Лекция (2) (Лекции)

ÊÈÍÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÏÎÑÒÓËÀÒ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ1. Ïåðâàÿ ôîðìóëà ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé òåîðèè áûëà îïóáëèêîâàíà â 1895 ãîäó,êîãäà Áàëüìåð ïîêàçàë, ÷òî ÷àñòîòû ëèíèé èçëó÷åíèÿ âîäîðîäà ìîæíî ïåðå÷èñëèòü ïàðîéöåëûõ ÷èñåë11ω = ω(m, n) = R( 2 − 2 ).mnÏðàâäà, ñàì Áàëüìåð ïðîâåðèë ýòó ôîðìóëó ëèøü äëÿ ÷åòûðåõ ëèíèé, ñîîòâåñòâóþùèõçíà÷åíèÿì m = 2 è n = 3, 4, 5, 6, è äàæå ñîìíåâàëñÿ â òîì, ìîæíî ñòîëü æå ïðîñòîîïèñàòü èçëó÷åíèå ñëîæíûõ àòîìîâ. Îäíàêî, óæå â 1908 ãîäó Ðèòö, îáîáùàÿ îãðîìíûéýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë, ñôîðìóëèðîâàë èçâåñòíûé êîìáèíàöèîííûé ïðèíöèï, èçêîòîðîãî, â ÷àñòíîñòè ñëåäîâàëî, ÷òî ÷àñòîòó ëþáîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ ëþáîãî àòîìàìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü çíà÷åíèé íåêîòîðîé ôóíêöèè, âû÷èñëåííîé â öåëî÷èñëåííûõòî÷êàõ:ω(m, n)=F (m) − F (n)Óäîáíåå âñåãî ïðåäñòàâèòü ýòó ôîðìóëó êàê=ωm − ωn .çàêîí êîìïîçèöèè ÷àñòîòω(m, l) + ω(l, n) = ω(m, n),:ω(n, n) = 0.(1)Ñïðàâåäëèâîñòü êîìáèíàöèîííîãî ïðèíöèïà êàê òî÷íîãî çàêîíà ïðèðîäû îçíà÷àåò, ÷òîýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå èçëó÷åíèÿ àòîìîâ ïðåäîñòàâëÿåò â ðàñïîðÿæåíèå ôèçèêîâíàáîð ôóíêöèé Amn eiω(mn)t .

Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü ñ êàæäîé âåëè÷èíîéA, îòíîñÿùåéñÿ ê ýëåêòðîìàãíèòíîìó ïîëþ, ïðåäñòàâëÿþùèé åå íàáîðA ⇐⇒ { = (Amn ),ω(m, n)},(2)â êîòîðîì ÷àñòîòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (1).Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò íàáîð ñîïîñòàâëåí ñ âåëè÷èíîé A â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèt = 0, òî âåëè÷èíå A(t) ñîîòâåñòâóåò íàáîðA(t) ⇐⇒ {Â(t) = (Amn eiω(m,n)t ),ω(m, n)}.(3)Îäíàêî îäíîãî òîëüêî ñîïîñòàâëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñ èõ ïðåäñòàâèòåëÿìè äëÿòåîðèè íåäîñòàòî÷íî. Çàäà÷åé ôèçèêè ÿâëÿåòñÿ âûÿâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ ñâÿçåé ìåæäóíàáëþäàåìûìè âåëè÷èíàìè.

Ïðè ýòîì åñòåñòâåííî âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: ïóñòüâ ìîìåíò t = 0 èçìåðåíû âåëè÷èíû G è F , è îêàçàëîñü, ÷òî G çàâèñèò îò F âïîëíåîïðåäåëåííûì îáðàçîì:G = g(F ).Êàê ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì âåëè÷èíû G(t) è F (t)? Ïîñêîëüêó ýâîëþöèÿ íå äîëæíà èçìåíÿòüâèäà ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåG(t)=g(F (t)).Íà ÿçûêå ïðåäñòàâèòåëåé ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå.

ÅñëèF ⇐⇒ {F̂ = (Fmn ),G ⇐⇒ {Ĝ = (g(F )mn ),ω(m, n)},ω(m, n)},òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿF (t) ⇐⇒ {F̂ (t) = (Fmn eiω(m,n)t ),ω(m, n)},G(t) ⇐⇒ {Ĝ(t) = g(F (t))mn = (g(F )mn eiω(m,n)t ),ω(m, n)}.Ýòè óñëîâèÿ áóäóò âûïîëíåíû, åñëè ïîä ñîâîêóïíîñòüþ âåëè÷èí1Fmn , Fmn (t) è Gmn , Gmn (t) ïîíèìàòü ìàòðèöû, ñâÿçàííûå ðàâåíñòâàìèĜmn = g(F̂ )mn ,Ĝ(t)mn = g(F̂ (t))mn .Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðîñòåéøóþ ôóíêöèþ, êîãäà G = F 2 .  ýòîì ñëó÷àåXGmn =Fml Fln ,làGmn (t)X=Fml (t)Fln (t)=XFml eiω(m,l)t Fln eiω(l,n)t .llÏîñêîëüêóω(m, l) + ω(l, n) = ω(m, n),òîGmn (t)=X(Fml Fln )eiω(m,n)t=Gmn eiω(m,n)t .lÈòàê, ñïðàâåäëèâîñòü êîìáèíàöèîííîãî ïðèíöèïà òðåáóåò ïåðåñìîòðà êèíåìàòè÷åñêèõïîíÿòèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, òî÷íåå ãîâîðÿ, åñëè ñ÷èòàòü êîìáèíàöèîííûé ïðèíöèïòî÷íûì çàêîíîì ïðèðîäû, òî â ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå, îïèñûâàþùåì ýëåêòðîìàãíèòíûåÿâëåíèÿ, ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì äîëæíû ñòàâèòüñÿ â ñîîòâåñòâèå ìàòðèöû, à ôóíêöèÿìýòèõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðè÷íûå ôóíêöèè.2.

×òî èçìåíèòñÿ â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ, åñëè â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó áóäóò âêëþ÷åíû,êðîìå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, è âçàèìîäåéñòâóþùèå ñ íèì ÷àñòèöû?Îäíèì èç ãëàâíûõ äîñòîèíñòâ ýëåêòðîäèíàìèêè Ìàêñâåëëà-Ëîðåíöà áûëî ïîíÿòèå îáóñêîðåííîì äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, êàê ïðè÷èíå ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ.Ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî èññëåäóÿ èçëó÷åíèå ñèñòåìû ôèíèòíî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâìîæíî ñäåëàòü âïîëíå îïðåäåëåííûå âûâîäû î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ ïîðîæäàþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíîåïîëå ÷àñòèö.  1925 ãîäó Ãàéçåíáåðã ñôîðìóëèðîâàë óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî íà àòîìíîìóðîâíå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èñòî÷íèêîì çíàíèé î äâèæåíèè ýëåêòðîíîâ.Ïîýòîìó ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, îïèñûâàþùèé ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ â àòîìàõ, äîëæåíáûòü îñíîâàí íà òåõ æå êèíåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèÿõ, êîòîðûå îïðåäåëåíû ïðè îïèñàíèèýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Èòàê, åñëè ñïðàâåäëèâ çàêîí êîìïîçèöèè ÷àñòîò (1), òî ñ êàæäîéäèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ñëåäóåò ñîïîñòàâèòü íåêîòîðóþ ìàòðèöó,à ôóíêöèè, ñâÿçûâàþùèå ðàçëè÷íûå âåëè÷èíû äîëæíû ïîíèìàòüñÿ êàê ìàòðè÷íûå ôóíêöèèÓÐÀÂÍÅÍÈß ÃÀÉÇÅÍÁÅÐÃÀÄëÿ äàëüíåéøåãî ñóùåñòâåííî, ÷òî ìàòðèöû F̂ (t), îïðåäåëÿþùèå çàâèñèìîñòü ïåðåìåííîéF îò âðåìåíè, ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ðåøåíèå íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.Äëÿ ýòîãî âåðíåìñÿ ê ôîðìóëåFmn (t)=Fmn eiω(m,n)t=eiωm t Fmn e−iωn tè ïðîäèôôåðåíöèðóåì îáå åå ÷àñòè ïî âðåìåíè:dFmn (t)dt=iωm Fmn (t) − iFmn (t)ωn .Åñëè îïðåäåëèòü äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöóHmn=h̄ωm δmn ,2.òî ïðåäûäóùóþ ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìådFmndti X(Hml Fln − Fml Hln ).h̄=lÓäîáíî îïðåäåëèòü êîììóòàòîð ìàòðèö  è B̂ :[Â, B̂]ÂB̂ − B̂ Â.=(4)Òîãäà âûðàæåíèþ äëÿ ïðîèçâîäíîé ìàòðèöû F̂ ìîæíî ïðèäàòü âèä:dF̂dti[Ĥ, F̂ (t)].h̄=(5)Åñëè ìàòðèöà Ĥ çàäàíà, òî âûðàæåíèå (5) ìîæíî ñ÷èòàòü óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ïåðåìåííîéF .

Ïîñêîëüêó (5) óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè, òî åãî ðåøåíèå ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì F̂ (0).Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Ĥ èìåþò ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè, ïîýòîìó â äàëüíåéøåìîíà áóäåò îòîæäåñòâëÿòüñÿ ñ ýíåðãèåé ñèñòåìû è íàçûâàòüñÿ ãàìèëüòîíèàíîì.Ïðàâäà, ïîêà ýòà âåëè÷èíà ìàëî íàïîìèíàåò ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ïîçâîëÿåò íàéòè âàæíåéøóþ õàðàêòåðèñòèêóñèñòåìû ýíåðãèþ ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Çäåñü æå äëÿ çàäàíèÿ ãàìèëüòîíèàíà òðåáóþòñÿçíà÷åíèÿ âîçìîæíûõ ÷àñòîò ñèñòåìû {ωn }, ò.å.

òî, ÷òî ïðåäñòîèò óçíàòü. ×òîáû ïðèáëèçèòüêâàíòîâûé ãàìèëüòîíèàí ê ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, íóæíî, ïðåæäå âñåãî, ñíÿòü óñëîâèåäèàãîíàëüíîñòè ìàòðèöû Ĥ. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì íåîñîáåííóþ ìàòðèöó Ŝ , ò.å. òàêóþ, äëÿêîòîðîé ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà Sˆ−1 :Ŝ Ŝ −1Ŝ −1 Ŝ==Ê.Îïðåäåëèâ âåëè÷èíû0F̂ (t)Ŝ F̂ (t)Ŝ −1 ,=Ĥ0=Ŝ ĤŜ −1 ,íàéäåì, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ, ïîâòîðÿþùåìó óðàâíåíèå (5):dF̂dt0i 0 0[Ĥ , F̂ (t)].h̄=Ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàF̂0Ŝ −1 F̂ Ŝ,=Ĥ=0Ŝ −1 Ĥ Ŝ,òî øòðèõîâàííûå è íåøòðèõîâàííûå ìàòðèöû âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò äðóã äðóãà.Óðàâíåíèÿ äëÿ øòðèõîâàííûõ âåëè÷èí îòëè÷àþòñÿ îò óðàâíåíèé äëÿ íåøòðèõîâàííûõ0ëèøü òåì, ÷òî Ĥ íå îáÿçàòåëüíî äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.Óäîáíî íå îãîâàðèâàòü çàðàíåå, ñ êàêèìè èìåííî âåëè÷èíàìè ìû èìååì äåëî, à ïðîñòîïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ôîðìå (5), çàìåòèâ, ÷òî îíè êîâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèÿ âñåõ ìàòðèöÂ⇒0Â=Ŝ −1 ÂŜ.Ïîñëå ýòîãî â êà÷åñòâå ãàìèëüòîíèàíà ìîæíî âçÿòü íóæíóþ ôóíêöèþ äèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõñèñòåìû Ĥ(Q̂).

Óðàâíåíèÿ (5) áûëè ïîëó÷åíû â 1925 ãîäó Ãàéçåíáåðãîì è íàçûâàþòñÿóðàâíåíèÿìè Ãàéçåíáåðãà.ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÌÀÒÅÐÈÀËÜÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ Ñ ÎÄÍÎÉ ÑÒÅÏÅÍÜÞ ÑÂÎÁÎÄÛ3 êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû îïèñûâàåòñÿ,íàïðèìåð, êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè èìïóëüñîì P è êîîðäèíàòîé Q. Ñîõðàíÿÿ ïîíÿòèåî ñòåïåíÿõ ñâîáîäû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, îïðåäåëèì ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó êàê ñèñòåìó,ñâîéñòâà êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ cîîòâåñòâóþùèìè ìàòðèöàìè q̂ è p̂.

Îäíàêî, ýòè âåëè÷èíûåùå íàäî îïðåäåëèòü. Ýòî ñäåëàë Ãàéçåíáåðã â 1925 ãîäó. Ïðàâäà, â ñâîåé êëàññè÷åñêîéðàáîòå îí äàæå íå óïîìèíàë î ìàòðèöàõ, îäíàêî, ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ñîâðåìåííûõ(íî ïîêà íå ñàìûõ ñîâðåìåííûõ) îáîçíà÷åíèé. Îïðåäåëèì êîîðäèíàòó è èìïóëüñ êàêýðìèòîâû ìàòðèöûq̂ = q̂ + ,p̂ = p̂+ ,(6a)óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì[q̂, p̂]=ih̄Ê.(6b)Èç ñîîòíîøåíèé (6b) íåìåäëåííî âûòåêàþò ôîðìóëû[q̂, p̂n ]=ih̄np̂n−1 ,=ih̄F (p̂),[q̂ n , p̂]ih̄nq̂ n−1=è áîëåå îáùèå ðàâåíñòâà[q̂, F (p̂)]0Âçÿâ ãàìèëüòîíèàí â âèäåĤ=ïîëó÷èì òàêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿdq̂dtdp̂dt==[G(q̂), p̂]1 2p̂2mi[Ĥ, q̂]h̄+i[Ĥ, p̂]h̄0=ih̄G (q̂).V (q̂),1p̂m=0=V (q̂)=∂ Ĥ,∂ p̂=−∂ Ĥ.∂ q̂Ôîðìàëüíî óðàâíåíèÿ Ãàéçåíáåðãà âûãëÿäÿò êàê ìàòðè÷íàÿ âåðñèÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà.1.

Ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà.Ãàìèëüòîíèàí â ýòîì ñëó÷àå ðàâåíĤ1 2p̂ ,2m=ïîýòîìódq̂1=p̂,dtmÐåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà èìåþò âèäp̂=Â,q̂dp̂dt=1Âtm=0.+B̂,ãäå  è B̂ ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. ×òîáû óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, èõñëåäóåò âûáðàòü â ôîðìå = q̂,B̂ = p̂,q̂ +=q̂,p̂+=p̂,[q̂, p̂]=ih̄Ê.Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàéçåíáåðãà ïîâòîðÿþò êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû ñ çàìåíîéêëàññè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû:p̂(t)=p̂,q̂(t)4=1p̂tm+q̂.Ìàòðèöû q̂(t), p̂(t) óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:[q̂(t), p̂(t)]=ih̄Ê.2.