А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки (1156330), страница 15
Текст из файла (страница 15)
С их помощью это выражение может бытьпредставлено в виде:1021rMM 02⎤ ∞ Rn⎛ R⎞1⎡R= ⎢ P0 (cosθ ) + P1 (cosθ ) + ⎜⎜ ⎟⎟ P2 (cosθ ) + L⎥ = ∑ n+1 Pn (cosθ ) .ρ ⎢⎣ρ⎝ρ⎠⎥⎦ n= 0 ρЗдесь Pn (cosθ ) – полиномы Лежандра степени n:P0 (cosθ ) = 1 ,P1 (cosθ ) = cosθ ,1P2 (cosθ ) = (3 cos 2 θ − 1) ,21P3 (cosθ ) = (5 cos 3 θ − 3 cosθ ) .2Последующие полиномы могутрекуррентного соотношения:Pn+1 (cosθ ) =10.бытьполученыизследующегоn2n + 1cosθ Pn (cosθ ) −Pn−1 (cosθ ) .n +1n +11Подставим полученное выражение дляrMM 0в формулу дляпотенциала силы тяжести:V ( M 0 ) = G ∫ δ (ξ ,η , ζ )D1rMM 0∞dv = G ∫ δ (ξ ,η , ζ )∑n=0D∞Rnρ n+1∫ δ (ξ ,η , ζ )R= G∑ Dn= 0ρnPn (cosθ ) dv =Pn (cosθ ) dvn +1∞= G∑n= 0mnρ n+1,где m n = ∫ δ (ξ ,η , ζ )R n Pn (cosθ ) dv – моменты масс.DКомпоненты гравитационного поля, создаваемого областью D, будутопределяться как соответствующие частные производные потенциала.
Такдля вертикальной составляющей поля силы тяжести можно записать:∞∂V ( x , y , z )∂ ⎛ 1 ⎞= G ∑ m n ⎜⎜ n +1 ⎟⎟ .Vz ( M ) =∂z∂z ⎝ ρ ⎠n=0103Таким образом, как и для двухмерных полей, потенциалгравитационного поля представляется в виде бесконечного сходящегосяряда.11. Рассмотрим физический смысл моментов. Для упрощениядальнейших выкладок перенесем начало координат в точку σ0. Тогдаположение rточки интегрирования M(ξ,η,ζ) будет определяться радиусrrrвектором R = ξ 1x + η1 y + ζ 1z , а положение точки M0(x,y,z) – радиусrrrrвектором ρ = x1x + y1 y + z1z .Нулевой момент области D с распределенной в ней плотностьюδ (ξ ,η , ζ ) будет следующим:m 0 = ∫ δ (ξ ,η , ζ )R 0 P0 (cosθ ) dv = ∫ δ (ξ ,η , ζ ) dv ,DDт.е. характеризует массу области.Первый момент:m1 = ∫ δ (ξ ,η ,ζ )R1 P1 (cosθ ) dv = ∫ δ (ξ ,η ,ζ ) R cosθ dv =DD= ∫ δ (ξ ,η ,ζ ) RD=ξx + ηy + ζzdv =ρRxyDИнтегралами типаzξδ (ξ ,η ,ζ ) dv + ∫ ηδ (ξ ,η ,ζ ) dv + ∫ ζδ (ξ ,η ,ζ ) dv .ρ∫ρρD∫ ξδ (ξ ,η , ζ ) dvDопределяются координаты центраDтяжести тела:ξ0 =∫D ξδ (ξ ,η , ζ )dv∫ δ (ξ ,η , ζ )dv,η0 =D∫Dηδ (ξ ,η , ζ )dv∫ δ (ξ ,η , ζ )dvD,ζ0 =∫D ζδ (ξ ,η , ζ )dv∫ δ (ξ ,η , ζ )dvDДля вторых моментов можно записать:m 2 = ∫ δ (ξ ,η , ζ )R 2 P2 (cosθ ) dv = ∫ δ (ξ ,η , ζ ) R 2DD1(3 cos 2 θ − 1) dv =2⎞1 ⎛ (ξx + ηy + ζz ) 2= ∫ δ (ξ ,η ,ζ ) R ⎜⎜ 3− 1⎟⎟dv =22⎝( ρR )⎠D2104.⎛ 3(ξx + ηy + ζz ) 2⎞1= ∫ δ (ξ ,η ,ζ )⎜⎜− R 2 ⎟⎟dv .22D2ρ⎝⎠При раскрытии скобки (ξx + ηy + ζz ) 2 появляются интегралы вида:2 ∫ δ (ξ ,η , ζ )ξxηydv , 2 ∫ δ (ξ ,η , ζ )ξxζzdv , 2 ∫ δ (ξ ,η , ζ )ηyζzdv ,DDDкоторые в механике называются произведениями инерции.
Дальнейшиепреобразования приводят к появлению интегралов:∫D δ (ξ ,η , ζ )(ξ2+ η 2 )dv , ∫ δ (ξ ,η , ζ )(η 2 + ζ 2 )dv , ∫ δ (ξ ,η , ζ )(ξ 2 + ζ 2 )dv ,DDкоторые носят название главных моментов инерции.12. Аналогичным образом, определяются моменты и для магнитногополя. Однако следует отметить, что теория решения прямых задач на этойоснове до сих пор еще недостаточно разработана и не нашла активногоприменения.Литература.1. Гравиразведка. Справочник геофизика.
– М.: Недра. 1990. 607 с.2. Страхов В.Н. Методы интерпретации гравитационных и магнитныханомалий. – Пермь.: ПГУ. 1984. 71 с.Лекция 8. Спектральное представление гравитационных и магнитныханомальных полей.Представление элементов гравитационных и магнитных полей спомощью интегралов Фурье (спектральных функций полей) имеетбольшое значение при анализе задач трансформаций, вопросовединственности и эквивалентности, при решении ряда обратных задач.Определение спектральных характеристик полей по заданномураспределению источников также относится к прямым задачам.1.Прежде всего определим понятие спектрального преобразования дляфункций, зависящих от одной переменной.
Пусть функция f(x) в любомконечном интервале подчиняется условиям Дирихле (1. Область заданияфункции f(x) можно разбить на конечное число интервалов, в которых f(x)непрерывна и монотонна; 2. Если точка x0 является точкой разрывафункции f(x), то существуют f(x+0) и f(x–0).) и является абсолютноинтегрируемой, т.е.105∞∫f ( x ) dx < +∞ ,−∞то для этой функции справедлива следующая пара преобразований:fˆ (ω ) =∞∫− ∞ f ( x )e− iω x∞1dx , f ( x ) =2π∫− ∞ fˆ (ω )eiω xdω ,где ω – параметр преобразования, обычно называемой частотой. Первый изэтих интегралов описывает переход от функции f(x) к функции fˆ (ω )носит название преобразования Фурье, а сама функции fˆ (ω ) –трансформантой Фурье или спектром функции f(x). Второй интегралописывает обратное преобразование Фурье, когда по спектральнойфункции fˆ (ω ) определяется функция f(x).Как видно из определения преобразования Фурье, fˆ (ω ) – в общемслучае комплексная функция:()()fˆ (ω ) = Re fˆ (ω ) + i Im fˆ (ω ) .Исходная функция f(x) также может быть комплексной, зависящейот действительного аргумента x.Если функция f(x) действительна и является четной, то мнимая частьспектральной функции Im fˆ (ω ) будет равна нулю ( Im fˆ (ω ) = 0), адействительная часть будет функцией четной, т.е.
Re fˆ ( −ω ) = Re fˆ (ω ) .()(())()В случае, если f(x) является нечетной функцией, то действительная частьспектра такой функции будет равна нулю ( Re fˆ (ω ) = 0 ), а мнимая частьбудеттакжепредставлятьсобойнечетнуюфункцию( Im fˆ ( −ω ) = − Im fˆ (ω ) ).
Поскольку любую действительную функциюf(x) в общем случае можно представить как сумму четной g(x) и нечетнойh(x) функций:(()())f ( x ) = g ( x ) + h( x ) ,гдеg( x ) =1( f ( x ) + f ( − x )) ,2h( x ) =1061( f ( x ) − f ( − x )) .2то отсюда следует, что fˆ (ω ) = gˆ (ω ) + hˆ (ω ) , где gˆ (ω ) и hˆ (ω ) – спектрыфункций g(x) и h(x). Поскольку gˆ (ω ) имеет только действительную часть,и она является четной, а hˆ (ω ) – только мнимую часть, и она являетсянечетной, то для действительной и мнимой частей функциивыполняются следующие условия:()()(Re fˆ ( −ω ) = Re fˆ (ω ) ,)(fˆ (ω ))Im fˆ ( −ω ) = − Im fˆ (ω ) .2.Отметим основные свойства преобразования Фурье.– Линейность.
Если функции g(x) и h(x) имеют спектры gˆ (ω ) и hˆ (ω ) , a иb – постоянные числа, то спектр функции ag ( x ) ± bh( x ) будет равенagˆ (ω ) + bhˆ (ω ) .– Подобие. Сжатие (растяжение) сигнала приводит к растяжению (сжатию)спектра, т.е. если a – постоянное число, и функции f(x) соответствует1 ⎛ω ⎞спектр fˆ (ω ) , то функции f(ax) будет соответствовать спектр fˆ ⎜ ⎟ :a ⎝a⎠1 ⎛ω ⎞f ( x ) ↔ fˆ (ω ) ,f (ax ) ↔ fˆ ⎜ ⎟ .a ⎝a⎠– Запаздывание.
Если функция f(x) имеет спектр fˆ (ω ) , то функции f(x±ξ)будет соответствовать спектр fˆ (ω )e ± iωξ :f ( x ) ↔ fˆ (ω ) ,f ( x ± ξ ) ↔ fˆ (ω )e ± iωξ .– Дифференцирование. Если функции f(x) соответствует спектр fˆ (ω ) , тоспектр производной f′(x) будет равен iωfˆ (ω ) :f ( x ) ↔ fˆ (ω ) ,f ′( x ) ↔ iωfˆ (ω ) .– Свертка двух функций.
Сверткой двух функций (сигналов) называетсявыражение:∞∫−∞ g( x )h( x − ξ )dξ = g( x ) ∗ h( x ) .Спектр свертки функций равен произведению их спектров, т.е.∞∫−∞g( x )h( x − ξ )dξ ↔ gˆ (ω )hˆ (ω ) .1073.Введем декартову систему координат с осью oX, направленнойвправо, и осью oZ – вверх. Пусть в точке с координатами (ξ=0, ζ=–h)располагается бесконечная горизонтальная материальная линия сrплотностью δл. Тогда гравитационное поле g , создаваемой такой линиейна оси oX, будет описываться следующими выражениями:g z ( x ) = Vz ( x ) = 2Gδ лζ −z−h,2δ=Gл(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2x 2 + h2g x ( x ) = V x ( x ) = 2Gδ лξ−x−x.= 2Gδ л 222(ξ − x ) + (ζ − z )x + h2Получим выражения для их спектральных функций.
Так для функции gz(x)можем записать:∞∞1−h− iω xedx = −2Gδ л h ∫ 2e − iω x dx .gˆ z (ω ) = ∫ 2Gδ л 222x +h−∞−∞ x + hДля вычисления этого интеграла воспользуемся теоремой о вычетах.Напомним, что если аналитическая функция f(s) в точке s=a имеетизолированную особую точку, то коэффициент c-1 при степени (s–a)-1 вряде Лорана функции f(s) называют вычетом Re s f ( s ) аналитическойaфункции f(s) относительно точки a. При a ≠ ∞Re s f ( s ) =a1f (σ )dσ = c −1 ,2πi C∫где C – любая замкнутая гладкая кривая Жордана, охватывающая точкуs=a, и которая обходится против часовой стрелки (положительноенаправление обхода).
Если в точке s = a ≠ ∞ функция f(s) имеет полюсы mго порядка, то вычет можно вычислить следующим образом:c −1[]d m −11m= Re s f ( s ) =lim m −1 (s − a ) f ( s ) .a( m − 1)! s →a dsЕсли f(s) – аналитическая функция в области D, за исключением конечногочисла точек a1, a2, …, ak и C – замкнутая кусочно гладкая кривая,охватывающая особые точки ai (i =1, …, k) и лежащая целиком в областиD, то108∫kf (σ )dσ = 2πi ∑ Re s f ( s ) .i =1Cai∞Для того чтобы вычислить интеграл1− iω x∫− ∞ x 2 + h2 e dx рассмотримe − iω s.функцию f ( s ) = 2s + h2Эта функция – аналитическая во всейнижней полуплоскости за исключениемточки s = − ih , где она имеет простойполюс ( m = 1).
Из начала координатпроведемполуокружностьрадиусаR→∞. В этом случае точка s окажетсявнутри этой полуокружности. Тогдаобход области, содержащей точку s,будетпроходитьполинииполуокружности и по оси абсцисс, причем интегрирование по параметру xбудет осуществляться в пределах от +∞ до –∞. Тогда⎡e − iω s ⎤e − iω se − ωh= lim=−Re s f ( s ) = lim ⎢(s + ih) 2.s → − ih− ih2ihs + h 2 ⎥⎦ s → − ih s − ih⎣Согласно теореме о вычетахs f ( s) .∫C f (σ )dσ = 2πi Re− ihВ то же время,e − iω sпри s → ∞ стремится к нулю, топоскольку функция f ( s ) = 2s + h2интеграл по полуокружности будет равен нулю. Тогда−∞∫∞⎛ e − ωh ⎞1e − ωh− iω x⎟⎟ = −π,edx = 2πi ⎜⎜ −2ihhx 2 + h2⎝⎠∞e − ωh1− iω x∫− ∞ x 2 + h 2 e dx = +π h ,и соответственно:∞⎛1e − ωh ⎞− iω x⎟⎟ = −2πGδ л e −ωh .edx = −2Gδ л h⎜⎜ + π22h ⎠⎝−∞ x + hgˆ z (ω ) = −2Gδ л h ∫Полученная функция будет иметь смысл при положительных значенияхпараметра ω (ω > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
