А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 3

Выражения для компонент силы тяжести легко получить,продифференцировав выражение для потенциала.–Бесконечно тонкая многоугольная пластина с постояннойповерхностной плотностью δп. Такая модель широко используется приаппроксимации трехмерных тел, и выражения для компонент силытяжести, создаваемой такой пластиной основываются на решенииследующих поверхностных интегралов:13V ( M 0 ) = Gδ п ∫SV x ( M 0 ) = Gδ п ∫SV y ( M 0 ) = Gδ п ∫SVz ( M 0 ) = Gδ п ∫S1[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )2]12 2(ξ − x )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )(η − y )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )(ζ − z )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )222]32 2]32 2]32 2dS ,dS ,dS ,dS ,где S – поверхность пластины.Какидляслучаяматериальной линии, достаточнопросто получить аналитическиевыражениякомпонентсилыпритяжения для частного случая –прямоугольнойпластины,расположенной параллельно однойиз координатных поверхностей.Получим эти выражения длягоризонтальнойпрямоугольнойξ1, ξ2 –пластины.Пустькоординаты этой пластины по осиoX, η1, η2 – координаты по оси oY, ζ – глубина ее залегания.

Тогда, длякомпоненты Vz:η2 ξ 2Vz ( M 0 ) = Gδ п (ζ − z ) ∫ ∫η1 ξ1η2Интеграл∫1[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )21[(ξ − x )]32 2]32 2dξ dη .dη нами уже брался при выводе+ (η − y ) + (ζ − z )выражения поля бесконечной материальной линии, правда, в бесконечныхпределах.

Не повторяя выкладок, запишемη12214∫1(a2+ (η − y ))32 2d (η − y ) =1(sin ϕ ) + C ,a2С – некоторая константа. С учетом того, что a 2 = (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 ,η − y = a tgϕ , преобразуем полученный результат:1(sin ϕ ) = 12 tgϕ 2 = 122aa 1 + tg ϕ a=1(ξ − x ) + (ζ − z ) 22(η − y )1a=2(η − y ) 2 a1+a2(η − y )(η − y )a 2 + (η − y ) 2(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2=.Таким образом, выражение для Vz приобретет вид:η2ξ2⎡⎤11Vz ( M 0 ) = Gδ п (ζ − z )⎢(η − y ) ∫dξ⋅⎥ .22rξxζz()()−+−⎥⎦ η1MM 0ξ1⎣⎢Для того чтобы получить окончательное выражение для функции Vz,рассмотрим следующий интеграл:∫1X 2 + A21X +A +B222dX ,где A и B – постоянные величины.

Введя обозначение A 2 + B 2 = C 2 ,последний интеграл можно представить в виде:∫X211⋅dX .222+C −BX +C2Вновь воспользуемся подстановкой X = Ctgϕ . Тогда dX = Cможно осуществить следующие преобразования:∫C2C11⋅⋅dϕ =222222tg ϕ + C − BϕcosC tg ϕ + C2151dϕ , иcos 2 ϕcos 2 ϕcosϕCcosϕ dϕ=∫ 2⋅⋅=dϕ∫ C 2 − B 2 cos 2 ϕ =C − B 2 cos 2 ϕ C cos 2 ϕ=∫d sin ϕd sin ϕd sin ϕ=∫ 2=∫ 2=222222C − B (1 − sin ϕ )( A + B ) − B + B sin ϕA + B 2 sin 2 ϕ2⎛B⎞d ⎜ sin ϕ ⎟1d sin ϕ1 AA⎠ = 1 arctg ⎛ B sin ϕ ⎞ == 2∫= 2 ∫ ⎝⎜⎟22ABAA B⎝A⎠⎛B⎞⎛B⎞1 + ⎜ sin ϕ ⎟1 + ⎜ sin ϕ ⎟⎝A⎠⎝A⎠X⎞⎛111BXBB tgϕ ⎟C.arctgarctg====arctg ⎜222⎜ A 1 + tg 2ϕ ⎟ABAABAABXXC+⎠⎝1+ 2CПоложив в этой формуле A = ζ − z , B = η − y , окончательно получим:ξ 2 ,η 2⎡⎧⎪1(η − y ) (ξ − x ) ⎫⎪⎤=Vz ( M 0 ) = Gδ п (ζ − z )⎢(η − y )⎨arctg⎬⎥(ζ)(η)(ζ)zrzy−−−⎪⎪MM 0 ⎭ ⎦⎥ ξ1 ,η1⎩⎣⎢ξ 2 ,η 2⎤⎡(ξ − x )(η − y ).= Gσ п ⎢arctg⎥222(ζ)(ξ)(η)(ζ)−−+−+−zxyz⎥⎦ ξ1 ,η1⎣⎢Выведем теперь выражение для горизонтальной компоненты поля,например, для Vx. Эта компонента будет определяться следующиминтегралом:η2 ξ 2V x ( M 0 ) = Gδ п ∫ ∫η1 ξ1(ξ − x )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )2]32 2dξ dη .Взяв интеграл по переменной η, получимη2ξ2⎡⎤(ξ − x )1⋅V x ( M 0 ) = Gδ п ⎢(η − y ) ∫dξ⎥22222−+−()()ξxζz−+−+−()()()ξxηyζz⎥⎦ η1ξ1⎣⎢Рассмотрим интеграл16X∫ X 2 + A21X +A +B222dXи вновь воспользуемся подстановкой A 2 + B 2 = C 2 , X = Ctgϕ .

Тогда этотинтеграл можно представить, а затем и преобразовать следующимобразом:X1∫ X 2 + C 2 − B2 ⋅=∫X +C22dX =CtgϕC1⋅⋅dϕ =222C tg ϕ + C − BC 2 tg 2ϕ + C 2 cos ϕ22Ctgϕ cos 2 ϕ cosϕCC sin ϕ dϕ=∫ 2⋅⋅=dϕ = ∫ 2222C − B cos ϕ C cos ϕC − B 2 cos 2 ϕC+ cos ϕd cos ϕCd cos ϕC1B= −C ∫ 2=− 2 ∫=− 2 ⋅ln=CCC − B 2 cos 2 ϕB ⎛ C ⎞2B⎛⎞2− cos ϕ2⎜ ⎟⎜ ⎟ − cos ϕBB⎝⎠⎝ B⎠11C + B cos ϕlnln=−=−2 B C − B cos ϕ2B1C+B1 + tg 2ϕC 1 + tg 2ϕ + B1ln=−=12 B C 1 + tg 2ϕ − BC−B1 + tg 2ϕ2=−1ln2B⎛X⎞C 1+ ⎜ ⎟ + B⎝C⎠2⎛X⎞C 1+ ⎜ ⎟ − B⎝C⎠=−X2 +C2 + B1ln2BX +C −B22=1ln2BX2 +C2 − BX +C +B22(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 − (η − y )1=ln2(η − y )(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 + (η − y ).Окончательно:17=ξ 2 ,η 2⎡(ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 − (η − y ) ⎤1=V x ( M 0 ) = Gδ п ⎢(η − y )ln⎥222(ηy)2−(ξ − x ) + (η − y ) + (ζ − z ) + (η − y ) ⎥⎦ ξ ,η⎢⎣1 1ξ 2 ,η 2⎡ 1 r − (η − y ) ⎤,= Gδ п ⎢ ln⎥2(η)r+−y⎣⎦ ξ1 ,η1где r = (ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 .

Компонента Vy может бытьполучена из последней формулы заменой переменных ξ и x на переменныеη и y, а переменных η, y – на ξ и x.–Вертикальная прямоугольнаяпластина,расположеннаяпараллельнокоординатнойплоскости oXZ. Для этого случаянетнеобходимостивыводитьзаново выражения для компонентполя силы притяжения, посколькуони могут быть получены извыражений, полученных ранее длягоризонтальной пластины. Так длявертикальнойсоставляющейможем записать:ξ 2 ,ζ 2⎡ 1 r − (ξ − x ) ⎤.Vz ( M 0 ) = Vz ( x , y , z ) = Gδ п ⎢ ln⎥2(ξ)r+−x⎣⎦ ξ1 ,ζ 1Тем не менее, выведем выражение для этой компоненты путеминтегрирования и сравним полученные результаты.

Для этого сначалаполучим выражение для Vz от вертикального стержня. Как уже отмечалосьего можно получить путем дифференцирования выражения для потенциалатакого стержня, которое в данном случае будет иметь вид:V ( M 0 ) = Gδ л ln[(ζ − z ) + r ] ζ 2 .ζ1Соответственно для вертикальной производной получим:18ζ2⎛ 1⎞Vz ( M 0 ) = Gδ л ⎜ − ⎟ .⎝ r ⎠ζ 1Для того чтобы получить выражение для прямоугольной пластиныпроинтегрируем это выражение, при этом учтем, что δ л = δ п dξ :ζ2⎡ξ 2 ⎛⎡ξ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎤1Vz ( M 0 ) = Gδ п ⎢ ∫ ⎜ − ⎟dξ ⎥ = −Gδ п ⎢ ∫ ⎜222⎢⎣ ξ1 ⎜⎝ (ξ − x ) + (η − y ) + (ζ − z )⎢⎣ ξ1 ⎝ r ⎠ ⎥⎦ ζ 1[= −Gδ п ln (ξ − x ) + (ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2]ξ 2 ,ζ 2ξ1 ,ζ 1ζ2⎞ ⎤⎟ dξ ⎥ =⎟ ⎥⎠ ⎦ ζ1= −Gδ п ln[(ξ − x ) + r ] ξ 2,ζ 2ξ ,ζ1Из полученных результатов следует любопытный вывод.Оказывается одно и то же поле может быть аналитически выраженоразличным образом.–Прямоугольная призма с постоянной плотностью δ. Выражениекомпонент поля для этой модели можно получить из решения следующихобъемных интегралов:V ( M 0 ) = Gδ ∫D1[(ξ − x )V x ( M 0 ) = Gδ ∫DV y ( M 0 ) = Gδ ∫DVz ( M 0 ) = Gδ ∫D2+ (η − y ) + (ζ − z )2]12 2(ξ − x )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )(η − y )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )(ζ − z )[(ξ − x )2+ (η − y ) + (ζ − z )222]32 2]32 2]32 2dv ,dv ,dv ,dv ,где D – объем призмы.Как и для прямоугольной пластины, такие интегралы достаточнопросто взять в случае, когда грани призмы параллельны координатнымплоскостям.

Так, выражение для компоненты Vz, создаваемой такойпризмой, можно получить с помощью выражения для вертикальнойпрямоугольной пластины, проинтегрировав его по соответствующейпеременой. Если пластина параллельна плоскости oXZ, то:191[ξ 2 ,ζ 2]⎞⎛ η2Vz ( M 0 ) = −Gδ ⎜ ∫ ln (ξ − x ) + (ξ − x ) 2 + (η − y ) 2 + (ζ − z ) 2 dη ⎟⎟⎜⎠ξ1 ,ζ 1⎝ η1Такой интеграл берется по частям, однако, вывод этих формул приводитьздесь не будем, поскольку, что означают слова “достаточно просто” былонаглядно продемонстрировано в предыдущих моделях.

Отметим,выражение для Vz для прямоугольной призмы приведено в учебниках погравразведке и в справочниках геофизика.7.Перейдем к рассмотрению двухмерных моделей.–Бесконечныйкруговойгоризонтальный цилиндр. Как и в случаесферы можно показать, что поле такоймодели совпадает с полем бесконечногопрямолинейногогоризонтальногостержня,проходящегопоцентруцилиндра, с линейной плотностьюδ л = δ (πR 2 ), где δ – объемная плотностьцилиндра, R – его радиус.Выражение для потенциала будет иметь вид:[]V ( M 0 ) = V ( x , z ) = −Gδ л ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 = −2Gδ (πR 2 )ln rMM 0 ,при этом центр цилиндра находится в точке M с координатами (ξ,ζ).Компоненты поля находятся как частные производные от потенциала.–Бесконечная материальная полоса с постоянной поверхностнойплотностью δп. Здесь также не составляет труда получить аналитическиевыражения, как для потенциала, так и для его частных производных, вслучае, когда эта полоса лежит горизонтально или вертикально.Рассмотрим случай горизонтальной полосы.Координаты, определяющие ее положение вдекартовой системе координат (ξ1, ξ2, ζ).Вначале получим выражение для потенциаласилы притяжения:ξ2[]V ( M 0 ) = V ( x , z ) = −Gδ п ∫ ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 dξ =ξ1ξ2[]= −Gδ п ∫ ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 d (ξ − x ) .ξ120Введем обозначения X2 = (ξ–x)2, A2 = (ζ–z)2, и возьмем следующийинтеграл:∫ ln(X2+ A 2 )dX = X ln(X 2 + A 2 ) − ∫ X d ln(X 2 + A 2 ) == X ln(X 2 + A 2 ) − ∫ X1X222()2=ln+−2XdXXXA∫ X 2 + A2 dX =X 2 + A2X 2 + A2 − A222()= X ln X + A − 2 ∫dX =X 2 + A2A222= X ln(X + A ) − 2∫ dX + 2 ∫ 2dX =X + A2A2X22arctg .= X ln(X + A ) − 2 X + 2AAВозвращаясь к исходным обозначениям, запишем выражение дляпотенциала:ξ2⎡(ξ − x ) ⎤V ( M 0 ) = −Gδ п ⎢(ξ − x ) ln((ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 ) − 2(ξ − x ) + 2(ζ − z )arctg(ζ − z ) ⎥⎦ ξ1⎣Получим теперь, также с помощью интегрирования, выражения длягоризонтальной и вертикальной компонент поля.ξ2(ξ − x )dξ =2()()−x+−zξζξ1V x ( M 0 ) = V x ( x , z ) = 2Gδ п ∫ξ1 2d (ξ − x ) 222 ξ2() ξ1 ,= 2Gδ п ∫=Gδln(ξ−x)+(ζ−z)п2 ξ1 (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2ζ2(ζ − z )dξ =2−x+−z()()ξζζ1Vz ( M 0 ) = Vz ( x , z ) = 2Gδ п ∫ξ2ξ2d (ξ − x )(ξ − x )1= 2Gδ п (ζ − z ) ∫= 2Gδ п (ζ − z )=arctg22−−(ζz)(ζz)−+−ξζ(x)(z)ξ1ξ1ξ2(ξ − x )= 2Gδ п arctg.(ζ − z ) ξ1Для случая вертикального положения полосы, заново выводитьуравнения нет смысла, поскольку они могут быть получены путем замены21в выражениях переменных по оси oX на переменные по оси oZ, апеременные по оси oZ – на переменные по оси oX.–Прямоугольный параллелепипед сбесконечным простиранием по оси oY.Получимвыражениетолькодлявертикальной составляющей поля путеминтегрированияэффектаполя,создаваемого пластиной.

Например, еслирассмотреть вертикальную пластину, то:ζ2(ξ − x )Vz ( x , z ) = 2Gδ ∫ arctgdζ(−z)ζζ1ξ2=ξ1ξ2ζ2ζ2⎛(ξ − x )(ξ − x ) ⎞⎟⎜= 2Gδ (ζ − z )arctg− ∫ (ζ − z ) d arctg=⎜⎟(ζz)(ζz)−−ζ1ζ1⎝⎠ ξ1⎛⎜ζ2ζ2⎜− (ξ − x )1(ξ − x )= 2Gδ ⎜ (ζ − z )arctg− ∫ (ζ − z )dζ22−−ζzζz()()⎛ (ξ − x ) ⎞ζ1ζ1⎜⎟⎟⎜⎜+1⎜−ζz()⎠⎝⎝ζ2ζ2⎛(ξ−x)− (ζ − z )(ξ − x )⎜= 2Gδ (ζ − z )arctg−∫dζ22⎜(ζ−z)(ξ−x)+(ζ−z)ζ1ζ1⎝ξ2⎞⎟⎟⎟ =⎟⎟⎠ ξ1ξ2⎞⎟ =⎟⎠ ξ1ξ 2ζ 2⎛⎞(ξ − x ) 1= 2Gδ ⎜⎜ (ζ − z )arctg+ (ξ − x ) ln((ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 )⎟⎟ .(ζ − z ) 2⎝⎠ ξ1ζ 18.Подведем некоторый итог проведенным выкладкам.

Во-первых,взять интеграл – не всегда простая задача. Это становится еще болеесложно, если объект имеет неправильную форму и функциональный законизменения плотности. В учебниках по гравиразведке и справочникахгеофизика можно найти явные выражения для компонент поля силытяжести от более сложных моделей, чем были нами рассмотрены.Формулы, приведенные в этих книгах, громоздки и сложны. Во-вторых,оказывается, что одно и то же поле может быть представлено различнымианалитическими выражениями, как это было в случае четырехугольнойпластины. От того, какое выражение использовать при решении прямойзадачи, во многом будет определяться успех ее решения.22В то же время современные требования к гравиразведке таковы, чтоони требуют рассмотрения все более сложных моделей.