А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 5

Из теоремы косинусов следует,чтоT 2 = T02 + Ta2 − 2T0Ta cosα = T02 + Ta2 + 2T0Ta cos γ ,где γ - угол между векторами нормального и аномального магнитныхполей. Далее можем сделать следующие преобразования:Ta2TT = T + T + 2T0Ta cos γ = T (1 + 2 + 2 a cos γ ) =T0T0202a20Ta2T= T0 1 + 2 + 2 a cos γ .T0T0С учетом того, что значение нормального поля T0 много больше значенияTTa , то a много меньше единицы. Тогда, разложив радикал в ряд иT0пренебрегая членами высокого порядка, получим:T21 TT = T0 (1 + ( 2 a cos γ + a2 ) − ⋅ ⋅ ⋅) ≈ T0 + Ta cos γ .2 T0T029В то же время T=T0+∆T, и,соответственно, ∆T = Ta cos γ .

Такимобразом, для слабых аномальных полейвеличину ∆T можно считать проекциейаномального поля на направлениенормального поля:r rr∂U∆T = Ta ⋅ 1t 0 = − gradU ⋅ 1t 0 = −.∂t 0rгде орт 1t 0 характеризует направление нормального поля T0, U – потенциаланомального магнитного поля.Такое представление поля активно используется при созданииалгоритмов трансформаций и решения обратных задач магниторазведки. Вто же время не надоr забывать о том, что, представляя поле ∆T какпроекцию вектора Ta на вектор нормального поля, нами допускаетсяошибка. И эта ошибка будет тем больше, чем выше значение аномальногополя.6.Как и в гравиразведке, в магниторазведке широко используютсядвухмерные модели.

При рассмотрении двухмерных тел вводится системакоординат, у которой ось oX направлена вкрест простирания тела исовпадает с направлением расчетного профиля, ось oZ – вниз. В этойсистеме координат аномальное магнитное поле не будет зависеть откоординаты y, и, следовательно, компонента аномального поля X будетсовпадать с горизонтальной составляющей аномального магнитного поля.Для вычисления поля ∆T в этом случае, необходимо компонентуполя X разложить на северную и восточную составляющие.

Длявычисления этих компонент следует задаться азимутом профиля A, т.е.задать угол между направлением на географический север и направлениемрасчетного профиля.Таким образом, если при рассмотрении поля силы тяжестипространственное положение профиля не имеет значения, то прирассмотрении аномальных магнитных полей их вид будет зависеть отазимута профиля.7.Как уже отмечалось, при интерпретации как гравитационных, так имагнитных аномальных полей используется принцип модельности. Этотпринцип заключается в том, что реальное геологическое тело может бытьпредставлено в виде суммы простых (элементарных) тел. Еще однодопущение состоит в том, что намагниченность тела имеет постояннуювеличину, т.е. постоянное значение и направление. В этом случае длярешения прямой задачи магниторазведки возможно воспользоваться30соотношением Пуассона о связи гравитационного и магнитногопотенциала. С учетом того, что под магнитным полем мы понимаеминдукцию, это выражение приобретет вид:U ( M 0 ) = − µ0()r1I ⋅ gradV ( M 0 ) .4πGδДля того, чтобы в дальнейшем при выводе формул не писать1представим потенциал V в виде:коэффициент Пуассона4πGδV (M0 ) =1∫D rMMdv ,0Это выражение с точностью до коэффициента Gδ совпадает с выражениемдля гравитационного потенциала.

В этом случае соотношение Пуассонаприобретет вид:U(M0 ) = −µ0 r(I ⋅ gradV ( M 0 )) .4πКомпонентная запись этого выражения будет выглядеть следующимобразом:U(M0 ) = −µ0(I xV x + I yV y + I zVz ),4πгде под Vx, Vy, Vz, как и в случае гравитационного потенциала, понимаютсяпервые частные производные потенциальной функции V. Посколькуаномальное магнитное поле Ta определяется через градиент потенциалаrrrrTa ( M 0 ) = − gradU ( M 0 ) = X 1x + Y 1 y + Z1z ,то, для компонент магнитного поля, создаваемого изолированнымобъектом, можем записать:µ0(I xV xx + I yV yx + I zVzx ),4πµY = 0 (I xV yx + I yV yy + I zVzy ),4πµZ = 0 (I xVzx + I yVzy + I zVzz ) .4πX=31Полученные соотношения удобно представить в матричном виде:⎡X ⎤⎢Y ⎥ = µ0 I⎢ ⎥ 4π x⎢⎣ Z ⎥⎦[Iy⎡V xx V xy V xz ⎤ ⎡ I x ⎤⎡V xx V yx Vzx ⎤⎡I x ⎤⎥ ⎢ ⎥ µ0 ⎢ ⎥⎢⎥ µ0 ⎢I z ⎢V xy V yy Vzy ⎥ =V yx V yy V yz ⎥ ⎢ I y ⎥ =Γ Iy4π ⎢4π ⎢ ⎥⎢Vzx Vzy Vzz ⎥ ⎢⎣ I z ⎥⎦⎢V xz V yz Vzz ⎥⎢⎣ I z ⎥⎦⎣⎦⎣⎦.]Отметим еще раз, что Vxy=Vyx, Vxz=Vzx, Vyz=Vzy.

Таким образом, матрица Γпредставляет собой симметричный тензор.Из полученных соотношений следует, что решение прямой задачимагниторазведки тесно связано с решением прямой задачи гравиразведки,а именно, компоненты аномального магнитного поля выражаются черезвторые производные гравитационного потенциала создаваемого тем жеобъектом, при условии, что этот объект имеет постояннуюнамагниченность.8.Рассмотрим, как будутвыглядетьполученныесоотношениявслучаедвухмерной задачи. В этомслучае, предполагая, что телосзаданнойпостояннойнамагниченностью вытянутовдоль оси oY, получим:⎡V xx⎡X ⎤⎢Y ⎥ = µ0 ⎢ 0⎢ ⎥ 4π ⎢⎢⎣Vzx⎢⎣ Z ⎥⎦0 V xz ⎤ ⎡ I x ⎤0 0 ⎥⎥ ⎢⎢ I y ⎥⎥ .0 Vzz ⎥⎦ ⎢⎣ I z ⎥⎦Такая запись отражает тот факт, что поле вдоль оси oY не меняется, и всечастные производные функции V по переменной y будут равны нулю.Таким образом, для двухмерной задачи мы можем записать:⎡ X ⎤ µ 0 ⎡V xx V xz ⎤ ⎡ I x ⎤⎥⎢ ⎥ ,⎢ Z ⎥ = 4π ⎢V⎣ ⎦⎣ zx Vzz ⎦ ⎣ I z ⎦или, с учетом того, что вне источника для двухмерных моделей Vxx=–Vzz,⎡ X ⎤ µ 0 ⎡ − Vzz V xz ⎤ ⎡ I x ⎤⎥⎢ I ⎥ .⎢ Z ⎥ = 4π ⎢ VV⎣ ⎦zz ⎦ ⎣ z ⎦⎣ zx32Из полученного результата вытекает следующий вывод.

Двухмерноетело может быть намагниченным, но если эта намагниченность имеетнаправление вдоль него, то такой объект не создают магнитного поля.Интенсивность магнитного поля будут определяться компонентаминамагниченности Ix и Iz в этой системе координат. Соответственно можноговорить об эффективной намагниченности Iэф объекта и об угле наклонаэтой намагниченности:I эф = I x2 + I z2 ,i ′ = arctgIz.Ix9.В качестве примера рассмотрим только одну модель – модельоднороднонамагниченнойсферырадиусомR.Компонентыгравитационного поля такой модели имеют вид:V x ( x , y , z ) = Gm(ξ − x )(η − y )(ζ − z ),,,()()==VMGmVMGm00yz333rrrMMMMMM0004где m – масса сферы: m = πR 3δ .

Для этой модели можно ввести понятие3 rмагнитного момента сферы M :r r4M = I πR 33Для вторых частных производных гравитационного потенциала (без учетакоэффициента Gm) можно получить:V xx ( M 0 ) =23(ξ − x ) 2 − rMM05rMM0V zz ( M 0 ) =V xz ( M 0 ) =, V yy ( M 0 ) =23(η − y ) 2 − rMM023(ζ − z ) 2 − rMM05rMM05rMM0,3(ξ − x )(ζ − z )3(η − y )(ζ − z ),,()=VM0yz55rrMMMM 003(ξ − x )(η − y ).V xy ( M 0 ) =5rMM033,Соответственно для вычисления компонент аномального поля надовоспользоваться матричным соотношением:⎡V xx V xy V xz ⎤ ⎡ M x ⎤⎡X ⎤⎥⎢⎥⎢ Y ⎥ = µ 0 ⎢VVVMyyxyyyz⎢⎥⎢⎥.⎢ ⎥ 4π⎢Vzx Vzy Vzz ⎥ ⎢⎣ M z ⎥⎦⎢⎣ Z ⎥⎦⎣⎦Совершенно ясно, что нет смысла выписывать окончательныеформулы для каждой из компонент отдельно, поскольку они будут иметьгромоздкий вид.Точно также можно получить выражения для компонентаномального магнитного поля и для других моделей, рассмотренных впредыдущей лекции, в том числе и для двухмерных.Литература.1.

Блох Ю.И. Решение прямых задач гравиразведки и магниторазведки.:Учеб. пособие. – М: МГГА. 1993. 79 с. (www.sigma3d.com).2. Блох Ю.И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий.:Учеб. пособие. 2009. 232 с. (www.sigma3d.com).3. Логачев А.Г., Захаров В.П. Магниторазведка, – Л.: Недра, 1978. 352 с.4. Магниторазведка.

Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990. 470 с.5. Серкеров С.А. Теория гравитационного и магнитного потенциалов. –М.: Недра. 1991. 303 с.6. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. – М., Мир, 1986. 528 с.7. Яновский Б. М. Земной магнетизм. Учебное пособие. Изд. 4-е, перераб.и дополн. Под ред. В. В. Металловой. – Л., Изд-во Ленингр. ун-та.1978. 592 с.Лекция 4. Преобразование систем координат, формулаОстроградского-Гаусса, формулы Грина.В предыдущих лекциях нами были получены выражения длякомпонент гравитационного поля, создаваемого элементарными моделями,а также было показано, как можно вычислять компоненты аномальногомагнитного поля на основе соотношения Пуассона. Рассмотренные моделихарактеризовались тем, что их форма и положение имели частный случай.Так материальный стержень располагался вдоль одной из координатныхосей, стороны прямоугольной пластины и призмы также совпадали снаправлением координатных осей.

В тоже время в практике решенияпрямых задач возникает необходимость рассчитать эффекты от тех жемоделей, например, от прямоугольной призмы, но при этом ребра этойпризмы не должны быть параллельны осям координат. Кроме того,34желательнополучитьаналитическиевыраженияэлементовгравитационного и магнитного поля от более сложных моделей, чем былирассмотрены в предыдущих лекциях. Решение таких задач основано наследующих приемах – переход от одной системы координат к другой ипонижение кратности интегралов.1.Введемдекартовусистемукоординат, и пусть в этой системеrкоординат задан вектор A .

Тогда вэтой системе вектор можно разложитьпо базису, и компоненты вектора будутравны Ax, Ay, Az. Введем новуюсистему координат, оси которой будутповернутынанекоторыеуглыотносительно исходной системы. Вэтой новой системе вектор такжеможет быть разложен на своикомпоненты Ax′ , Ay′ , Az′ . Связь междукомпонентами вектора в новом и старом базисе осуществляется на основесоотношений:⎡ Ax ⎤⎡ Ax′ ⎤ ⎡cos( x ′, x ) cos( x ′, y ) cos( x ′, z )⎤ ⎡ Ax ⎤⎢⎥⎢ ⎥ ⎢′, x ) cos( y ′, y ) cos( y ′, z )⎥ A y = Γ ⎢ A y ⎥ ,Acos(y=′y⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎣ Az ⎥⎦⎢⎣ Az′ ⎥⎦ ⎢⎣ cos( z ′, x ) cos( z ′, y ) cos( z ′, z ) ⎥⎦ ⎢⎣ Az ⎥⎦⎡ Ax ′ ⎤⎡ Ax ⎤ ⎡cos( x , x ′ ) cos( x , y ′ ) cos( x , z ′ )⎤ ⎡ Ax′ ⎤⎥⎢ ⎥ ⎢−1 ⎢′′′ ⎥⎢ ⎥⎢ A y ⎥ = ⎢cos( y , x ) cos( y , y ) cos( y , z )⎥ ⎢ A y′ ⎥ = Γ ⎢ A y′ ⎥ .⎢⎣ Az′ ⎥⎦⎢⎣ Az ⎥⎦ ⎢⎣ cos( z , x ′ ) cos( z , y ′ ) cos( z , z ′ ) ⎥⎦ ⎢⎣ Az′ ⎥⎦Отметим, что матрица обратного перехода Γ −1 совпадает странспонированной матрицей Γ : Γ −1 = Γ T .

Кроме того, необходимо такжеотметить, что модуль вектора при переходе от одной системы координат кдругой не меняет своего значения, это – инвариант.2.Рассмотрим в качестве примера, как можно воспользоваться этимисоотношениями для того, чтобы получить компоненты гравитационного имагнитного поля от стержня. Нами были получены выражения длякомпонент силы притяжения для случая, когда этот стержень располагалсявдоль одной из координатных осей.

Так, если стержень располагаетсявдоль оси oZ, эти соотношения будут иметь вид (ξ, η – координатыположения стержня в плоскости oXY, ζ1 и ζ2 – координаты верхнего инижнего концов стержня):35(ζ 2 − z ) + [ x 2 + y 2 + (ζ 2 − z ) 2 ]1 / 2(ζ 2 − z ) + R2lnV ( M 0 ) = Gσ л ln=Gσ,л(ζ 1 − z ) + R1(ζ 1 − z ) + [ x 2 + y 2 + (ζ 1 − z ) 2 ]1 / 2⎛ 11 ⎞⎟⎟ ,−Vz ( M 0 ) = Gσ л ⎜⎜RR⎝ 12 ⎠⎛ζ1 − z ζ 2 − z ⎞(ξ − x )⎜⎟,V x ( M 0 ) = Gσ л−22 ⎜R2 ⎟⎠(ξ − x ) + (η − y ) ⎝ R1V y ( M 0 ) = Gσ л(η − y )⎛ζ1 − z ζ 2 − z ⎞⎜⎟.−R2 ⎟⎠(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 ⎜⎝ R1Пусть (ξ1, η1, ζ1) и (ξ2, η2,ζ2) – координаты концовстержня.

Для того, чтобывоспользоваться приведеннымисоотношениями, следует ввестиновую систему координат, укоторой, например, ось oZ′будетнаправленавдольстержня.Дляэтогоудобновоспользоватьсявекторнойrалгеброй. Образуем вектор A ,начало которого будет совпадать с началом нашего стержня, а конец – сего окончанием. Будем предполагать, что его направление совпадает сrновой осью oZ′ . Тогда компоненты единичного вектора 1z ′ будут равны:cos( z ′, x ) =ξ 2 − ξ1A, cos( z ′, y ) =η 2 − η1A, cos( z ′, z ) =ζ 2 − ζ1A.Чтобы определить направление других осей, векторно перемножимrrвектор A с любым другим ортом, например, с ортом r1x .