационногополя на основе формулы О.–Г.
имеет более простой вид по сравнению сформулой полученной на основе дифференцирования потенциала силыпритяжения. Помимо всего прочего, можно отметить и такой фактQQ∑ − cos( z , z )Vq ( M 0 ) = ∑ (ζ q − z q )qq =1∂ Vq ( M 0 )q =1∂z,что само по себе совсем не очевидно.4.Вторые производные потенциаласледующими соотношениями:могутбытьпредставлены∂ Vq ( M 0 ) Q∂Vq ( M 0 ) Q q∂ 2Vq ( M 0 ) ⎞∂ 2V ( M 0 ) δ ⎛⎜ Qq⎟=− γ z q ,i+ ∑ − γ zq , j+ ∑ (ζ − z )∑⎜∂ri ∂r j∂r j∂ri∂ri ∂r j ⎟⎠2 ⎝ q =1q =1q =1или, что более просто,QQ∂ Vq ( M 0 )∂Vq ( M 0 )∂ 2V ( M 0 ).= −δ ∑ γ z q ,i= −δ ∑ cos( z q , ri )∂r j∂ri ∂r j∂r jq =1q =15.Таким образом, как для вычисления гравитационного потенциаламногогранника, так и его частных производных необходимо уметьвычислять потенциал и поле силы притяжения многоугольной пластины.Следует отметить, что сама по себе многоугольная пластина являетсяпопулярной аппроксимационной фигурой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
