Лекция (2) (Лекции), страница 3

Описание файла

Файл "Лекция (2)" внутри архива находится в папке "Лекции". PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 3 страницы из PDF

Ïóñòüàòîì, ïåðâîíà÷àëüíî ïåðåìåùàþùèéñÿ âäîëü îñè x, ïîïàäàåò â îáëàñòü, ãäå ñóùåñòâóåòìàãíèòíîå ïîëå, íàïðàâëåííîå âäîëü îñè z , ïðè÷åì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ çàâèñèò îò z :H = H(z). Ýíåðãèÿ àòîìà â ýòîì ñëó÷àå òàêæå çàâèñèò îò z , ïîýòîìó íà àòîì äåéñòâóåòñèëà, îòêëîíÿþùàÿ âäîëü ýòîé îñè.

Ïðèðàùåíèå èìïóëüñà àòîìà çà âðåìÿ ∆t ðàâíî Åñëèêîîðäèíàòû äâóõ òàêèõ àòîìîâ â ìîìåíò âõîæäåíèÿ â∆p=F ∆t=∆E∆t,∆zò.å.∆z∆p=∆E∆t.Ïîñêîëüêó íåâîçìîæíî ñëåäèòü çà òðàåêòîðèåé îòäåëüíîãî àòîìà, â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòåñîçäàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêèé ïó÷îê àòîìîâ ñ äèàìåòðîì öèëèíäðà ðàâíûì, íàïðèìåð, d.10Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∆p, ∆z èìåþò ñìûñë íåîïðåäåëåííîñòåé z -ñîñòàâëÿþùèõ èìïóëüñàèðàäèóñà-âåêòîðà àòîìà, ïîýòîìó èõ ïðîèçâåäåíèå âåëè÷èíà ïîðÿäêà h̄.

Òàêèì îáðàçîìíåîïðåäåëåííîñòü ýíåðãèè ∆E , ñâÿçàíà ñ äëèòåëüíîñòüþ ýêñïåðèìåíòà ∆t ñîîòíîøåíèåì∼∆E∆th̄.ÔÎÐÌÓËÀ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÑÐÅÄÍÈÕ.ÂÎÇÌÎÆÍÛÅ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÑÈÑÒÅÌÛ.ßâíûé âèä ôîðìóëû, ïî êîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ ñðåäíèå, íåìåäëåííî ïîëó÷àåòñÿ ïîñëåñëåäóþùåãî íàáëþäåíèÿ: ÷òî ëþáóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåXF̂ =Fmn P̂mn ,m,nãäå P̂mn ìàòðèöû, ó êîòîðûõ âñå ýëåìåíòû, êðîìå îäíîãî, ðàâíû íóëþ, à åäèíñòâåííûéíåíóëåâîé ýëåìåíò ðàâåí åäèíèöå è ñòîèò íà ïåðåñå÷åíèè m-òîé ñòðîêè è n-òîãî ñòîëáöà.Ïîýòîìó ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû F ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:XhF̂ i =Fmn ρnm ,m,nãäåρnm=hP̂mn i.Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëà ρmn îïðåäåëÿþò ìàòðèöó ρ̂ = (ρmn ), òî ñðåäíåå çíà÷åíèå F ìîæíîïðåäñòàâèòü â ôîðìåhF̂ i = T r(F̂ ρ̂).Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîèçâîëüíîé äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé F îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âåëè÷èíàìè ìàòðèöåé F̂ , êîòîðàÿ ñîïîñòàâëÿåòñÿ ñ èíòåðåñóþùåé íàñ ïåðåìåííîé, è íåêîòîðîé äðóãîéìàòðèöåé, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ èç ñðåäíèõ çíà÷åíèé âïîëíå îïðåäåëåííûõ âåëè÷èí P̂mn ,íå èìåþùèõ îòíîøåíèÿ ê âåëè÷èíå F .

Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýòîé ìàòðèöû ñâÿçàíû ñîñâîéñòâàìè ñèñòåìû, ò.å. ñ åå ñîñòîÿíèåì.Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åí ñïîñîá ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ñèñòåìûñèñòåìû:ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ⇐⇒ ìàòðèöà ρ̂.Ïîñêîëüêó ρ̂ åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, íàçûâàþòìàòðèöåé ïëîòíîñòè.Çàìåòèì, ÷òî ïîêà èç óñëîâèé, îïðåäåëÿþùèõ ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ, áûëîèñïîëüçîâàíî ëèøü óñëîâèå 2).

Îñòàëüíûå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü êàê óñëîâèÿ, êîòîðûìäîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà ïëîòíîñòè.Ïîñêîëüêó ìàòðèöû P̂mn è P̂nm ýðìèòîâî ñîïðÿæåíû:P̂mn=(P̂nm )+ ,òî â ñèëó óñëîâèÿ 3) ÷èñëà ρmn è ρnm äîëæíû áûòü êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû:ρmn=(ρnm )∗ .Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà ρ̂ äîëæíà áûòü ýðìèòîâîé.11Óñëîâèå 1) òðåáóåò, ÷òîáû ñëåä ìàòðèöû ρ̂ áûë ðàâåí åäèíèöå:T rρ̂=1.Îñòàåòñÿ ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäñòâèå óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ñðåäíèõ.Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéâåëè÷èíû. Âûáåðåì åå ñëåäóþùèìPîáðàçîì. Âîçüìåì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë{cn }, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ n |cn |2 = 1, è îïðåäåëèì ìàòðèöó(Q̂)mnÎíà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè=Q̂+ = Q̂,cm c∗ n .Q̂ = Q̂2 .Ïåðâîå èç ýòèõ ðàâåíñòâ îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà Q äåéñòâèòåëüíà, à âòîðîå ÷òî îíà ðàâíàêâàäðàòó äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíû. Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì.Ïîýòîìó äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâîXT r(ρ̂Q̂) =cm ∗ ρmn cn ≥ 0.mnÌàòðèöû, îáëàäàþùèå òàêèìè ñâîéñòâàìè, íàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííûìè.Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â àïïàðàòå êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñâÿçûâàþòñÿñ ìàòðèöàìè ïëîòíîñòè:⇐⇒ρ̂,êîòîðàÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1.

Ìàòðèöà ïëîòîñòè ýðìèòîâà:ρ̂+=ρ̂.2. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà:hc|ρ̂ci≥0, ∀c.3. Ñëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè ðàâåí åäèíèöå:T rρ̂=1.Ñðåäíåå çíà÷åíèå ëþáîé âåëè÷èíû F â ñîñòîÿíèè ρ ðàâíîhF iρ=T r(F̂ ρ̂).Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âû÷èñëåííûå ïî ýòîé ôîðìóëå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûõ âåëè÷èí êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû è ñðåäíèå äåéñòâèòåëüíûõ âåëè÷èí äåéñòâèòåëüíû:XhF ∗ i = T r(F̂ + ρ̂) =F + mn ρnm =m,nX∗Fnmρ∗ mn=T r(F̂ ρ̂)∗=∗hF i .m,nÏÐÈÌÅÐ ÌÀÒÐÈÖÛ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ.Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ôèçè÷åñêóþ ñèñòåìó, ïåðåìåííûì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò äâóõðÿäíûåìàòðèöûf11 f12F ⇒ F̂ =f21 f2212ñ êîìïëåêñíûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè.

Åñëè F̂ ýðìèòîâà ìàòðèöà, ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿF̂ +=f11 ∗ = f11 ,⇒F̂f22 ∗ = f22 ,f12 ∗ = f21 ,îçíà÷àþùèå, ÷òî äâóõðÿäíûå ýðìèòîâû ìàòðèöû îïðåäåëÿþò ÷åòûðå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàìåòðà.×òîáû ÿâíî âûäåëèòü ýòè âåëè÷èíû, ïðåäñòàâèì ïðîèçâîëüíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó â òåðìèíàõåäèíè÷íîé ìàòðèöû è ìàòðèö Ïàóëè0 10 −i1 0σ̂1 =,σ̂2 =,σ̂3 =.1 0i 00 −1Ïåðå÷èñëèì âàæíåéíèå ñâîéñòâà ýòèõ ìàòðèö:σ̂α+ ,=σ̂α ,σ̂α σ̂α=δαβ Ê+iαβγ σ̂γ .Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ïîëåçíàÿ ôîðìóëà(~a~σ̂)(~a~σ̂)(~a~b)=i~σ̂(~a × ~b).+Ïðîèçâîëüíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåF̂ +=⇒F̂F̂1(bÊ + ~a~σ̂),2=ãäå ïàðàìåòð b ðàâåí ñëåäó ìàòðèöû F̂ :b=T rF̂ .Ïîñêîëüêó ñëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè ðàâåí åäèíèöå, òî ee ïðåäñòàâèòü òàê:ρ̂1(Ê + ~a~σ̂).2=Âûÿñíèì, ê ÷åìó ïðèâîäèò óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû ïëîòíîñòè.Çàìåòèì, ÷òî åñëè ~n åäèíè÷íûé âåêòîð: ~n2 = 1, òî ìàòðèöûîáëàäàþò ñâîéñòâàìè:P̂±+P̂±==P̂± ,1(Ê ± ~n~σ̂)2P̂±2=P̂± ,ò.å.

îíè ñîîòâåòñâóþò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì âåëè÷èíàì. Ïîýòîìó äîëæíû âûïîëíÿòüñÿíåðàâåíñòâàhP̂± i = T r(P̂± ρ̂) ≥ 0.Âû÷èñëÿÿ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ÿâíî, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâàhP̂± i=1(1 ± ~a~n)2≥0,îçíà÷àþùèå, ÷òî äëèíà âåêòîðà ~a íå äîëæíà ïðåâîñõîäèòü åäèíèöû. Óäîáíî âûäåëèòüÿâíî äëèíó âåêòîðà è åãî íàïðàâëåíèå.

Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ïîñëå ýòîãî ïðèìåò âèäρ̂=1(Ê + rm~ ~σ̂),20≤r1,m~2=1.Ïîêà íàøè ðàññóæäåíèÿ áûëè ïðèìåíèìû ê ëþáîé ñèñòåìå, ïåðåìåííûå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþòñÿäâóõðÿäíûìè ìàòðèöàìè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ýòè âåëè÷èíû ìîæíî ñâÿçàòü ñî ñïèíîì÷àñòèöû.Ñïèí ÷àñòèöû ýòî åå ñîáñòâåííûé ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ â ñîñòîÿíèè, ïðèêîòîðîì èìïóëüñ ÷àñòèöû ðàâåí íóëþ.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòà âåëè÷èíà òîæäåñòâåííî13ðàâíà íóëþ.

Òàêèì îáðàçîì ñïèí èìååò ÷èñòî êàíòîâóþ ïðèðîäó.  êâàíòîâîé òåîðèè ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùåãî ïîíÿòèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.×òîáû îñîçíàòü ñìûñë ýòèõ âûðàæåíèé, âûÿñíèì êàê ìîæíî îïðåäåëèòü â êâàíòîâîéìåõàíèêå ìîìåíò èìïóëüñà. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû ýòî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ååèìïóëüñà è ðàäèóñ-âåêòîðà:~M= ~r × p~. ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè ýòî ðàâåíñòâî âûãëÿäèò òàê:M1 = x2 p3 − x3 p2 ,M2 = x3 p2 − x2 p3 ,M3 = x1 p2 − x2 p3 ,èëèMα=αβγ xβ pγ .×òîáû ïîëó÷èòü ñîîòâåñòâóþùèå ôîðìóëû êâàíòîâîé òåîðèè, íóæíî îïðåäåëèòü âåëè÷èíûx̂α , p̂α .

Ýòè îïðåäåëåíèÿ äàþòñÿ â òåðìèíàõ êîììóòàòîðîâ.x̂α = x̂+α,p̂α = p̂+α,[x̂α , x̂β ] = 0,[p̂α , p̂β ] = 0,[x̂α , p̂β ] = ih̄Ê.Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû îïðåäåëÿþò ñîñòàâëÿþùèå èìïóëüñà è ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöûêàê äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû. Êðîìå òîãî, âñå òðè ñîñòàâëÿþùèå ðàäèóñ-âåêòîðà (à òàêæåè ñîñòàâëÿþùèå åå èìïóëüñà) ìîæíî îäíîâðåìåííî èçìåðèòü ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ.Äëÿ ñîîòâåñòâóþùèõ äðóã äðóãó ñîñòàâëÿþùèõ èìïóëüñà è ðàäèóñ-âåêòîðà ñïðàâåäëèâûñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãàéçåíáåðãà.Ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà èìïóëüñà îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìèM̂1 = x̂2 p̂3 − x̂3 p̂2 ,M̂2 = x̂3 p̂1 − x̂1 p̂3 ,M̂3 = x̂1 p̂2 − x̂2 p̂1 ,èëèM̂α=αβγ x̂β p̂γ .Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîñòàâëÿþùèå ìîìåíòà èìïóëüñà ýðìèòîâû:M̂α+=M̂α .Åñëè èçìåðÿòü ìîìåíò ìîìåíò èìïóëüñà â åäèíèöàõ h̄:~M̂=~h̄ˆl,òî îñíîâíîé íàøåé âåëè÷èíîé ñòàíåò áåçðàçìåðíûé ìîìåíò èìïóëüñàˆlα=1αβγ x̂β p̂γ .h̄Íàéäåì ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ìîìåíòà èìïóëüñà.Óäîáíî íà÷àòü ñ êîììóòàòîðîâ ìåæäó êîîðäèíàòàìè è ìîìåíòîì:[ˆl1 , x̂1 ]=1[x̂2 p̂3 − x̂3 p̂2 , x̂1 ].h̄Ïîñêîëüêó x̂1 êîììóòèðóåò ñî âñåìè îñòàëüíûìè âåëè÷èíàìè, âõîäÿùèìè â êîììóòàòîð,òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü.

Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ äðóãèì âûðàæåíèåì:[ˆl1 , x̂2 ]=1[x̂2 p̂3 − x̂3 p̂2 , x̂2 ]h̄=1− [x̂3 p̂2 , x̂2 ]h̄Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ êîììóòàòîð[ˆl1 , x̂3 ]=14−ix̂2 .=1− x̂3 [p̂2 , x̂2 ]h̄=ix̂3 .Êîììóòàòîðû ìåæäó îñòàëüíûìè ñîñòàâëÿþùèìè ìîìåíòà è êîîðäèíàòû ïîëó÷àþòñÿ èçïðèâåäåííûõ ïîñëå öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ. Ðåçóëüòàò âñåõ âû÷èñëåíèé ïîäâîäèòôîðìóëà:[ˆlα , x̂β ] = iαβγ x̂γ .Àíàëîãè÷íî âûãëÿäÿò êîììóòàòîðû ìåæäó ñîñòàâëþùèìè èìïóëüñà è ìîìåíòà:[ˆlα , p̂β ]=iαβγ p̂γ .Òåïåðü íåñëîæíî âû÷èñëèòü êîììóòàòîð ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ìîìåíòà èìïóëüñà:[ˆl1 , ˆl1 ]Âû÷èñëåíèå êîììóòàòîðà[ˆl1 , ˆl2 ]=ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïàðûè=01 ˆ[l1 , x̂3 p̂1 − x̂1 p̂3 ]h̄[ˆl1 , x̂3 p̂1 ]=[ˆl1 , x̂3 ]p̂1+x̂3 [ˆl1 , p̂1 ]=−ih̄x̂2 p̂1 ,[ˆl1 , x̂1 p̂3 ]=[ˆl1 , x̂1 ]p̂3+x̂1 [ˆl1 , p̂3 ]=−ih̄x̂1 p̂2 .Ýòî äàåò[ˆl1 , ˆl2 ]=iˆl3 .Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ è êîììóòàòîð[ˆl1 , ˆl3 ]=−iˆl2 .Ïðîäîëæåíèå âû÷èñëåíèé ïðèâîäèò ê ôîðìóëå[ˆlα , ˆlβ ]=iαβγ ˆlγ .Òåïåðü ìîæíî çàáûòü î òîì, êàê áûëè ïîëó÷åíû ýòè êîììóòàòîðû è îïðåäåëèòü ñîñòàâëÿþùèåìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿM̂αJˆα+=Jˆα ,=h̄Jˆα ,[Jˆα , Jˆβ ]=iαβγ Jˆγ .Ïîñòóëèðîâàííûì ñîîòíîøåíèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïîäñòàíîâêàJˆα=ˆlα+F̂α ,ãäå F̂α îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:F̂α+=F̂α ,[F̂α , F̂β ]=iαβγ F̂γ .Åñëè F̂α íå ðàâíû òîæäåñòâåííî íóëþ, òî ýòè ïåðåìåííûå ìîæíî ñâÿçàòü ñ âíóòðåííèììîìåíòîì êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. êà÷åñòâå F̂α ìîæíî âçÿòü ìàòðèöû ŝα , ïðîïîðöèîíàëüíûå ìàòðèöàì Ïàóëè:ŝα=1σα .2Îíè óäîâëåòâîðÿþò òðåáóåìûì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì è, êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿòîæäåñòâîX31 1~ŝ2 = 1σ̂ 2 =Ê =( + 1)Ê.4 α42 215Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñâÿçûâàåòñÿ ñ òåì, ÷òî ìàòðèöû ŝα îïèñûâàþò ÷àñòèöû ñî ñïèíîìôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíû, ðàâíîé 21 .Ñèñòåìó, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ ïåðåìåííûìè, ñâîäÿùèìñÿ ê äâóõðÿäíûì ìàòðèöàì,ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñèñòåìó ñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ñîñòîÿíèÿìè.

Свежие статьи
Популярно сейчас