Лекция (2) (Лекции), страница 4

×òîáû ïîÿñíèòü ýòîóòâåðæäåíèå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòà ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ ñïèíîâûìè ïåðåìåííûìè. ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíàQ(~n)~n~ŝ,=~n2=1,èìååò ñìûñë ïðîåêöèè ñïèíà íà îñü ~n.Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ ñ íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè ρ, òî òî ñðåäíåå çíà÷åíèå Q(~n) ðàâíîhQ(~n)i = T r(Q̂ρ̂) =1ˆ (Ê + rmˆ )) = r nα mβ T r(σ̂α σ̂β ) = r (~nm).T r(~n~σ~ ~σ~442ÏîñêîëüêóQ̂21Ê,4=òî äèñïåðñèÿ Q̂ â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíàDρ (Q)=hQ̂2 −r2(m~~ n)2 Êi41(1 − r2 (m~~ n)2 ).4=Òàêèì îáðàçîìåñëè r < 1, òî äèñïåðñèÿ Q âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ò.å. ïðîåêöèÿ ñïèíà âýòîì ñëó÷àå íà ìîæåò èìåòü òî÷íîãî çíà÷åíèÿ.Åñëè r = 1, òî äèñïåðñèÿ Q ìîæåò áûòü ðàâíà íóëþ â òîì ñëó÷àå, åñëè m~ = ±~n.Ïðîåêöèÿ ñïèíà íà îñü ~n èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå 211ˆ ).â ñîñòîÿíèè ρ̂=n~σ2 (Ê + ~Ïðîåêöèÿ ñïèíà íà îñü ~n èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå − 121ˆ ).â ñîñòîÿíèè ρ̂=n~σ2 (Ê − ~Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Ïðîåêöèÿ ñïèíà íà ïðîèçâîëüíóþ îñü ìîæåò èìåòü òî÷íîå çíà÷åíèå òîëüêî âîäíîì èç äâóõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ïðè÷åì ýòè ñîñòîÿíèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿâûáðàííîé îñüþ.Ýòè ôàêòû ìîæíî áûëî ïðåäñêàçàòü äî ÿâíîãî âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé, àíàëèçèðóÿñòðóêòóðó ìàòðèöû Q̂(~n).

Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåQ̂(~n)1 ˆ1P+ (~n) + (− )Pˆ− (~n),22=ãäåP̂± (~n)1ˆ ).(Ê ± ~n~σ2=Ìàòðèöû Pˆ± (~n) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìP̂±+=P̂± ,P̂±2=P̂+P̂± ,+P̂−P̂+ P̂−==P̂− P̂+=0,Ê.Ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèöû Q̂ â âèäå ñóììû ïðîåêöèîííûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîìîáùåé ôîðìóëû ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ýðìèòîâîé ìàòðèöû.Äâóõðÿäíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó1(bÊ2âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììóF̂=F̂=+f+ Fˆ+16ˆ ),a~a~σ+~a2 = 1f− Fˆ− ,Fˆ±1ˆ ),(Ê ± ~a~σ2=f± =1(b ± a),2â êîòîðîé ìàòðèöû F̂± óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî è ìàòðèöû P̂± .Ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî â òåðìèíàõ ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ëåãêî ïðåäñòàâèòüëþáóþ åå ôóíêöèþ:g(F̂ ) = g(f− )F̂+ + g(f− )F̂− .Ñðåäíåå çíà÷åíèå hF i â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíîhF i=f+ p++f− p− ,ãäå ÷èñëà p± ðàâíû ñðåäíèì çíà÷åíèÿì âåëè÷èí Fˆ± :p±hF̂± i.=Îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿìp± ≥ 0,p+ + p− = 1,ïîýòîìó ñ íèìè ìîæíî ñâÿçàòü íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, èìåííî:p± = hF̂± i âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çíà÷åíèå âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíîf± .Äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè ρ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõâåëè÷èíDρ (F ) = f+ 2 p+ + f− 2 p− − (f+ p+ + f− p− )2 =(f+ − hF i)2 p++(f− − hF i)2 p− .Òàêèì îáðàçîì F ìîæåò ïðèíèìàòü òî÷íîå çíà÷åíèå òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè(f+ − hF i)2 p+ = 0(f− − hF i)2 p− = 0.Ýòî âîçìîæíî ëèøü â òàêèõ ñëó÷àÿõ(f+ = hF i(f− = hF ip+ = 0)p− = 0).Åñëè ÷èñëà f+ è f− ðàçëè÷íû, òî èç äâóõ ðàâåíñòâ f+ = hF i è f+ = hF i ñïðàâåäëèâûììîæåò áûòü òîëüêî îäíî.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ íàáëþäàåìîé ñíåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì âûÿñíèëîñü, ÷òî îíà ïðèíèìàåò òî÷íîå çíà÷åíèå, òî âîçìîæíûäâà ñëó÷àÿhF i = f+ , p− = 0hF i = f− , p+ = 0.Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîìDρ (F )⇒ hF i = f+ ,ρ=èëè1ˆ ),(Ê + ~a~σ2ρ̂2 = ρ̂,1ˆ ), ρ̂2 = ρ̂.(Ê − ~a~σ2Òàêèì îáðàçîì, èçìåðÿÿ íàáëþäàåìóþ ñ íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì, ìîæíî âûÿñíèòü, âêàêîì ñîñòîÿíèè íàõîäèòñÿ ñèñòåìà.Åñëè íàáëþäàåìàÿ F̂ ñ íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì ïðèíèìàåò òî÷íîå çíà÷åíèå, òîîíî ðàâíî f± îäíîìó èç çíà÷åíèé ñïåêòðà ýòîé âåëè÷èíû. Ìàòðèöà ïëîòíîñòèñèñòåìû ñîâïàäàåò â ýòîì ñëó÷àå ñ ìàòðèöåé F̂± , âõîäÿùåé â ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèåF̂ .Ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì íåêîòîðàÿ íàáëþäàåìàÿ ñ íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì ïðèíèìàåòòî÷íîå çíà÷åíèå, íàçûâàþò ÷èñòûì.Dρ (F )⇒ hF i = f− ,ρ=17Ìàòðèöû ïëîòíîñòè ÷èñòûõ ñîñòîÿíèéF̂± îáëàäàþò îñîáîé ñòðóêòóðîé, âûäåëÿþùåéèõ ñðåäè ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö ïëîòíîñòè.

Åñëè ïðåäñòàâèòü âåêòîð ~a â ôîðìå~a=(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ),òî ÿâíîå âû÷èñëåíèå ìàòðèöû F̂+ ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþcos2 ( θ2 )cos( θ2 )sin( θ2 )e−iφF̂+ =.sin2 ( θ2 )cos( θ2 )sin( θ2 )eiφÅñëè îïðåäåëèòü ÷èñëàa1φθcos e−i 2 ,2=a2=θ φsin ei 2 ,2|a1 |2 + |a2 |2 = 1,òî F̂+ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåF̂+=a1 a1 ∗a2 a1 ∗a1 a∗ 2a1 a∗ 2.Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö  è B̂ íàçûâàþò ìàòðèöó Â⊗B̂ , ýëåìåíòû êîòîðîéïîëó÷àþòñÿ ïîïàðíûì ïåðåìíîæåíèåì ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö:a11 B̂ ...

a1n B̂ ⊗ B̂ =  ...........  .am1 B̂ ... amn B̂Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöû  è B̂ íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòíûå, è ðàçìåðíîñòè ýòèõ ìàòðèöíå îáÿçàíû ñîâïàäàòü.Ïóñòü  ýòî ñòîëáåö a1 =,a2à B̂ ìàòðèöà, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿ Â, ò.å. ñòðîêàÂ+( a1 ∗=a2 ∗ ) . ýòîì ñëó÷àåa1 a1 ∗a2 a1 ∗a1 a2 ∗a2 a2 ∗Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü è ìàòðèöó F̂− :b1 B̂ +b1 b1 ∗F̂− = B̂ ⊗ B̂ + ==+b2 B̂b2 b1 ∗b1 b2 ∗b2 b2 ∗F̂+=+ ⊗ Â=a1 Â+a2 Â+ãäå B̂ ýòî ñòîëáåöB̂==b1b2.,,à ÷èñëà bt ðàâíûφθb1 = −sin( )e−i 2 ,2φθb21 = cos( )e−i 2 ,2|b1 |2+|b2 |2 = 1.×èñòîå ñîñòîÿíèå (ò.å. ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà ïëîòíîñòè) îïðåäåëÿåòñÿ ñòîëáöîìêîìïëåêñíûõ ÷èñåë.18ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÍà ïðîøëîé ëåêöèè ìû âûÿñíèëè íà ïðîñòîì ïðèìåðå, ÷òî âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿêâàíòîâîé ñèñòåìû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà ÷èñòûå è ñìåøàííûå.

×èñòûåñîñòîÿíèÿ ýòî ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíà âïîëíå îïðåäåëåííîãîòèïà íàáëþäàåìàÿ ñ ÷èñòî äèñêðåòíûì íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì. Âñå îñòàëüíûåñîñòîÿíèÿ ñìåøàííûå.Ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ÷èñòûå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñîñòîÿíèÿ, ìàòðèöàïëîòíîñòè êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþρ̂2=ρ̂.Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû òàêèõ ìàòðèö èìåþò âèäXρ̂st = φs φt ∗ ,|φs |2=1.sÑðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû F â ÷èñòîì ñîñòîÿíèè ðàâíîXX0hF i = T r(F̂ ρ̂) =Fst ρts =φs ∗ φ s ,stãäå0φssX=Fst φt .tÒàêèì îáðàçîì ïðè ðàáîòå ñ ÷èñòûìè ñîñòîÿíèÿìè åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòèφ = {φs } è ÷èñëîâûå ôóíêöèè òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéXhφ|φi =φs ∗ ψs .sÂîçíèêàåò ñîáëàçí ïðèíÿòü òàêîãî ðîäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê îñíîâó ìàòåìàòè÷åñêîãîàïïàðàòà êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Ïðåæäå âñåãî íóæíî îïðåäåëèòü êëàññ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñ êîòîðûìè ìû ñîáèðàåìñÿðàáîòàòü.

Îíè äîëæíû áûòü òàêèìè, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îïðåäåëÿþùèå ÷èñëàhφ|ψi âñåãäà áûëè êîíå÷íûìè.  ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-ÁóíÿêîâñêîãîX X|hφ|ψi|2 ≤|φs |2|ψs |2 .ssÏîýòîìó â êà÷åñòâå äîïóñòèìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâîXl2 = {ψ :|φs |2 < ∞}.s ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ìíîæåñòâî l2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîðíîåïðîñòðàíñòâî.

Ýòî îçíà÷åò ñëåäóþùåå: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ψ1 è ψ2 ïðèíàäëåæàòl2 , òî ýòîìó æå ìíîæåñòâó ïðèíàäëåæèò è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ψ1 c1 + ψ2 c2 ñïðîèçâîëüíûìè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè c1 è c2 .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ψ áóäåì íàçûâàòü âåêòîðàìè ïðîñòðàíñòâà l2 , à ÷èñëà hφ|ψi ñêàëÿðíûìïðèçâåäåíèåì âåêòîðîâ φ è ψ .Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò âàæíûìè äëÿ äàëüíåéøåãî ñâîéñòâàìè:1.hψ|ψ1 c1 + ψ2 c2 i=hψ|ψ1 ic1 + hψ|ψ2 ic2 ;hφ|ψi=(hψ|φi)∗ ;2.193.hψ|ψi≥hψ|ψi = 00,⇐⇒φ = 0.Âåêòîðû φ, ψ , ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ðàâíî íóëþ, íàçûâàþò îðòîãîíàëüíûìè.p×èñëî ||ψ|| = + hψ|ψi íàçûâàþò íîðìîé èëè äëèíîé âåêòîðà ψ .

Âåêòîð, íîðìà êîòîðîãîðàâíà 1, íàçûâàþò åäèíè÷íûì. ïðîñòðàíñòâå l2 ñóùåñòâóþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû ìíîæåñòâà âåêòîðîâ {em }ñî ñâîéñòâàìè:1 ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè:hem |en i=δmn .Âåêòîðû áàçèñà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû; äëèíà êàæäîãî èç ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà åäèíèöå.2 ñâîéñòâî ïîëíîòû:X2.∀ψ ∈ l2ψ=en c n −nïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç l2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ âåêòîðîâ áàçèñà. Èíîãäàáûâàþò óäîáíû ôîðìóëû, âûðàæàþùèå óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû â òåðìèíàõñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ áàçèñà.

Ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè:Xems e∗ ns = δmn .sÑâîéñòâî ïîëíîòû:Xens e∗ nt=δst .nÊîýôôèöèåíòû cn â ýòîì ðàçëîæåíèè ðàâíû ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèÿìcnhen |ψi.=Èõ íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè èëè êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå âåêòîðà ψ â áàçèñå {en }.Åñëè òîëêîâàòü ÷èñëà ens êàê ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû (Ŝ)ns = ens , òî ñîîòíîøåíèÿîðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû ïðèìóò âèä óñëîâèé óíèòàðíîñòè ìàòðèöû Ŝ :Ŝ Ŝ +Ŝ + Ŝ==Ê.Ïðîñòðàíñòâî l2 ýòî ïðèìåð îáùåãî ïðîñòðàíñòâà Ãèëüáåðòà.

Íå èìåÿ âîçìîæíîñòèâäàâàòüñÿ â èçëîæåíèå ïîëíîé òåîðèè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ, ïðèâåäåì óäîáíîå äëÿíàñ îïðåäåëåíèå:ãèëüáåðîòîâî ïðîñòðàíñòâî H ýòî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì,â êîòîðîì ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îïðåäåëèòü ëèíåéíûé îïåðàòîð ëèíåéíóþôóíêöèþ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà H .ψ∈H=⇒ψ0=F (ψ)ñî ñâîéñòâîìF (ψ1 c1 + ψ2 c2 )=F (ψ1 )c1 + F (ψ2 )c2 .Îïåðàòîðû F1 è F2 íàçûâàþò ðàâíûìè, åñëè∀ψF1 (ψ)20=F2 (ψ).Ôàêò ðàâåíñòâà îïåðàòîðîâ îòðàæàþò ôîðìóëîéF1=F2 . òåðìèíàõ äâóõ îïåðàòîðîâ F1 , F2 ìîæíî îïðåäåëèòü ñóììó îïåðàòîðîâ îïåðàòîðF=c1 F1 + c2 F2 ,äåéñòâóþùèé ïî ôîðìóëåF (ψ)=F1 (ψ)c1 + F2 (ψ)c2 .Ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðîâ F1 è F2 íàçûâàþò îïåðàòîð F2 F1 :F2 F1 (ψ)=F2 (F1 (ψ)).Íåòðóäíî ïîêàçàòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ëèíåéíûå îïåðàòîðû.Ìîæíî îïðåäåëèòü äåéñòâèå ñ ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè, àíàëîãè÷íîå êîìïëåêñíîìóñîïðÿæåíèþ ÷èñåë.

Ïóñòü F ëèíåéíûé îïåðàòîð, φ ïðîèçâîëüíûé, à ψ íåêîòîðûéôèêñèðîâàííûé âåêòîð èç H . Îáðàçóåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå hφ|F (ψ)i è ïîïðîáóåìïðåäñòàâèòü åãî â ôîðìå0hφ|F (ψ)i = hφ |ψi.0Îòîáðàæåíèå φ =⇒ φ îïðåäåëÿåò îïðåäåëÿåò ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð0φF + (φ).=Èç îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîhφ|F ψihF + φ|ψi.=Ïåðåõîäÿ ê êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèÿì íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèåhφ|F + ψihF φ|ψi.=Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîâòîðíîå ñîïðÿæåíèå ïðèâîäèò ê ïåðâîíà÷àëüíîìó îïåðàòîðó(F + )+=F.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîïðÿæåíèå ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ìåíÿåò ïîðÿäîê ñîìíîæèòåëåé:(F1 F2 )+=F2 + F1 + .Ïàðó ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A è B îñóùåñòâëÿþùèõ îòîáðàæåíèÿA(ψ)=φ,B(φ)=ψ,íàçûâàþò âçàèìíî îáðàòíûìè è îáîçíà÷àþò, íàïðèìåð, ñèìâîëàìè A è A−1 . Óñëîâèåñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî îïåðàòîðà ìîæíî çàïèñàòü êàê äâà óðàâíåíèÿAA−1=A−1 A=E.Óíèòàðíûìè îïåðàòîðàìè íàçûâàþò îïåðàòîðû, ñîõðàíÿþùèå ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ:hS(φ)|S(ψ)i=hφ|ψi∀φ, ψ.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îïåðàòîð S áóäåò óíèòàðíûì, åãî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñîâïàäåòñ îáðàòíûì:S + S = SS + = E.21ÌÀÒÐÈÖÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÍÀß ÐÅÀËÈÇÀÖÈß ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÄåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà óäîáíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.