Лекция (2) (Лекции), страница 7

Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èñëåíèå êîììóòàòîðà ïðèâîäèòê ñóììåXX[Jα , J~2 ] =([Jα , Jβ ]Jβ + Jβ [Jα , Jβ ]) =iαβγ (Jγ Jβ + Jβ Jγ ),βα,βâ êîòîðîé êàæäîå ñëàãàåìîå ÿâëåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñèìììåòðè÷íîãî è àíòèñèììåòðè÷íîãîïî èíäåêñàì β, γ ñîìíîæèòåëåé. Òàêèì îáðàçîì,∀α[Jα , J~2 ]=0.Èç ÷åòûðåõ íàáëþäàåìûõ J~2 , Jα ìîæíî âûáðàòü äâå êîììóòèðóþùèå äðóã ñ äðóãîì.Îáû÷íî ïðåäïîëàãàþò, âûáèðàþò ïàðó J~2 è J3 . Ýòè îïåðàòîðû ìîãóò èìåòü îáùèå ñîáñòâåííûåâåêòîðû. Åñëè íóìåðîâàòü èõ ïàðîé ÷èñåë ν è µ, òî ïîëó÷àòñÿ ñîîòíîøåíèÿJ~2 |ν, µi=|ν, µif (ν),32fν∗ = fν ,J3 |ν, µi=φ∗( µ) = φ(µ).|µ, νiφ(µ),Ïîñêîëüêó èç òðåõ âåëè÷èí Jα îäíà óæå ÿâíî âûäåëåíà, óäîáíî ââåñòè ñëåäóþùèå êîìáèíàöèèäâóõ äðóãèõ:J+=J1 + iJ2 ,J−J+ + = J − .J1 − iJ2 ,=Íîâûå ïåðåìåííûå óäîâëåòâîðÿþò òàêèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:[J3 , J± ]=±J± ,[J+ , J− ]=2J3 .Ïåðâàÿ ïàðà êîììóòàòîðîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéîïåðàòîðà J3 íåîãðàíè÷åíà.Äåéñòâèòåëüíî, èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî J± |ν, µi ñîáñòâåííûå âåêòîðû J3 :J3 J± |ν, µi(J± J3 ±J± )|ν, µi=J± |ν, µi(φ(µ)±1).= ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó êàæäûé èç îïåðàòîðîâ ïðîåêöèè ìîìåíòà íåîáëàäàåò êàêèìè-ëèáî îñîáûìè ñâîéñòâàìè, êðîìå äåéñòâèòåëüíîñòè.

Ïîëîæåíèå ìåíÿåòñÿ,êîãäà âñïîìèíàþò, ÷òî ýòè îïåðàòîðû äîëæíû áûòü ïðîåêöèÿìè îäíîãî âåêòîðà ôèêñèðîâàííîéäëèíû. Îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåèëèJ~2=J− J++J3 2+J3J~2=J+ J−+J3 2−J3 .Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ν ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿhµν|J~2 |νµi = f (ν)2||J+ |νµi||2 + φ(µ) + φ(µ)==2||J− |νµi||2 + φ(µ) − φ(µ),îçíà÷àþùèå, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì ν çíà÷åíèÿ ôóíêöèè φ äîëæíû áûòü îãðàíè÷åíû.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîëæíû ñóùåñòâîâàòü òàêèå çíà÷åíèÿ µ+ è µ− , äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâûðàâåíñòâàJ+ |νµ+ i = 0,J− |νµ− i = 0.Ïîñêîëüêó âåêòîð |νµ− i ìîæíî ïîëó÷èòü èç âåêòîðà |νµ+ i ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿÿîïåðàöèþ J− , òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâàφ(µ+ )−n,φ(µ+ ) + φ(µ+ )=φ(µ− ) − φ(µ− ),φ(µ− )=n = 0, 1, 2, ....Äîáàâëÿÿ ê íèì ñîîòíîøåíèÿ22ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùóþ çíà÷åíèÿ φ(µ± ):φ(µ+ )=n,2φ(µ− )=n− ,2n = 0, 1, 2, ....Çíà÷åíèÿ f (ν) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîéf (ν)=2φ(µ+ ) + φ(µ+ )=n n( + 1).2 2×èñëà f (ν), φ(µ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íóìåðàöèè âåêòîðîâ áàçèñà.

Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèìïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ è ïîëóöåëûõ ÷èñåëj=130, , 1, , 2, ...2233è m îáëàñòü èçìåíåíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè j : ïðè çàäàííîì j ÷èñëà mïðèíèìàþò 2j + 1 çíà÷åíèå:m=−j, −j + 1, ..., j − 1, j.Ýòè ÷èñëà áóäóò íóìåðîâàòü âåêòîðû áàçèñà:J~2 |j, mi=|j, mij(j + 1),J3 |j, mi=|j, mim.Îïåðàòîðû J± äåéñòâóþò íà âåêòîðû áàçèñà ñëåäóþùèì îáðàçîì:pJ+ |j, mi = |j, m + 1i (j − m)(j + m + 1),pJ− |j, mi = |j, m − 1i (j + m)(j − m + 1)Âîçâðàùàÿñü ðîòàòîðó, çàìåòèì, ÷òî âåêòîðû |j, mi ýòî ñîáñòâåííûå âåêòîðû ãàìèëüòîíèàíàðîòàòîðà:1H|j, mi = |j, mi j(j + 1).2IÇíà÷åíèÿ ýíåðãèè çàâèñÿò òîëüêî îò êâàíòîâîãî ÷èñëà j , à ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííîéýíåðãèåé íóìåðóþòñÿ ïàðîé ÷èñåë.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðîâíè ýíåðãèè âûðîæäåíû, ïðè÷åìêðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ óðîâíÿ ýíåðãèè E(j) ðàâíà 2j + 1.5. Ãðóïïà SU (2) è ãðóïïà âðàùåíèé. ×òîáû ëó÷øå óÿñíèòü, êàêàÿ ñèììåòðèÿ îïðåäåëÿåòâûðîæäåíèå óðîâíåé ðîòàòîðà, âûÿñíèì, êàêèì ïðåîáðàçîâàíèÿì ìîæíî ïîäâåðãàòü ñîñòàâëÿþùèåìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.

Äëÿ ýòîãî óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îñîáîé ïàðàìåòðèçàöèåéñîñòàâëÿþùèõ ìîìåíòà. Ïóñòü îïåðàòîðû bs , s = 1, 2 óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûìñîîòíîøåíèÿì:[bs , bt ] = 0,[bs , b+= δst .t ] ýòîì ñëó÷àå îïåðàòîðûJα1X +b σst bt ,2 st s=(ïîä çíàêîì ñóììû ñîäåðæàòñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèö Ïàóëè) ñàìîñîïðÿæåíû,Jα +=Jα ,à êîììóòàòîðû èõ ðàâíû[Jα , Jβ ]=iαβγ Jγ .Èíà÷å ãîâîðÿ, Jα ýòî ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.Îïåðàòîðû bs , bs + äåéñòâóþò â ïðîñòðàíñòâå ñ áàçèñîì|n1 , n2 i(b1 + )n1 (b2 + )n2 |0i √=Îïðåäåëèì ÷èñëàj=ò.å.1,n1 !n2 !1(n1 + n2 ),2m=n1 = j + m,n2 = j − m.b1 |0i = b2 |0i = 0.1(n1 − n2 ),2Òîãäà âåêòîðû îïðåäåëåííîãî âûøå áàçèñà ìîæíî áóäåò çàíóìåðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:|j, mi=1(b1 + )j+m (b2 + )j−m |0i p(j + m)!(j − m)!.ÏîñêîëüêóJ3=1 +(b1 b1 − b2 + b2 ),2J+34=b1 + b2 ,J−=b2 + b1 ,ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàJ3 |j, mi = |j, mim,ppJ+ |j, mi = |j, m + 1i (j − m)(j + m + 1),J− |j, mi = |j, m − 1i (j + m)(j − m + 1),à ïîñêîëüêóJ~2òî1(J+ J− + J− J+ ) + J3 2 ,2=J~2 |j, miÎïåðàòîðû bs , bsbs0⇒+bs =|j, mij(j + 1).=îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿXbs +Ast bt ,⇒b0+s=XtXbt + A+ ts ,tAsr A+ rt = δst .rÑîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå òàê:⇒Jαãäå ìàòðèöà σ0αJ01X + 0b s σ αst bt ,2 st01 X 0+b s σαst bt2 st=αðàâíà ïðîèçâåäåíèþσ0αA+ σα A.=Äâóõðÿäíàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà ïðîïîðöèîíàëüíà óíèòàðíîé óíèìîäóëÿðíîé ìàòðèöå:A+ = A−1⇒AU + = U −1 ,eiχ U,=detU=1.Ôàçó eiχ ìîæíî âêëþ÷èòü â îïðåäåëåíèå îïåðàòîðîâ b, à ìàòðèöó A, óæå óíèìîäóëÿðíóþ,ïðåäñòàâèòü â ôîðìåA=A(ξ, ~n)ξexp(i ~n~σ ).2==exp(iξ~n~s).0Âû÷èñëåíèå ìàòðèö σ ëåãêî ñâåñòè ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Ïîñêîëüêódσα (ξ)dξdexp(−iξ~n~s)σα exp(iξ~n~s)dξ==exp(−iξ~n~s)[σα , ~n~s]exp(iξ~n~s),à[σα , ~n~s]òîdσα (ξ)dξ==iαβγ nβ σγ ,iαβγ nβ σγ (ξ).Óäîáíî çàïèñàòü ýòî óðàâíåíèå â âåêòîðíîé ôîðìå:d~σ (ξ)dξ=i(~n × ~σ (ξ)).Î÷åâèäíî, ÷òî ñîñòàâëÿþùàÿ ~σ âäîëü âåêòîðà ~n íå èçìåíÿåòñÿ:d~n~σ (ξ)dξ=i~n(~n × ~σ (ξ))=0.Ïðåäñòàâëÿÿ ~σ â ôîðìå~σ=~σ − ~n(~n~σ )+~n(~n~σ )35=~σ⊥+~σk ,ïîëó÷èì óðàâíåíèÿd~σkdξ=0,d2~σ⊥dξ 2==~Ccosξ~σ⊥ .Òàêèì îáðàçîì~σk (ξ)=~n(~n~σ ),~σ⊥+F~ sinξ.Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ íàõîäÿòñÿ ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:~C=F~=~σ⊥ (0)~σ − ~n(~n~σ ),=d~σ⊥(0)dξ(~n × ~σ ).=Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà âûãëÿäèò òàê:~σ (ξ)=~σ cosξ + ~n(~n~σ )(1 − cosξ) + (~n × ~σ )sinξ.7.

Ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûå ñèñòåìû.Íà ïðîøëîé ëåêöèè íàì ïðèøëîñü èìåòü äåëî ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ìàòðèö Ïàóëè0⇒σ̂ασ̂α=S σ̂α S + ,ãäåS=exp(−iξ~n~s).Ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ñïðàâåäëèâîñòè ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé[sα , sβ ]=iαβγ sγ ,[sα , σβ ]=iαβγ σγ .èÏåðâàÿ ñåðèÿ êîììóòàòîðîâ îçíà÷àåò, ÷òî sα ýòî îïåðàòîðû ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.Âåêòîðíóþ ïðèðîäó ìàòðèö Ïàóëè îïðåäåëÿåò âòîðîé íàáîð êîììóòàòîðîâ.

Ýòè íàáëþäåíèÿìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ âåëè÷èí.Åñëè îïåðàòîðû Jα , α = 1, 2, 3. îïåðàòîðû ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû,òî äåéñòâóþùèé â ýòîé ñèñòåìå îïåðàòîð V íàçûâàþò ñêàëÿðîì, åñëè âûïîëíÿþòñÿïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ∀α [Jα , V ] = 0.Íàáîð îïåðàòîðîâ Aα , α = 1, 2, 3 îáðàçóåò âåêòîð åñëè ýòè îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþòïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì[Jα , Aβ ]=iαβγ Aγ .Çàìåòèì, ÷òî ïðèíÿòîå îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ñêàëÿðó ïðèâîäèò ê åñòåñòâåííîìó óòâåðæäåíèþ:ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ýòî ñêàëÿð.X~B~ =~ B]~ = 0.[Jα , Aβ ] = iαβγ Aγ , [Jα , Bβ ] = iαβγ Bγ , AAα Bα⇒[AαÒåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ãàìèëüòîíèàí.

Ãàìèëüòîíèàí H íàçûâàþòñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[Jα , H]=0.Îïåðàòîðû Jα ýòî äåêàðòîâû ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíîà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû.Î÷åâèäíî, ÷òî ãàìèëüòîíèàí âèäàqX1 2H =p~+ V (r), r =xα 2 , −2m36ýòî ñêàëÿð. Ïðè èçó÷åíèè ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûõ ñèñòåì óäîáíî îïðåäåëèòü ñôåðè÷åñêèéáàçèñ.

Åãî îáðàçóþò âåêòîðûr̂=θ̂(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ),(cosθcosφ, cosθsinφ, −sinθ),=φ̂=(−sinφ, cosφ, 0).Îíè ïîïàðíî îðòîãîíàëíû è óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìθ̂ × φ̂ = r̂,r̂ × θ̂ = φ̂,φ̂ × r̂ = θ̂;∂ r̂= θ̂,∂θ∂ θ̂= −r̂,∂θ∂ φ̂= 0;∂θ∂ r̂= φ̂sinθ,∂φ∂ θ̂= φ̂cosθ,∂φ∂ φ̂= −(r̂sinθ + φ̂cosθ).∂φÏîñêîëüêó~r=r̂r,òî îïåðàòîðû èìïóëüñà è ìîìåíòà â èìïóëüñà ñôåðè÷åñêîì áàçèñå ïðèíèìàþò âèäˆ~ = −ih̄(r̂ ∂ + 1 θ̂ ∂ + 1 φ̂ ∂ ).p∂rr ∂θ rsinθ ∂φ∂1∂ˆ~l = −iφ̂+iθ̂∂θsinθ ∂φÍåòðóäíî íàéòè äåêàðòîâû ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà èìïóëüñà:~e3~l=l3 = −i∂.∂φÀíàëîãè÷íî âû÷èñëÿþòñÿ âåëè÷èíûˆl+ = exp(iφ)( ∂ + ictgθ ∂ ),∂θ∂φˆl− = exp(−iφ)(− ∂ + ictgθ ∂ )∂θ∂φè êâàäðàò ìîìåíòà èìïóëüñàˆl2=−1 ∂∂(sinθ )sinθ ∂θ∂θ−1 ∂2.sin2 θ ∂φ2Ïîñêîëüêó îïåðàòîð Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä∇2=1 ∂ 2 ∂ rr2 ∂r∂r+1 1 ∂∂(sinθ )r2 sinθ ∂θ∂θ+1 ∂2 ,sin2 θ ∂φ2òî ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ãàìèëüòîíèàí ñâåäåòñÿ â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå ê îïåðàòîðóH=−h̄2 1 d 2 d r2m r2 drdr+h̄2 ~2l2mr2Îáîçíà÷àÿ ñèìâîëîì Ylm (r̂) îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèél3 Ylm (r̂)~l2 Ylm (r̂)==mYlm (r̂),l(l + 1)Ylm (r̂),37+V (r).çàìåòèì, ÷òî â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿHΨ(~r)=EΨ(~r)ìîæíî âçÿòü ïðîèçâåäåíèåΨ(~r)=R(r)Ylm (r̂),åñëè ôóíêöèÿ R(r) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ−h̄2 1 d 2 drR(r)2m r2 drdr h̄2 1l(l + 1)2m r2++V (r) R(r)=ER(r).Ñðåäè èíäåêñîâ, âûäåëÿþùèõ ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ñîäåðæàòñÿ âåëè÷èíûl è m.