А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 4

К числу такихмоделей могут относиться тела сложной формы и с заданным закономраспределения плотности.Конечно, при решении интегралов следует пользоваться таблицамиинтегралов,вкоторыхрассмотреномножестворазличныхподынтегральных выражений, в число которых входят и выражения,описывающие гравитационный потенциал тел. Кроме того, в настоящеевремя существуют мощные математические вычислительные системы,такие, как MATCAD или MATLAB, которые позволяют аналитическивзять интеграл практически от любой функции, не задумываясь над темкак это делается. Однако, как уже отмечалось, получаемые частныевыражения таких интегралов не всегда могут оказаться оптимальными свычислительной точки зрения.

Этот вопрос будет рассмотрен нами вдальнейшем.Литература.1. Бронштейн И.Н, Семендяев К.А. Справочник по математике дляинженеров и учащихся втузов. – М.: Наука. 1981. 720 с.2. Голиздра Г.Я. Основные методы решения прямой задачигравиразведки на ЭВМ. – Обзор ОНТИ ВИЭМС. Сер. Регион., развед.и промысл. геофиз. М. 1977. 99с.3. Гравиразведка. Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990. 607 с.4. Маловичко А.К., Костицын В.И.

Гравиразведка. – М.: Недра. 1992. 357с.5. Миронов В.С. Курс гравиразведки. – Л.: Недра. 1980. 543 с.6. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачахгравиметрии. – К. Наукова думка. 1978. 288 с.Лекция 3. Основные интегральные соотношения и поля элементарныхисточников (магнитное поле).Аналогично тому, как в предыдущей лекции нами были рассмотреныосновные соотношения, которым удовлетворяет гравитационное поле,рассмотрим с этих же позиций и магнитное поле, создаваемоеэлементарными моделями.Магнитное поле.1.Вспомним основные соотношения, которым удовлетворяетмагнитное поле. Но перед этим надо договориться о системе единиц,которая будут использоваться.

В настоящее время такой системой являетсясистема СИ. Этой системой мы и будем пользоваться.23Как известно магнитноеполе может бытьохарактеризованоrrвектором напряженности H и вектором индукции B . В системе СИ связьмежду этими параметрами в веществе следующая –r1 r rH=B−I,µ0rгде µ0 = 4π·10-7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума, I –намагниченность вещества. Для воздуха, где и происходят измерениямагнитного поля, это соотношение можно переписать в видеrrB = µ0 H ,rпоскольку намагниченность воздуха практическиравнанулю.ПолеBrТакую жеимеет размерность Тесла (T), поле H – Ампер/метр (А/м).rразмерность, как и напряженность, имеет намагниченность I – (А/м).Основной характеристикой магнитного поля является индукция, длякоторой справедливоrdivB = 0 .rЭто уравнение характеризует тот факт, что поле B не имеет источников.Действительно, в природе не обнаружено магнитных зарядов, а самомагнитное поле возникает и существует за счет движения электрическихзарядов (если детально не рассматривать магнитные свойства атомов иэлементарных частиц).Напряженность магнитного поля удовлетворят уравнениюrr r ∂DrotH = j +,∂trrгде j – плотность электрического тока, D – вектор электрическойиндукции.

Поскольку измерения магнитного поля всегда происходят ввоздухе, в котором отсутствуют электрические токи, и намирассматривается стационарное магнитное поле, то это уравнениеприобретает вид:rrotH = 0 .rrrrС учетом соотношения B = µ 0 H , как для поля B , так и для поля Hможно записать:24rdivB = 0⎫r⎬,rotB = 0 ⎭rdivH = 0⎫r⎬.rotH = 0 ⎭Полученные соотношения говорят о том, что магнитное поле, как игравитационное, вне источников удовлетворяет уравнению Лапласа, и ономожет быть представлено как градиент некоторой скалярной функции Urили как ротор векторной функции A , например:rH = − gradU ,rrB = rotA .rФункция U носит название скалярного потенциала магнитного поля, A –векторного потенциала магнитного поля.2.Как уже отмечалось, в природе не существует магнитных зарядов,но, тем не менее, атомы всех веществ обладают магнитными свойствами, вrчастности, магнитным моментом m .

Источник поля, обладающиймагнитным моментом, может быть представлен в виде диполя, т.е. в видедвух одинаковых по величине, но различных по знаку, зарядов Q,расположенных на очень близком расстоянии друг к другу dl. Элемент dlимеет направление от отрицательного заряда к положительному. Тогдамагнитный момент определяется соотношением:rrm = Q ⋅ dl .Такая интерпретация магнитного момента позволяет говорить офиктивных магнитных зарядах, создающих магнитное поле.Получимвыражениедляскалярного потенциала диполя U вM0Q+dlточке M0. Это выражение можнополучить, если этот потенциалQпредставить как сумму потенциаловдвух точечных зарядов u + ( M 0 ) иu − ( M 0 ) полагая, что эти заряды располагаются(положительный заряд) и M– (отрицательный заряд):U (M 0 ) = u+ (M 0 ) + u− (M 0 ) =Q4πв⎛ 11⎜−⎜ rM M⎝ + 0 rM − M 0точкахM+⎞⎟.⎟⎠С учетом того, что для дифференциала скалярной функции U справедливо∂Udl , можем записать:соотношение dU =∂l25U(M0 ) =Q ∂ M ⎛⎜ 14π ∂l ⎜⎝ rMM 0r⎞⎟dl = Q grad M 1 ⋅ dl =⎟4πrM Q M 0⎠rrQm11M0,=−⋅ dl = −⋅ grad M 0grad4π4πrMM 0rMM 0где M – координата положения центра диполя.Можно показать, что векторный потенциал для напряженностимагнитного поля, создаваемого диполем, будет иметь вид:r1 r1.A= −m × grad M 04πrMM 0Однако при решении прямых задач применение скалярногопотенциала оказывается более удобным по сравнению с векторнымпотенциалом.

Поэтому в дальнейшем при выводе аналитическихвыражений для элементов магнитного поля нами будет использоватьсяскалярный потенциал.3.Основываясь на выражении потенциала дипольного источника,можно записать выражениедля потенциала объемного источника сrнамагниченностью I :U(M0 ) = −1 r11 r1MOMI(M)⋅graddv=I(M)⋅graddv ,4π ∫D4π ∫DrMM 0rMM 0где D – область пространства с заданной намагниченностью, M – точка,принадлежащая этой области.4.Рассмотрим одно важное соотношение, которое активноиспользуется при выводе аналитических выражений для элементовмагнитного поля.

Это соотношение носит название соотношения Пуассонаи устанавливает связь между потенциалами полей дипольного и точечногоисточников:U(M0 ) = −m ∂ ⎛⎜ 11 r1m ⋅ grad=−rMM 04π4π ∂ l ⎜⎝ rMM 0.⎞⎛⎞⎟ = − ∂ ⎜ 1 m ⎟ = − ∂ U Т (M0 )⎟∂ l ⎜⎝ 4π rMM 0 ⎟⎠∂l⎠Если рассмотреть область D и предположить, что в этой областинамагниченность постоянна как по величине, так и по направлению, и что26в этой же области распределены массы с плотностью δ, то для скалярногомагнитного и гравитационного потенциалов можно записать:U(M0 ) = −1 r1I ⋅ grad M Odv ,∫4π DrMM 01V ( M 0 ) = Gδ ∫D rMM 0dv ,и произвести следующие преобразования:rI1 r11M0U(M0 ) = −I ⋅ graddv = −⋅ grad M 0 ∫dv =∫rMM 0r4π D4πD MM 0=−()r1I ⋅ gradV ( M 0 ) .4πGδПолученное соотношение носит название соотношения Пуассона освязи гравитационного и магнитного потенциалов.

Отметим еще раз, чтооно получено в предположении, что область D имеет постояннуюнамагниченность и плотность.На основе этого соотношения можно записать выражение длянапряженности магнитного поля области с постоянной намагниченностью:r1 r1H ( M 0 ) = − gradU ( M 0 ) =( I ⋅ grad ) grad M 0 ∫dv .r4πD MM 0В общем случае, когда намагниченность в заданной области не являетсяпостоянной, поле H будет определяться следующим соотношением:r1H ( M 0 ) = − gradU ( M 0 ) =4π∫ (I ( M ) ⋅ grad )gradrDM0M01rMM 0dv .4.Введем декартову систему координат. В магниторазведке принятоось oX этой системы направлять на географический север, ось oY – навосток, ось oZ – вертикально вниз.

Тогда направление вектора магнитногополя будет определяться его склонениемD и наклонением i. Векторrмагнитного поля обычно обозначают T , при этом под его величиной могутпонимать как напряженность магнитного поля, так и его индукцию.Поскольку основной характеристикой магнитного поля является индукция,то в дальнейшем, говоря о магнитном поле, мы также будем говорить онем, как о поле индукции.27rВектор T можно разложить насоставляющие по координатным осям,которые будут иметь обозначения – X,Y, Z соответственно. Горизонтальнаякомпонента имеет обозначение H.

Вдальнейшем мы не будем специальнорассматриватьгоризонтальнуюкомпоненту аномального магнитногополя, поэтому и разночтения вобозначениях не должно возникнуть.Аналогичнотому,какнаправление вектора магнитного поляможет быть определено с помощью егосклонения и наклонения, так инаправлениевектора намагниченностиrI также может быть определено черезсклонение и наклонение.5.Остановимся на вопросе, какиепараметрымагнитногополяизмеряются. Соответственно, умениевычислять эти параметры и будутпредставлять интерес для нас интерес впервую очередь.Прежде всего, надо заметить, чтов отличие от гравиразведки, где основная измеряемая величина –вертикальная составляющая гравитационного поля, в магнитометрииумеют измерять все элементы магнитного поля.

Кроме того, в настоящеевремя при проведении магнитных съемок используются магнитометры,измеряющие абсолютное значение магнитного поля. По результатамизмерений с такими магнитометрами вычисляется поле ∆T, котороеопределяется как разность абсолютных значений наблюденногомагнитного поля T и нормального магнитного поля T0:rr∆T = T − T0 .Поле T является суммой векторов нормального магнитного поля T0 ианомального магнитного поля Tа. Таким образом, поле T будет иметьвеличинуT=(T0 x + X )2 + (T0 y + Y )2 + (T0 z + Z )2 ,28где X, Y, Z – компоненты аномального магнитного поля. Параметрынормального магнитного поля обычно вычисляются по первым 8 – 12коэффициентам представления магнитного поля Земли по сферическимгармоникам.

Модель, описывающая такое поле, носит названиемеждународного геомагнитного поля (International Geomagnetic ReferenceField – IGRF), и все необходимые данные и программы для расчетаэлементов этого поля находятся в свободном доступе и их можно получитьчерез Интернет.∆TнеФункцияудовлетворяетуравнениюЛапласа, т.е. она – неаналитическая, и имеет своиспецифическиесвойства.Однако, тем не менее, этафункцияуспешноиспользуетсявмагнитометрии, и связано это с тем, что при небольших допущениях, ееможно аппроксимировать аналитической функцией. Покажем, какимобразом это можно сделать. Для этогоr рассмотрим расположение векторовrполного вектора магнитного поля T , вектора нормального поля T0 иrвектора аномального магнитного поля Ta .