А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛомоносоваГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКафедра геофизических методов исследования земной корыА.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. МелиховЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧГРАВИ- И МАГНИТОРАЗВЕДКИ(конспект лекций)Допущено УМС по геологии УМО классическихуниверситетов в качестве учебного пособия для студентов имагистрантов специализации «Геофизика».Геологический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова2010УДКББК550.83126.21Булычев А.А., Лыгин И.В., Мелихов В.Р.Численные методы решения прямых задач грави- имагниторазведки (конспект лекций).Учебное пособие для студентов и магистрантовспециализации “Геофизика” – М.

2010. 164 с.Рецензент – доктор геолого-минералогических наук,профессор В.К. Хмелевской.В пособии изложены некоторые теоретические ипрактические вопросы решения прямых задач гравиразведки имагниторазведки.Для студентов геофизических специальностей.УДКББК550.83126.21Печатается по решениюУченого советагеологического факультета МГУ имени М.В.

Ломоносоваот 22 апреля 2010 г.© А.А. Булычев, И.В. Лыгин,В.Р. Мелихов, 2010© Геологический факультет МГУимени М.В. Ломоносова, 2010ОглавлениеЛекция 1.Введение. Понятие прямой задачи.4Лекция 2.Основные интегральные соотношения иполя элементарных источников (поле силытяжести).7Лекция 3.Лекция 4.Лекция 5.Лекция 6.Лекция 7.Лекция 8.Лекция 9Лекция 10.Основные интегральные соотношения иполя элементарных источников (магнитноеполе).23Преобразование систем координат, формулаОстроградского-Гаусса, формулы Грина.34Прямая задача гравиметрии имагнитометрии для произвольныходнородных многогранников.48Применение теории функции комплекснойпеременной при решении прямых двумерныхзадач гравиразведки и магниторазведки.71Представление элементов аномальногогравитационного и магнитного полейрядами. Моменты.94Спектральное представлениегравитационных и магнитных аномальныхполей.105Численные методы расчетагравитационных и магнитных аномальныхполей.123Решение прямой задачи магниторазведкидля тел с высокой магнитнойвосприимчивостью.1453Лекция 1.

Введение. Понятие прямой задачи.1.В интерпретации гравитационных и магнитных данныхисключительную роль, как и во всех геофизических методах, играетпрямая задача. Это связано с тем, что, только на основе решения прямойзадачи, возможно:- осуществитьморфологическийанализполей,т.е.изучитьзакономерности связи полей и их источников;- осуществить аналитическое исследование полей и их связь систочниками, создающими эти поля (вопросы единственности иэквивалентности решений, особых точек поля и т.д.);- создание вычислительных алгоритмов и программ для учета влиянияизвестных геологических тел (геологическое редуцирование) ипроверки геологических гипотез;- создание алгоритмов и программ по решению интерпретационных задачна основе формального и неформального моделирования.2.Обычно под прямой задачей гравиразведки и магниторазведкипонимают определение параметров гравитационного и магнитного полейпо заданному распределению плотности или намагниченности.

К числутаких параметров относятся те поля, которые непосредственнонаблюдаются: аномальное поле силы тяжести (первая вертикальнаяпроизводная гравитационного потенциала), вторые горизонтальные ивертикальные производные потенциала силы притяжения, вертикальная игоризонтальные компоненты магнитного поля, его склонение, наклонение,модуль.3.Однако такое понимание прямой задачи не отражает всегомногообразия этого вопроса. Дело в том, что под решением прямой задачиможно также понимать нахождение различных трансформант поля ифункционаловпозаданномузаконураспределениямассинамагниченности, определение среднего значения аномального поля, егодисперсии, спектральных, авто- и взаимокорреляционных функций и т.д.Кроме того, понятие прямой задачи должно включать в себя понятиемножества, на котором определяются элементы аномальных полей илифункционалов.

В частности, это может быть область пространствавнешняя по отношению к источникам (внешняя прямая задача) илиобласть, расположенная внутри источников поля (внутренняя прямаязадача). Это множество может представлять собой горизонтальнуюплоскость или дискретный набор точек пространства, а можетпредставлять собой частотную область в случае определения спектральныххарактеристик полей.Помимо этого в понятие прямой задачи должен входить методрешения: численно или аналитически определяются искомые элементы.При этом под понятием аналитического решения обычно понимают вывод4формулы, описывающей конкретный элемент поля от заданногораспределения источников.

Численное решение – нахождение конкретногозначения поля или его элемента в заданной области. Это решение можетбыть основано как на расчете поля по точным аналитическим функциям,описывающим эти поля, так и на численных методах, позволяющих в рядеслучаев упростить решение прямой задачи от заданной модели. Такаяситуация возникает для моделей, аналитическое решение для которых неполучено.Таким образом, понятие прямой задачи должно включать в себяответы на три вопроса: «Что найти?», «Где найти?», «Как найти?».4.Аналитическое решение прямой задачи можно определитьследующим образом:задано распределение масс или намагниченностей (ρ);определяются элементы искомых полей (u);задано множество точек (M) на котором определяются искомыеэлементы полей;задан класс аналитических выражений (Kf) с помощью которыхбудет записано решение прямой задачи.Обычно под классом Kf понимают любые алгебраические иэлементарные тригонометрические функции, но в то же время этот классможет быть и более широким и включать в себя комплексные величины ифункции, ряды, специальные функции.5.Численное решение прямой задачи.

На основе аналитическихвыражений прямую задачу можно решить численно, т.е. получитьконкретное значение искомого элемента поля в заданной точкепространства.Теоретически,полученныйрезультатдолженсоответствовать искомому точному значению. Однако, поскольку любыевычисления происходят с конечным числом значащих цифр, тосуществуют ошибки округления. Поэтому, результат, полученный даже поточной аналитической формуле, будет содержать некоторые ошибки, т.е.будет приближенным. В некоторых случаях ошибки могут достигатьзначительных величин и тем самым приводить к неверным результатам.Для того, чтобы избежать этого необходим анализ ошибок округления ианализ используемой численной схемы.Таким образом, при численном решении прямой задачи всегда будутполучаться приближенные значения.

Такое решение задачи будетопределяться совокупностью следующих условий:задано распределение масс или намагниченностей (ρ);определяются элементы искомых полей (u);задано множество точек (M) на котором определяются искомыеэлементы полей;вычисляется множество значений uε(x) искомого элемента u при всехx, принадлежащих множеству М;5в заданной метрике d происходит сравнение элементов u(x) и uε(x).Метрику d можно, например, определить следующим образом:d ( u, uε ) = max u( x ) − uε ( x ) ;величина uε(x) будет решением прямой задачи, еслиудовлетворяется условие d(u, uε) < ε, где ε − заданная точность вычислениязначений искомых элементов полей.6.Необходимотакжеотметить,чтоподраспределениемнамагниченности или гравитирующих масс ρ понимают пару объектов Nρи δ, где Nρ − области носителей источников полей, т.е. множество точек вкоторых располагаются источники поля, δ − закон распределенияисточников в областях Nρ.7.Обычно при решении прямой задачи от сложной геологическойсреды происходит замена истинного распределения источников ρ нанекоторое модельное (аппроксимационное) ρa.

В результате такой заменыпоявляются ошибки, связанные с модельным представлением реальнойгеологической среды. Поскольку всякое решение прямой задачи делается врамках модельных представлений, то чем точнее модель отражаетреальность, тем меньшую роль оказывает в решении ошибка, связанная саппроксимацией среды. В то же время, чрезмерная детализация разрезаможет привести, с одной стороны, к неоправданным вычислительнымзатратам, а с другой – к усилению влияния вычислительных ошибок.Поэтому аппроксимационная модель, отражая физико-геологическуюситуацию, не должна содержать излишних деталей.8.Совокупность всех этих условий определяет вопрос о выборе моделии способе, алгоритме, решения прямой задачи.Таким образом, данный цикл лекций посвящен различным вопросамрешения прямой задачи гравиразвекди и магниторазведки, начиная отвывода аналитических выражений элементов полей элементарныхмоделей, с помощью которых можно представлять реальные геологическиеобъекты, до некоторых вопросов, связанных с организациейвычислительных схем.Основная литература.1.2.Блох Ю.И.

Решение прямых задач гравиразведки и магниторазведки.:Учеб. пособие. – М: МГГА. 1993. 79 с. (www.sigma3d.com)Блох Ю.И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий.:Учеб. пособие. 2009. 232 с. (www.sigma3d.com)63.4.5.6.7.8.Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике.Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990. 498 с.Гравиразведка. Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990. 607 с.Логачев А.Г., Захаров В.П.