А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 12

Тогда, если k – величинапостоянная, то можно записатьk dG ( s )H ( s) =.G dsПолученное соотношение выражает теорему Пуассона в комплекснойобласти. Покомпонентная запись этой теоремы будет иметь вид:Z=1( k xV xz + k zVzz );GX=1( k zV xz − k xVzz ) .G9.Как уже отмечалось, решение прямой задачи от области D сзаданной намагниченностью или плотностью сводится к вычислениюплощадных интеграловδ (ξ ,ζ )dS ;σ−sDG ( s ) = 2iG ∫76I (ξ ,ζ )dS ,2(σ−)sDH ( s ) = 2i ∫где I = Ix + iIz − комплексная намагниченность области D.Для того чтобы взять аналитически представленные вышеплощадные интегралы необходимо входящие в них выражения плотностии намагниченности представить в виде функций комплексныхпеременных.

Это осуществляется путем следующих подстановок:ξ=σ +σ2, ζ =σ −σ2i.Результатом этого получаются функции от двух комплексных переменных( σ ,σ ), причем эти переменные можно рассматривать как независящиедруг от друга, точно так же, как действительную функцию f(x,y) можнорассматривать как функцию двух независимых переменных x и y.Дальнейшие вычисления удобно осуществлять путем перехода отплощадных к контурным интегралам с помощью аналогов формулыОстроградского−Гаусса для комплексной функции. Таких формул две:∂F (σ ,σ )1dS=F (σ ,σ )dσ∫D ∂σ2i ∂∫D− 1−ая формула О.−Г.∂F (σ ,σ )1dS = − ∫ F (σ ,σ )dσ − 2−ая формула О.−Г.∂σ2 i ∂DD∫при этом обход интеграла осуществляется против часовой стрелки, т.е. вположительном направлении.Для того чтобы убедиться в справедливости этих соотношений,запишем формулы О.-Г.

для действительных функций u(x,z) и v(x,z):⎛ ∂ u ∂v ⎞∫D ⎜⎜⎝ ∂ξ + ∂ζ ⎟⎟⎠dS = ∂∫D(udl z − v dl x ),⎛ ∂v ∂u ⎞∫D ⎜⎜⎝ ∂ξ − ∂ζ ⎟⎟⎠dS = ∂∫D(udl x + v dl z ).С учетом того, что в декартовой системе координат dlx=dx, dlz=dz, dS=dxdz,последние соотношения можно представить в следующем виде:⎛ ∂u∂v ⎞∫ ⎜⎜⎝ ∂ξ + ∂ζ ⎟⎟⎠dξ dζD=∫ (udζ − v dξ ) ,∂D⎛ ∂v ∂ u ⎞∫D ⎜⎜⎝ ∂ξ − ∂ζ ⎟⎟⎠dξdζ = ∂∫D(udξ + v dζ ) .Умножим второе из этих уравнений на i, вычтем его из первого иосуществим ряд преобразований:77⎛ ∂u∂v∫ ⎜⎜⎝ ∂ξ + ∂ζ−iD⎡⎛ ∂∂∫D ⎢⎜⎜⎝ ∂ξ + i ∂ζ⎣∂v∂u ⎞⎟dξ dζ = ∫ (udζ − v dξ − iudξ − ivdζ ) ,+i∂ξ∂ζ ⎟⎠∂D⎞⎛ ∂∂⎟⎟ u − i ⎜⎜+i∂ζ⎠⎝ ∂ξ⎡⎛ ∂∂∫D ⎢⎜⎜⎝ ∂ξ + i ∂ζ⎣⎞ ⎤⎟⎟v ⎥ dξ dζ = ∫ [− iu(dξ + idζ ) − v (dξ + idζ )] ,⎠ ⎦∂D⎤⎞⎟⎟(u − iv )⎥ dξ dζ = − i ∫ [u(dξ + idζ ) − iv (dξ + idζ )]⎠∂D⎦1⎛ ∂∂∂ ⎞⎟ , dσ = dξ + idζ , и обозначив= ⎜+i∂σ 2 ⎝ ∂ ξ∂ζ ⎠F = u − iv , окончательно получим:С учетом того, что∂F (σ ,σ )1dS = ∫ F (σ ,σ )dσ .∂σ2 i ∂DD∫Аналогично можно доказать справедливость 2-го уравнения О.−Г.11.

На основании комплексных формул О.−Г. напряженностьгравитационного и магнитного полей можно выразить через контурныеинтегралы. Так для случая постоянной плотности (δ = const) получимσ + A(σ )11 σ + A(σ )dS = 2iGδdσ = Gδ ∫dσ ,∫σ−siσsσs2−−D∂D∂DG ( s ) = 2iGδ ∫где A(σ ) – любая аналитическая в области D и непрерывная на границеэтой области функция.Если плотность δ или намагниченность I, заданные в области D,являются функциями от (ξ,ζ), то, путем замены переменныхσ +σσ −σξ=, ζ =, получим функции распределения этих величин в22iкомплексных координатах:⎛σ + σ σ −σ ⎞ ˆ,⎟ = δ (σ ,σ ) ,2i ⎠⎝ 2δ (ξ , ζ ) = δ ⎜I (ξ , ζ ) = Iˆ (σ ,σ ) .Далее, используя первую формулу О.-Г., для комплексныхнапряженностей гравитационного и магнитного полей получим:78δˆ (σ ,σ )Φ(σ ,σ ) + A(σ )dS = G ∫dσ , Φ(σ ,σ ) = ∫ δˆ (σ ,σ )dσ ;σ −sD σ − s∂DG ( s ) = 2iG ∫Iˆ (σ ,σ )Ψ(σ ,σ ) + A(σ )dS=dσ ,2∫2σ−sσ−s()()D∂DH ( s ) = 2i ∫Ψ (σ ,σ ) = ∫ Iˆ (σ ,σ )dσ .В частном случае, при расчете поля вне источников, функцию A(σ)можно положить равной нулю (A(σ) = 0).12.

Если намагниченность можно представить в виде функции только отодной комплексно−сопряженной переменной Iˆ (σ ,σ ) = Iˆ (σ ) , то наосновании 2−ой формулы О.−Г. можем получитьIˆ (σ )Iˆ (σ )2i − Iˆ (σ )dSdσdσ .=−=2∫∫iσsσs2−−σs−()D∂D∂DH ( s ) = 2i ∫В частности, при I = const :dσ.σ−s∂DH ( s) = I ∫13. Соответствующие представления контурными интегралами можнополучить и для потенциалов, и для их высших производных.14. Полученные выражения описывают поля вне источников (внешняяпрямая задача). В то же время может возникнуть необходимость, напримерпри скважинных исследованиях, рассчитать поле внутри области,заполненной массами (внутренняя прямая задача).

Получим выражениедля вычисления гравитационного полявнутри масс.Пусть поле создается областью D,ограниченнойкусочно-гладкими(жордановыми)кривыми,сраспределенной в ней плотностью δ(ξ,ζ),и пусть расчетная точка s находитсявнутри этой области. Тогда, вырезаввокруг точки s круг радиуса ε, сделавразрез по линии AB от внешней сторонык стороне круга и положив A(σ ) = 0 , получим для точки s, как внешней кобласти D без круга:79Φ(σ ,σ )Φ(σ ,σ )Φ(σ ,σ )Φ(σ ,σ )dσ + G ∫dσ + G ∫dσ + G ∫dσ ,σ−sσ−sσsσs−−∂DAB∂εBAG( s) = G ∫где Φ(σ ,σ ) = ∫ δˆ (σ ,σ )dσ .Поскольку интегралы по линии AB и BA равны по значению, ноимеют противоположенные знаки, и поскольку обход круга совершается вданном случае по часовой стрелке, то полученное выражение можнопереписать в виде:Φ(σ ,σ )Φ(σ ,σ )dσ − G ∫dσ ,σ−sσs−∂D∂εG( s) = G ∫где обход по контуру ∂ε будет уже совершаться в положительномнаправлении.Рассмотрим следующий предел:Φ(σ ,σ )dσ .σs−∂εlim G ∫ε →0С учетом того, что на контуре ∂ε значения σ = s + ε e iθ , где θ меняется впределах от 0 до 2π, и dσ = iε e iθ dθ , этот предел может быть представлен ввиде:2πlim G ∫ iΦ( s + ε e , s + ε eε →00iθ− iθ2π)dθ = G ∫ iΦ( s , s )dθ = 2πiGΦ( s , s ) .0Таким образом, напряженность гравитационноговнутренних точек будет определяться соотношением:полядляΦ(σ ,σ )dσ .σs−∂DG ( s ) = −2πiGΦ( s , s ) + G ∫Для того чтобы получить выражение для G(s), описывающее поле, как вовнешней, так и во внутренней области, необходимо вспомнитьинтегральную формулу Каши, которая применительно к аналитическойфункции f(σ) имеет вид:f (σ )1dσ = f ( s ) , для точек, принадлежащих D (s∈D),∫2πi ∂Dσ − s801f (σ )dσ = 0 , для точек, не принадлежащих D и контуру,∫2πi ∂Dσ − sограничивающему эту область ( s ∉ D ).Положив f(σ) равной единице (f(σ) = 1), получим, что11dσ = 1 , для точек s∈D,2πi ∂∫Dσ − s11dσ = 0 , для точек s ∉ D .2πi ∂∫Dσ − sС учетом этого поле G(s) можно представить в виде:Φ(σ ,σ ) − Φ( s , s )dσ .σs−∂DG( s) = G ∫Таким образом, эта формула будет описывать гравитационное полекак вне, так и внутри его источников.15.

Остановимся еще на одном вопросе. Нами было получено выражениедля комплексной напряженности поля в видеΦ(σ ,σ )dσ .σs−∂DG( s) = G ∫В то же время, согласно интегральной формуле Коши для точек внеобласти источников1f (σ )dσ = 0 .∫2πi ∂Dσ − sКак видно, эти формулы очень похожи, но почему-то первый интегралописывает поле, которое заведомо не равно нулю вне области D, а второйинтеграл равен нулю. Это связано с тем, что в интегральной формулеКаши функция f(σ) является аналитической в области D.

В то же времяфункция Φ(σ ,σ ) аналитической не является, поскольку она полученапутем интегрирования функции δˆ (σ , σ ) по переменной σ . Следовательно,производная81∂Φ(σ ,σ )≠ 0,∂σт.е.этафункциянеудовлетворяет условиям Каши–Римана,Φ(σ ,σ )соответственно интеграл ∫dσ будет отличен от нуля.σs−∂Dи16. Перейдем теперь к вопросам получения аналитических выраженийполей от источников различной конфигурации и различногораспределения источников плотности.– Круговой горизонтальный цилиндр с постоянной плотностью δ икомплексной намагниченностью I. Поле такого источника совпадает сполем бесконечной линии с плотностью δ л = πR 2δ и намагниченностьюm = πR 2 I :G ( s ) = 2iGδ l1,σ −sH ( s ) = 2im1.(σ − s ) 2– Материальная плоскость с постоянной плотностью δп инамагниченностью mп.

Положение плоскости определяется координатамиσ 1 = ξ1 + iζ 1 и σ 2 = ξ 2 + iζ 2 . Для того чтобы получить поле от такоймодели, необходимо вычислить следующие интегралы:1dl ,Lσ − s1H ( s ) = 2im п ∫dl .2(σ−)sLG ( s ) = 2iGδ п ∫Поскольку интегралы берутся полинии L, то следует задать уравнениеэтой линии. Уравнение линии можнозадать в параметрическом виде σ ( t ) = ξ ( t ) + iζ ( t ) , где 0 ≤ t ≤ 1 , иливыразить в явном виде σ = f (σ ) . Воспользуемся представлением прямойв параметрическом виде. Тогдаξ ( t ) = bx + a x t ,ζ ( t ) = bz + a z t ,σ ( t ) = ξ ( t ) + iζ ( t ) = (b x + ibz ) + (a x + ia z )t = b + at .82Приращение расстояния ∆l при изменении параметра t на величину ∆tбудет равно:∆l = ( ∆x ) 2 + ( ∆z ) 2 = (a x ∆t ) 2 + (a z ∆t ) 2 = a x2 + a z2 ∆t = a ∆t ,соответственно, dl = a dt .

Коэффициенты уравнения прямой можноопределить исходя из следующих условий:σ(0) = b = σ1 =ξ1 + iζ1;σ(1) = b + a = σ2 = ξ2 + iζ2;t = 0,t = 1,b = σ1;a = σ2 – b = σ2 – σ1.Получим теперь выражение для функций G(s) и H(s) от этой модели:11111G ( s ) = 2iGδ п ∫dl = 2iGδ п ∫dl = 2iGδ п ∫a dt =stsatbs()()σ−σ−+−00La 1 d (at + b − s )aa σ −s1= 2iGδ п ∫= 2iGδ п ln(at + b − s ) 0 = 2iGδ п ln 2.a 0 (at + b ) − saa σ1 − s11111H ( s ) = 2im п ∫dl = 2im п ∫dl = 2im п ∫a dt =222σσ()(())sts−−()atbs()+−00L1a 1 d (at + b − s )a⎛a⎛ 111 ⎞⎞⎜⎜⎟.=−22imim= 2im п ∫=−⎟⎜пп2a 0 (at + b − s )a ⎝ at + b − s ⎠ 0a ⎝ σ 1 − s σ 2 − s ⎟⎠Отметим также, что выражение для H(s) можно было бы легкополучить из выражения для G(s) на основании соотношения ПуассонаH ( s) =k dG ( s ).G ds– Многоугольник с N вершинами, ограниченный отрезками прямыхлиний, с постоянной плотностью δ и намагниченностью I.

Рассмотримвначале гравитационное поле G(s). Тогда, воспользовавшись 1–ойформулой О.–Г., запишем:σ −s11 σ + A(σ )dS = 2iGδdσGδdσ .=∫2i ∂∫D σ − sDσ − s∂D σ − sG ( s ) = 2iGδ ∫83В таком представлении, когда A(σ) = − s , функция G(s) будет описыватьгравитационное поле во всем пространстве, т.е. как в области задания масс,так и вне их. Далее можно записать:σ −sdσ .ν =1 Гν σ − sNG ( s ) = Gδ ∑ ∫Поскольку интеграл по контуру ∂Dпредставляется суммой интегралов посторонам многоугольника Гν, то надозадать уравнение каждой из сторон.

Дляэтогоможновоспользоватьсяпараметрическимпредставлениемуравнений, однако в данном примереиспользуем явное представление длязадания уравнения отрезка.Уравнениепрямойвдействительной системе координат может быть представлено в видеz = ax + b . Используя замену переменных, запишемσ −σ2i=aσ +σ2+ b.Из этого уравнения можно получить уравнение прямой в явном виде какфункции комплексной переменной σ : σ = ασ + β .Таким образом для каждой ν–ой стороны можно записатьσ = αν σ + βν . Параметры αν и βν можно определить следующим образом.Поскольку начало ν–ой стороны имеет координату σν, а ее конец – σν+1, топодставляя эти условия в уравнение прямой, получим:σ ν = αν σ ν + βν , σ ν +1 = αν σ ν +1 + βν .Вычтя из второго уравнения первое, определим значение αν:αν =σ ν +1 − σ ν.σ ν +1 − σ νОпределив αν, определим значение βν: β ν = σ ν − αν σ ν .Дальнейшие преобразования будут иметь вид:84N σ ν +1α σ + βν − sσ −sG ( s ) = Gδ ∑ ∫dσ = Gδ ∑ ∫ νdσ =σ −sν =1 Гν σ − sν =1 σ νNN σ ν +1= Gδ ∑∫ν =1 σναν (σ − s ) + αν s + βν − sdσ =σ −sσ ν +1⎞⎛ σ ν +1α s + βν − s= Gδ ∑ ⎜ ∫ αν dσ + ∫ νdσ ⎟ =⎟⎜σ −sν =1 ⎝ σ νσν⎠Nσ ν +1N= Gδ ∑ (αν σ + (αν s + βν − s ) ln(σ − s ))ν =1=σν⎛σ − s⎞⎟.= Gδ ∑ ⎜⎜ αν (σ ν +1 − σ ν ) + (αν s + βν − s ) ln ν +1σ ν − s ⎟⎠ν =1 ⎝NРассмотрим, чему будет равна суммаNα ν (σ ν +1 − σ ν ) .