Лекция (2) (Лекции), страница 2

Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.Ãàìèëüòîíèàí ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ðàâåíĤ,1 2p̂2m=1mω 2 q̂ 2 ,2+ïîýòîìó1dp̂dq̂=p̂,= −mω 2 q̂.dtmdtÝòó ñèñòåìó ìîæíî, êàê îáû÷íî, ñâåñòè ê óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà:d2 q̂dt2+ω 2 q̂=0.Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöàq̂(t)=Ĉ1 cosωt+Ĉ2 sinωt,à p̂(t) ïîëó÷àþòñÿ èç q̂(t) äèôôåðåíöèðîâàíèåì:p̂(t)=mdq̂dt−mω Ĉ1 sinωt=+mω Ĉ2 sinωt. ýòèõ ôîðìóëàõ Ĉ1 , Ĉ2 ïîñòîÿííûå ìàòðèöû, îïðåäåëÿåìûå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:Ĉ1=q̂(0),ω Ĉ2=(dq̂ dt)0=1p̂,m[q̂, p̂]=ih̄Ê.Ýòî ïðèâîäèò ê ôîðìóëàìq̂(t)=q̂cosωtp̂(t)=−mω q̂sinωt1p̂sinωt,mω++p̂cosωt.Êîììóòàòîð ìàòðèö q̂(t), p̂(t) íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè.3.

Óðîâíè ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. 1925 ãîäó Ãàéçåíáåðã èñïîëüçîâàë óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ óðîâíåéýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Íèæå áóäóò, ñ íåêîòîðûìè èçìåíåíèÿìè îáîçíà÷åíèé,âîñïðîèçâåäåíû ñîîòâåñòâóþùèå ôîðìóëû.Óäîáíî ïåðåéòè ê ìàòðèöàì, àíàëîãè÷íûì êëàññè÷åñêèì êîìïëåêñíûì àìïëèòóäàì.Âûáåðåì ïîñòîÿííûå q0 , p0 , ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèÿìèq 0 p0=h̄,è îïðåäåëèì ìàòðèöûâ=1 q̂√ (2 q0Êîììóòàòîð ýòèõ ìàòðèö ðàâåí+ip̂),p0â+[â, â+ ]==1 q̂√ (2 q0−ip̂).p0Ê. ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà â êà÷åñòâå q0 è p0 ìîæíî âçÿòü âåëè÷èíûr√h̄h̄mω.q0 =,p0 =mω5Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëû äëÿ â, â+ çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ìàòðèöû q̂(t), p̂(t), íåòðóäíî ïîëó÷èòüóðàâíåíèÿdâdâ+= −iωâ,= iωâ+ ,dtdtðåøåíèÿ êîòîðûõ èìåþò âèäâ(t)âe−iωt ,=â+ (t)=â+ eiωt .Ñîîòíîøåíèÿqp√0 (â + â+ ),√0 (â − â+ )p̂ =2i 2ïîçâîëÿþò ïðåäñòàâèòü ãàìèëüòîíèàí ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà â ôîðìåq̂=Ĥ1ωh̄(â+ â + Ê).2=Ïîñëå ýòîãî óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà äëÿ ìàòðèö â, â+dâdt=dâ+dti[Ĥ, â],h̄=i[Ĥ, â+ ]h̄ìîæíî ïðåâðàòèòü â ñèñòåìó ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâýòèõ ìàòðèö.Ïðåæäå ÷åì çàíèìàòüñÿ âû÷èñëåíèÿìè, ïðèìåì áîëåå óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ ìàòðèö.Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Â, êîòîðûå îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ êàê Amn òåïåðü áóäóòîáîçíà÷àòüñÿ äðóãèì ñèìâîëîì:Amn ⇒ hm|Â|ni.Ïîñëå ýòîãî âû÷èñëåíèÿ ñ ìàòðèöàìè ïðèîáðåòàþò àâòîìàòèçì, íàïðèìåð, ôîðìóëà ïðîèçâåäåíèÿìàòðèö âûãëÿäèò òàê:Xhm|ÂB̂|ni =hm|Â|lihl|B̂|ni.l íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî−h̄ωâ=[Ĥ, â]=hm|[Ĥ, â]|ni=Em δmn ,â ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè ïðèíèìàåò ôîðìó−ωh̄hm|â|niÅñëè ìàòðèöà Ĥ äèàãîíàëüíà:hm|Ĥ|niòî ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿhm|[Ĥ, â]|ni=(Em − En )hm|â|ni.=(Em − En )hm|â|ni.Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ−ωh̄hm|â|niÏîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû â äâóõ ñëó÷àÿõ:En=hm|â|ni = 0.Em + h̄ωÄîãîâîðèìñÿ íóìåðîâàòü óðîâíè ýíåðãèè òàê, ÷òîáû èõ çíà÷åíèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàëè ñóâåëè÷åíèåì íîìåðà óðîâíÿ.

 ýòîì ñëó÷àå óðîâíè ýíåðãèè îñöèëëÿòîðà ìîæíî ïåðå÷èñëèòüôîðìóëîéEn = E0 + h̄ωn, n = 0, 1, 2, ...,6ãäå E0 ïîêà ïðîèçâîëüíî. Îòëè÷íûå îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû â ðàâíûhn − 1|â|ni=an ,n = 1, 2, 3, ...Àíàëîãè÷íî, îòëè÷íûå îò íóëÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû â+ ðàâíûhn|â+ |n − 1ian ∗ ,=n = 1, 2, 3, ...Çíà÷åíèÿ ÷èñåë an ìîæíî ïîëó÷èòü, ó÷èòûâàÿ ÿâíî ïåðåñòàíîâî÷íîå ñîîòíîøåíèå ìåæäóâ è â+ :hm|Ê|ni = hm|[â, â+ ]|ni = |am+1 |2 δm+1,n+1 − |am |2 δm−1,n−1 = (|am+1 |2 − |am |2 )δmn .Ýòî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ|am+1 |2|am |2 + 1=ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì a0 = 0. Åñëè ñ÷èòàòü ÷èñëà an äåéñòâèòåëüíûìè, òî√an =n, n = 1, 2, 3, ... ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàêàÿ ôîðìóëà äëÿ îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâìàòðèö â, â+ :√√hm|â|ni = δm,n−1 n,hm|â+ |ni = δm,n+1 n + 1.Òåïåðü ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå E0 :∞1 XE0 = h0|Ĥ|0i = h̄ω( +h0|â+ |lihl|â|0i).2lÏîñêîëüêó ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû h0|â+ |li,hl|â|0i, l ≥ 0 ðàâíû íóëþ, òî óðîâíè ýíåðãèèãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ïåðå÷èñëÿþòñÿ ôîðìóëîéEn=1h̄ω(n + ).2ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß.

ÇÀÊÎÍÛ ÑÎÕÐÀÍÅÍÈßÎáà ïðèìåðà ðåøåíèé óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà äåìîíñòðèðóþò íåèçìåííîñòü âî âðåìåíèïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó èìïóëüñîì è êîîðäèíàòîé. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûìñëåäñòâèåì ñòðóêòóðû ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà: åñëè ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû íåçàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, òî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà èìåþò âèä:F̂ (t)=Ŝ(t)F̂ Ŝ −1 ,Ŝ(t)= Ĥt exp i.h̄ãäå−1+Ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöà Ŝ(t) ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé Ŝ(t)+Ŝ(t) Ŝ(t)=+Ŝ(t)Ŝ(t)Ìàòðèöû ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçûâàþò óíèòàðíûìè.7=Ê.:ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÅÉÕîòÿ óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà äëÿ ñèñòåì, äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå êîòîðûõ èìåþòêëàññè÷åñêèé, ïîêà òðóäíî ñóäèòü î ñòåïåíè áëèçîñòè íîâîé òåîðèè è êëàññè÷åñêîé, õîòÿáû ïîòîìó ÷òî ïîêà ìû íå çíàåì êàê ìîæíî ñâÿçàòü ñ êâàíòîâûìè äèíàìè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî áûëî áû ñðàâíèâàòü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè.Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîêà ìû èìååì äåëî ñ òàêîé öåïî÷êîé ñîïîñòàâëåíèé:Âåëè÷èíà F ⇒ ìàòðèöà F̂ ,à äëÿ ïîñòðîåíèÿ çàêîí÷åííîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè åå íóæíî äîïîëíèòü äî öåïî÷êèÂåëè÷èíà F ⇒ ìàòðèöà F̂ ⇒ ÷èñëî f . 1927 ãîäó ôîí-Íåéìàí çàìåòèë, ÷òî äëÿ ñðàâíåíèÿ òåîðèè ñ ýêñïåðèìåíòîì ýòóöåïî÷êó ìîæíî çàìåíèòü, áîëåå îïðåäåëåííîé è ìåíåå îáðåìåíèòåëüíîé:Âåëè÷èíà F ⇒ ìàòðèöà F̂ ⇒ ÷èñëî hF i ñðåäíåå çíà÷åíèå F .×òîáû ðåàëèçîâàòü ýòó ïðîãðàììó, íóæíî îïðåäåëèòü ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðîöåäóðóâû÷èñëåíèÿñðåäíèõ çíà÷åíèé.

Ôîí-Íåéìàí ïîòðåáîâàë, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà ÷åòûðåì óñëîâèÿì.1) Ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû äîëæíî áûòü ðàâíî çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû. ÷àñòíîñòè, ñðåäíåå çíà÷åíèå åäèíèöû äîëæíî áûòü ðàâíî åäèíèöå.Ýòî óñëîâèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:hÊi = 1.2) Ñðåäíåå çíà÷åíèå ñóììû ðàâíî ñóììå ñðåäíèõ:XhF̂i i=iXhF̂i i.i3) Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ âåëè÷èí êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû.Ýòî óñëîâèå ñëåäóåò äîïîëíèòü ñîãëàøåíèåì î òîì, êàê ñâÿçàòü â ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòåêâàíòîâîé ìåõàíèêå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå âåëè÷èíû.

Ñ÷èòàþò, ÷òî åñëè âåëè÷èíå Fñîîòâåòñâóåò ìàòðèöà F̂ , òî âåëè÷èíå F ∗ ñîîòâåòñòâóåò ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöàF̂ + :F ⇒ F̂ ⇔ F ∗ ⇒ F̂ + .Î÷åâèäíî, ÷òî ñ äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé ñîïîñòàâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöà.Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîãëàøåíèÿ óñëîâèå ôîí-Íåéìàíà ìîæíî âûðàçèòü ôîðìóëîé(hF̂ i)∗=hF̂ + i.4) Ñðåäíåå çíà÷åíèå íåîòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíû íåîòðèöàòåëüíî.F ≥0⇒hF̂ i ≥ 0.Ôîí-Íåéìàí ïîêàçàë, ÷òî ïðèâåäåííûå âûøå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ÿâíóþ ôîðìóëóâû÷èñëåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé ëþáîé âåëè÷èíû, ñâÿçàííîé ñ êâàíòîâî ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìîé.Ïîëåçíî, îòëîæèâ ðåàëèçàöèþ ïðîãðàììû ôîí-Íåéìàíà, ðàññìîòðåòü ïðèíöèïèàëüíûåñëåäñòâèÿ ïðåäëîæåííîé èì ïðîöåäóðû.Âñïîìíèì, ÷òî ñòåïåíü ðàçìûòîñòè çíà÷åíèé ïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíû â òåîðèè âåðîÿòíîñòåéõàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì äèñïåðñèåé ýòîé âåëè÷èíû.2D(F̂ ) = hF̂ 2 i −hF̂ i= h(F̂ − hF̂ iÊ)2 i.8Ïîñêîëüêó ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíû äåéñòâèòåëüíû, òî äèñïåðñèÿ äåéñòâèòåëüíîéâåëè÷èíû íåîòðèöàòåëüíà.

Ôîðìóëà äëÿ äèñïåðñèè ïîäñêàçûâàåò ïîëåçíîñòü ïðèâåäåííûõâåëè÷èí âèäà F̂ − hF̂ iÊ , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì,÷òî è ïåðâîíà÷àëüíûå. ñëó÷àå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû óäîáíî îïðåäåëèòü ìàòðèöûQ̂q̂ − hq̂iÊ,=P̂p̂ − hp̂iÊ.=Ýòè ìàòðèöû ýðìèòîâû, à êîììóòàòîð èõ ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîé ìàòðèöå:[Q̂, P̂ ]=ih̄Ê.Åñëè ïðè ïðîèçâîëüíîì äåéñòâèòåëüíîì α (çàìåòèì, ÷òî α ðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà)îïðåäåëèòü ïåðåìåííóþT̂ = αQ̂ + iP̂ ,òî ïðîèçâåäåíèå T̂ + T̂ áóäåò íåîòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, ïîýòîìó äîëæíî âûïîëíÿòüñÿíåðàâåíñòâîG(α) = hT̂ + T̂ i ≥ 0.Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïðîèçâåäåíèè, ïîëó÷èìG(α)=α2 hQ̂2 i + hP̂ 2 i + iαh(Q̂P̂ − P̂ Q̂)iα2 hQ̂2 i + hP̂ 2 i − αh̄hÊi=≥0.Ôóíêöèÿ G(α) äîñòèãàåò ìèíèìóìà â òî÷êåα0h̄=2hQ̂2 i,ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîG(α0 )=h̄2hP̂ 2 i −≥4hQ̂2 i0.Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òîhQ̂2 i=hP̂ 2 iD(q̂),=D(p̂)è çàïèñàòü íàøå íåðàâåíñòâî â ôîðìå≥D(q̂)D(p̂)h̄2.4Óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ âåëè÷èíàìè, êîòîðûå íàçûâàþò íåîïðåäåëåííîñòÿìè èìïóëüñàè êîîðäèíàòû:pp∆q =D(q̂),∆p =D(p̂).Ïîëó÷àþùååñÿ íåðàâåíñòâî,≥∆q∆ph̄,2íàçûâàþò ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ èìïóëüñà è êîîðäèíàòû.

Ýòîñîîòíîøåíèå (íåñêîëüêî èíûì ñïîñîáîì) ïîëó÷èë Ãàéçåíáåðã â 1927 ãîäó.×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé, ïîëåçíî íåïîñðåäñòâåííîîáðàòèòüñÿ ê ðàáîòå Ãàéçåíáåðãà.  íåé, â äóõå ðàáîòû 1925 ãîäà ãîâîðèòñÿ, ÷òî ïåðåõîäÿâ êâàíòîâóþ îáëàñòü, íåîáõîäèìî äàòü òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ îáùåïðèíÿòûõ â êëàññè÷åñêîéôèçèêå òåðìèíîâ êàê "ïîëîæåíèå", "ýíåðãèÿ"..., è ïðåäëàãàåòñÿ òàêîå îïðåäåëåíèå "ïîëîæåíèÿ":...

åñëè ìû õîòèì óÿñíèòü, ÷òî ñëåäóåò ïîíèìàòü ïîä ñëîâîì "ïîëîæåíèåîáúåêòà", íàïðèìåð, ýëåêòðîíà (ïî îòíîøåíèþ ê çàäàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà),9íåîáõîäèìî óêàçàòü îïðåäåëåííûå ýêñïåðèìåíòû, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ íàìåðåâàþòñÿîïðåäåëèòü "ïîëîæåíèå ýëåêòðîíà", â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòî íå èìååò ñìûñëà. êà÷åñòâå ïðèáîðà, êîòîðûé â íåêîòîðîì ìûñëåííîì ýêñïåðèìåíòå, îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèåýëåêòðîíà, áûë ïðåäëîæåí çíàìåíèòûé íûíå ìèêðîñêîï Ãàéçåíáåðãà.Ìû îñâåùàåì ýëåêòðîí è ðàññìàòðèâàåì åãî â ìèêðîñêîï. Ïðè òàêîì ñïîñîáåìàêñèìàëüíî äîñòèæèìàÿ òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ â îñíîâíîì çàäàåòñÿäëèíîé âîëíû èñïîëüçóåìîãî ñâåòà. Íî â ïðèíöèïå ìîæíî ïîñòðîèòü, íàïðèìåð,γ -ëó÷åâîé ìèêðîñêîï è ñ åãî ïîìîùüþ îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ñ æåëàåìîéòî÷íîñòüþ. Îäíàêî â ýòîì èçìåðåíèè ñóùåñòâåííî ïîáî÷íîå îáñòîÿòåëüñòâî ýôôåêò Êîìïòîíà.

 òî ìãíîâåíèå, êîãäà îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèå, èíà÷åãîâîðÿ, â ìãíîâåíèå, êîãäà êâàíò ñâåòà îòêëîíÿåòñÿ ýëåêòðîíîì, ïîñëåäíèéïðåðûâíî èçìåíÿåò ñâîé èìïóëüñ. Ýòî èçìåíåíèå òåì ñèëüíåå, ÷åì ìåíüøåäëèíà âîëíû èññëåäóåìîãî ñâåòà, èíà÷å ãîâîðÿ, ÷åì âûøå òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿïîëîæåíèÿ.

Ïîýòîìó â òî ìãíîâåíèå, êîãäà èçâåñòíî ïîëîæåíèå ýëåêòðîíà,èìïóëüñ ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû, ñîîòâåñòâóþùåéòàêîìó ïðåðûâíîìó èçìåíåíèþ. Èòàê, ÷åì òî÷íåå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèå,òåì ìåíåå òî÷íî èçâåñòåí èìïóëüñ, è íàîáîðîò.Ìèêðîñêîï Ãàéçåíáåðãà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðèìåðíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàñïîëîæèìëèíçó ìèêðîñêîïà òàê, ÷òîáû ýëåêòðîí, ðàñïîëîæåííûé â òî÷êå O, îêàçàëñÿ ïîä öåíòðîìëèíçû. Ïî (âîëíîâîé) òåîðèè Àááå ðàçðåøàþùàÿ ñèëà ìèêðîñêîïà (ò.å. òî÷íîñòü èçìåðåíèÿx-êîîðäèíàòû ýëåêòðîíà) äàåòñÿ âûðàæåíèåì∆xλ,2sin( φ2 )=ãäå λ äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî íà ýëåêòðîí ñâåòà. Íàáëþäàòåëü óâèäèò âñïûøêó, ñâèäåòåëüñòâóþùóþî íàëè÷èè ýëåêòðîíà â òî÷êå O, åñëè êâàíò ñâåòà ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ áóäåò äâèãàòüñÿâíóòðè êîíóñà ñ ðàñòâîðîì óãëà φ.

Åñëè p àáñîëþòíîå çíà÷åíèå èìïóëüñà ôîòîíà ïîñëåðàññåÿíèÿ, òîãäà íåîïðåäåëåííîñòü x-ñîñòàâëÿþùåé èìïóëüñà ôîòîíà, ïîïàâøåãî â ìèêðîñêîï,áóäåò ðàâíàh̄φ∆p = 2 sin( ).λ2Òàêèì îáðàçîì, ìèêðîñêîï Ãàéçåíáåðãà ïîçâîëÿåò îòäåëüíî èçìåðèòü èìïóëüñ è êîîðäèíàòóýëåêòðîíà ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ, íî ïðè îäíîâðåìåííîì èçìåðåíèè ýòèõ âåëè÷èííåòî÷íîñòè ðåçóëüòàòîâ áóäóò ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì∼∆q∆ph̄.Äàëåå Ãàéçåíáåðã óòâåðæäàåò, ÷òîãîâîðèòü îá ýíåðãèè àòîìà â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè òàê æå áåññìûñëåííî,êàê ãîâîðèòü î ÷àñòîòå ñâåòîâîé âîëíû â äàííîå ìãíîâåíèå.Ê òàêîìó âûâîäó ïðèâîäèò, íàïðèìåð, àíàëèç îïûòà ïî îïðåäåëåíèþ ýíåðãèè àòîìà, âêîòîðì ðåãèñòðèðóåòñÿ îòêëîíåíèå àòîìà âî âíåøíåì ïîëå (îïûò Øòåðíà-Ãåðëàõà).