Лекция (6) (Лекции)
Описание файла
Файл "Лекция (6)" внутри архива находится в папке "Лекции". PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
11. 27.04.2001 DZ ¢ §¨ª« áá¨ç¥ª¨¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ §ë¢ îâ á奬ã à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à , ä®à¬ «ì® ®á®¢ ®¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ® ¬ «®á⨠¯®áâ®ï®© DZ« ª . §ã¬¥¥âáï ¥«ì§ï ¯®¨¬ âì á«®¢ "¬ «®áâì ¯®áâ®ï®© DZ« ª " ¡ãª¢ «ì®, ¯®áª®«ìªãíâ ¯®áâ®ï ï { ¢¥«¨ç¨ à §¬¥à ï. ¥çì ¯®©¤¥â ® ¢ë¤¥«¥¨¨ â ª®© äãªæ¨¨ à §¬¥à®á⨠¤¥©á⢨ï, çâ® ®â®è¥¨¥S (x)h¬®¦® áç¨â âì ¡®«ì让 ¢¥«¨ç¨®©. ¥ «¨§ã¥âáï íâ ¯à®£à ¬¬ ¯®¨áª®¬ à¥è¥¨ïãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ¢ ä®à¬¥ (à áᬠâਢ ¥âáï á¨á⥬ á ®¤®© á⥯¥ìî ᢮¡®¤ë)(x) = exp i S (hx) :DZ®á«¥ í⮣® ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à h 22m (x) + V (x) (x) = E (x)¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤1 S (x)2ih2m2m S (x) + V (x) = E:DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ S (x) = d h << 1: h(S (x))2dx S (x) ᫨ S { ª« áá¨ç¥áª®¥ ¤¥©á⢨ï, â® ¢¥«¨ç¨ã à §¬¥à®á⨠¤«¨ëh(x) =S (x) §ë¢ îâ ¤¥¡à®©«¥¢áª®© ¤«¨®© ¢®«ë ç áâ¨æë.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ ¯à¨¬¥¨¬®á⨠ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ª ª ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬¥¤«¥® ¬¥ïî饩áï ¤¥¡à®©«¥¢áª®© ¤«¨ë ¢®«ë.0000000000 â®¡ë ¯®áâநâì í䥥ªâ¨¢ãî ¯à®æ¥¤ãà㠯ਡ«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï।¨£¥à ¯à¥¤áâ ¢¨¬ äãªæ¨î S (x) ¢ ä®à¬¥1S (x)= S0(x) + S1(x);£¤¥ ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¬®¦® áç¨â âì ¬ «®© ¯®¯à ¢ª®© ª ¯¥à¢®¬ã. ¢ï§ ¢ íâã ¬ «®áâìá ¯®áâ®ï®© DZ« ª , ¬®¦® ¯®«ãç¨âì íä䥪⨢ãî á奬㠨â¥à 権 ãà ¢¥¨ï ¤«ïäãªæ¨¨ S (x).
«ï í⮣® à §®¡ì¥¬ ãà ¢¥¨¥1 (S0 (x))2 + 1 S0 (x)S1 (x) + 1 (S1 (x))2 ih S0 ih S1 + V (x) = E2mm2m2m2m ¤¢ 1 (S0 (x))2 + V (x) = E2m¨ihih1 (S1 (x))2S0 (x)S1 (x) +S0222 S1 = 0:â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ á¢ï§ë¢ ¥â ¢¥«¨ç¨ë, ª®âàë¥ ¬®¦® áç¨â âì, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ¯®à冷ª ¬¥ì訬¨, 祬 ᮤ¥à¦ 騥áï ¢ ¯¥à¢®¬ ãà ¢¥¨¨. ¤®¡® áç¨â âì, çâ®ã¬®¦¥¨¥ h ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ®¤¨ ª®¢ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¨¦ îâ ¯®à冷ª ¢¥«¨çë. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ «¥¢®© ç á⨠¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï ¬®¦® ¯à¥¡à¥çì ¢â®àë¬á« £ ¥¬ë¬ ¯® áà ¢¥¨î á ¯¥à¢ë¬ ¨ ç¥â¢¥àâë¬ ¯® áà ¢¥¨î á âà¥â쨬. ®¢¥à訢íâ®, ¯®«ã稬ihS0 (x)S1 (x)2 S0 = 0: ᫨ áç¨â ì äãªæ¨î S0 § ¤ ®©, â® äãªæ¨ï S1 á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®© à ¢ 00000000000000000000qS1 (x)= ihln S0 (x):¥à¥¬áï ª ã«¥¢®¬ã ¯à¨¡«¨¦¥¨î.
ãà ¢¥¨¨1 (S0 (x))2 + V (x) = E2m¥áâ¥á⢥® ¢ë¤¥«ïîâáï ¤¢ á«ãç ï:1) í¥à£¨ï E ¡®«ìè¥ ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨ V (x) ¨2) ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë© á«ãç ©, ª®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮ E < V (x). ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢¥¨¥00dS0dx= p(x);ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥p2 (x)S0 (x)= 2m(E= 2Zxp(x)dx:V (x))>0;ãªæ¨ï p(x) ¨¬¥¥â á¬ëá« ª« áá¨ç¥áª®£® ¨¬¯ã«ìá , ¯®í⮬㠮¡« áâ¨, ¢ ª®â®àëå ¢ë¯®«ïîâáï ¥à ¢¥á⢠p2 (x) > 0; §ë¢ îâ ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬ë¬¨. ᫨ ¯®«®¦¨â¥«ì ¢¥«¨ç¨ 2 (x) = 2m(V (x) E );â® äãªæ¨ï S0(x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©S0(x)= Zx(x)dx:¡« á⨠¯®«®¦¨â¥«ì®á⨠§ 票© äãªæ¨¨ 2(x) §ë¢ îâ ª« áá¨ç¥áª¨ ¥¤®á⨦¨¬ë¬¨ ®¡« áâﬨ.
᫨ ¢¥àãâìáï ª äãªæ¨¨ (x), â® ¬®¦® ã⢥ত âì,çâ® ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à ¢ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¨¬¥¥â à¥è¥¨ï ¤¢ãå⨯®¢:(x) =¨«¨ Z xC1Cipexpp(x)dx + p 2 exphp(x)p(x) Z xC11 (x)dx + pC2 exppexph(x)(x)Zi xp(x)dx ;hp2 (x)> 0;Z x1(x)dx ;2 (x) > 0;(x) =h¡« á⨠¯à¨¬¥¨¬®á⨠íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¥à ¢¥á⢠¬¨h d<< 1;dx p(x) ¨«¨h << 1: ddx (x) ¬¥â¨¬, ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¥¯à¨¬¥¨¬® ¢¡«¨§¨ â®ç¥ª ¯®¢®à®â x0 ,¢ ª®â®àëå ¢ë¯®«ïîâáï à ¢¥á⢠p(x0 ) = 0 ¨«¨ (x0 ) = 0. ᫨ ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ¯à¨¬¥¨¬®, â® ¢ëà ¦¥¨¥pZ Z xi p(x) 1 d h i xd 1ipexpp(x)dx =1+expp(x)dxdx p(x)hh2 dx p(x)h¬®¦® § ¬¥¨âì pZi p(x) i xexpp(x)dx :hhâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¨ ®áâ «ìëå ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨å äãªæ¨©. ç¥ £®¢®àï, ¥á«¨ á¯à ¢¥¤«¨¢®ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥, â® ¯à¥¤íªá¯®¥æ¨ «ìë© ¬®¦¨â¥«ì pp1(x) ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®áâ®ïãî ¢¥«¨ç¨ã.3 ᫨ ¡ë ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¢®«®¢ë¥ äãªæ¨¨¬®¦® ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®çª 寮¢®à®â , â® ¢®«®¢ãî äãªæ¨î ®â१ª¥ x1 < x < x2 , ᮤ¥à¦ 饬 â®çªã ¯®¢®à®â x0 , ¬®¦® ¡ë«® ¯®áâநâì ¯® ä®à¬ã«¥1 (x); x < x0(x) =2 (x); x0 < x¨¥©ãî § ¢¨á¨¬®áâì äãªæ¨© 1 ¨ 2 ®¡¥á¯¥ç¨«® ¡ë ãá«®¢¨¥W ( 1 ; 2 ) = 0:DZ®áª®«ìªã í⮣® ᤥ« âì ¥«ì§ï, â® à¥è¥¨ï 1 ¨ 1 ¯à¨å®¤¨âáï ᮯ®áâ ¢«ïâì ¡®«¥¥¨§®éà¥ë¬¨ ᯮᮡ ¬¨.
â«®¦¨¢ ¯®ª ®¯¨á ¨¥ íâ¨å ᯮᮡ®¢, ¯à¨¢¥¤¥¬ ®ª®ç ⥫ìë¥ ä®à¬ã«ë, ¯®§¢®«ïî騥 íä䥪⨢® ¯à¨¬¥ïâì ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥. ᫨ ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬ ï ®¡« áâì «¥¦¨â á¯à ¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â :E < V (x); x < a;E > V (x); x > a;â® ¬¥¦¤ã ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨¬¨ à¥è¥¨ï¬¨ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ᮮ⢥âá⢨¥:Z a Z x1121(x)dx ; , pp(x)dxx < a; pexpcosh xh a4 ; a < x:(x)p(x) ᫨ ¦¥ ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬ ï ®¡« áâì «¥¦¨â á«¥¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â :E > V (x); x < b;E < V (x); x > b;â® ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â á¢ï§ ë á®®â®è¥¨¥¬:Z x Z b2111x < b; pcosp(x)dxh x4 , (x) exp h b (x)dx ; b < x;p(x) DZ DZਢ¥¤¥ë¥ ä®à¬ã«ë ¯®§¢®«ïî⠩⨠ã஢¨ í¥à£¨¨ ç áâ¨æë, ¤¢¨£ î饩áï¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯®â¥æ¨ «ì®¬ ¯®«¥ á ®¤¨¬ ¬¨¨¬ã¬®¬.
DZãáâì «¨¨ï ¯®áâ®ï®©í¥à£¨¨ E (x) = const ¯¥à¥á¥ª ¥â £à 䨪 äãªæ¨¨ V (x) ¢ ¤¢ãå â®çª å a < b, â.¥.¢ íâ¨å â®çª å á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥á⢠V (a) = V (b) = E . â® { â®çª¨ ¯®¢®à®â ¢ 襩 § ¤ ç¥. ¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ¤®«¦®ã¤®¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬lim (x) = 0; xlimx! 1!1 (x) = 04DZ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢®«®¢ãî äãªæ¨î ¢ ¯à®¬¥¦ã⪥ a < x < b ª ª Z xC11pp(x)dx(x)=cos1h a4 ;p(x) ¢â®à®¥ âॡã¥â çâ®¡ë ® ¯à¥¤áâ ¢«ï« áì ¢ ä®à¬¥ Z bC21cosp(x)dx2 (x) = ph x4 :p(x)DZ®áª®«ìªã ¢á¥ ã஢¨ í¥à£¨¨ ¢ á¨á⥬ å á ®¤®© á⥯¥ìî ᢮¡®¤ë { ¯à®áâë¥, ⮤®«¦® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥W ( 1 ; 2 ) = 0:ëç¨á«ïï ¢à®áª¨¨ , ¯®«ã稬 ãá«®¢¨¥ZC1 C2 1 bW =sinp(x)dxhh a2 = 0:â® ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î ¤«ï ã஢¥© í¥à£¨¨1 Z bp2m(E V (x))dx = n + 1 ; n = 0; 1; 2; :::h a2 DZ DZ DZâ®¡ë ¯à¨¬¥ïâì ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ª § ¤ ç ¬ á ¥¯à¥àë¢ë¬á¯¥ªâ஬ í¥à£¨¨, ¥®¡å®¤¨¬® ¯®áâநâì à¥è¥¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯à¥¤¥«¥®©¯«®â®á⨠¯®â®ª .
â® ¬®¦® ®áãé¥á⢨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.DZãáâì ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬ ï ®¡« áâì «¥¦¨â á¯à ¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â a. à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à ¢ ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬®© ®¡« á⨠Z x1iu(x) =expp(x)dx i ; a < xp(x)h a4ᮯ®áâ ¢¨¬ ¢ ª« áá¨ç¥áª¨ ¥¤®á⨦¨¬®© ®¡« á⨠⠪®¥ à¥è¥¨¥:Z a Z a1111u(x) = C1 pexp(x)dx + C2 pexp(x)dx ; x < a:h xh x(x)(x)DZ®áª®«ìªã à¥è¥¨î ¢ ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬®© ®¡« á⨠Z x21 p(x)dx u(x) + u (x) = pcosh a4p(x)5¯à¨ x < a ᮮ⢥áâ¢ã¥â à¥è¥¨¥Z a11= p(x) exp h (x)dx ; x < a;xâ® ¤®«¦ë ¢ë¯®«ïâìáï à ¢¥á⢠C1 + C1 = 0;C2 + C2 = 1:â® ®§ ç ¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥â C1 { ç¨áâ® ¬¨¬ë©:C1 =iK:®íää¨æ¨¥â C2 ¥áâ¥á⢥® ¢ë¡à âì ¤¥©á⢨⥫ìë¬, ¯®áª®«ìªã ¥£® ¬¨¬ ï ç áâì¤ áâ íªá¯®¥æ¨ «ì®¬ «ãî ¤®¡ ¢ªã ª á« £ ¥¬®¬ã á ª®íää¨æ¨¥â®¬ C1. í⮬1á«ãç ¥C2 = 2 . 票¥ K ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì, ¯à¨à ¢ï¢ § ç¥¨ï ¢à®áª¨¨ W (u; u ), ¢ëç¨á«¥ë¥ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â .
१ã«ìâ ⥠¯®«ãç¨âáï§ ç¥¨¥ K = 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥âáï ᮮ⢥á⢨¥:Z a Z a1111ip(x)dx ; + p(x)dx ; x < a;expexph xh x(x)2 (x)(==)Z1 exp i xp(x)dx i ; a < x:p(x)h a4 «®£¨ç® à áᬠâਢ ï á«ãç ©, ª®£¤ ª« áá¨ç¥áª¨ ¤®á⨦¨¬ ï ®¡« áâì «¥¦¨â á«¥¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â . ª®ç â¥«ì® ®¢ë¥ ¯à ¢¨« ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª, çâ®¡ë ®¨ ᮤ¥à¦ «¨ ⮫쪮 ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ¢¥«¨ç¨ë. ᫨ ª« áá¨ç¥áª¨ ¥¤®á⨦¨¬ ï ®¡« áâì «¥¦¨â á«¥¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â ,â® Z a11px < a; E < V (x);(x)dxexph x(x)(==) Z x11 p(x)dx a < x; E > V (x);sinp(x)h a4 ᫨ ª« áá¨ç¥áª¨ ¥¤®á⨦¨¬ ï ®¡« áâì «¥¦¨â á¯à ¢ ®â â®çª¨ ¯®¢®à®â ,â® Z b11px < b; E > V (x);sinp(x)dxh x4p(x)(==) Z x11 (x)dxpexpb < x; E < V (x);h b(x)6u(x) + uDZ DZ áᬮâਬ ¯®â¥æ¨ «, ¬®®â®® ã¡ë¢ î騩 ¤® ã«ï ®â ¥ª®â®à®£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® § ç¥¨ï ¯à¨ x ! 1. DZãáâì í¥à£¨ï ç áâ¨æë E ᮢ¯ ¤ ¥â á® § 票ﬨ¯®â¥æ¨ « ¢ â®çª å a < b, â ª çâ® V (a) = V (b) = E . ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¥ ç áâ¨æ í¥à£¨¨ E , ç ¢ ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ®¡« á⨠᫥¢ ®â ¡ àì¥à ¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï á«¥¢ ®â ¥£®.