Автореферат (Исследование свойств регулярных экстремалей в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями)

На правах рукописи Горбачева Анна Викторовна ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ РЕГУЛЯРНЫХ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИ'ЧЕНИЯМИ 01,01.02 -- дифференциальные уравнении, дияамические системы и оптимальное управление АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва -- 2016 Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа.

и оптимизации Федс- 1>ального >осударственного автономного ооразовательного у~>рсжде~й~! высшего образования "Российский университет дружбы народов". Карамзин Дмитрий Юрьевич доктор физико-математических наук, ведущий нау. шый сотрудник Федералы>ого исследовательского центра 'Информатика и управление" Российской академии наук. Научный руководитель: Официальные оппоненты: Потапов Михаил Михайлович доктор физико-математических наук, П1>офессор кафедры оптимального у>! равления Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения ьч >сше! о образования "Московский Государственный университет имени М.

В. Ломоносова'. Куренной Алексей Святославович кандидат физико-математических наук, научный сотрудник науч>>о-исс,>>едовательскс>го института математики, физики и информатики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образова>п>я "Тамбовский государствегн>ый университет имени Р.Г. Державина". Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Центральный экономико-математический институт РАН" Автореферат разослан «» 2016 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.203.27, р', доктор физико-математических наук ' '''!.: ~:: ':. Савин Антон Юрьевич Защита диссертации состоится 14 февраля 2017 года в 15 ч.

00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва... ул. Орджоникидзе, д.3, ауд. 495а. С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета, дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул.

Миклухо-Маклая, д. 6 и на сайте "Диссертационные советы РУДН' в сети интернет (1>11р: йввоъе1.>п!1п.>т!). ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Диссертациош1Й)! работа посвящ(.'на !1зучспик) задач Оптимального управ)1сния с различи!э!ми типйь!и Ог>)ани'!Сний, Вклн)чйя фазОВыс Огрйничсни)1 ти- па, равенств и неравенств. Актуальность работы. Актуй!1ьность диссертационной работы прежде всего обус.ловлена тем, что теория задач снггимального управления с фйзовы- ми Ограничениями является соврсъ>енньнм и широко исследуемым разделом математики. Значимым Во~~)ос!О>~! гсори!! зада~1 О>ьтимально!'о управ)!сни)1 с фазовыми ограничениями является исследование экстрсыалсй принципа максимума Понтрягина.

Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями имеют широкий спектр различных инженерных приложений. Данная диссертационная работа посвящена исследованию свойств регулярных экстрсмалсй В задачах с фазовыми Ограни~!Он>пп>п!. Цель диссертационной работы. Основной целью диссертационной ра; боты является исследование нес>бходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с фазовыми огрйпичениями типа равенств и неравенств, свойств функции распределения меры-!1и!О)ките)!)1 Лагранжа и при- ложепий полученных результатов к изучению свойств кратчайшей кривой. Задачи диссертационной работы. ° Исследование достаточных условий непрерывности фупкш>и распределения меры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина дл51 зйдй'1 Оптимально!"О управлс)ния с фазовыми Ог>)аничениями типа, равенств и неравенств.

° Исследование достато шых условий липшицевости функции распределения меры-множителя Лагранжа из принципа 1>!Йксил!ума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств. ° Исследование свойств кратчайшей кривой в области, задаваемой регулярной системой ограничений типа, равенств и неравенств. ° Исследование вариационных систем общего вида. Объект и предмет исследования. Обьектом исследования диссср- тйциОннОЙ $)аботь1 яВляются задачи ОптимальпОГО у1ц)авлсния с фазОВВ!ми ОГР13111ЛЧСПИЯМИ ГИПЙ РЙ1ЛЕНС111 И 1ЛС1Р1ЛВС1НСТ11, КРателай1ПЙУ! КРИВЙЯ, ВЙРИЙЦИ- онпйя система.

Предметом исследования являются необходимые условия оптимальности в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями типа рйВенсГВ и нераВенстВ; сВОЙСГВЙ функции распределения мерь!- множ1п'еля Лагранжа; свойства кратчайшей кривой в сложной области; ва- риационные принципы; свойства вариационных с;истем. Методы исследования. Для решения поставленных задач иснользоВЙЛИСво МетОДЫ фУНКЦИОНаЛЬНОГО алаЛИЗа, ВаРИЙЦИОППОГО аНаЛИЗа, МНОГО- значнОГО анализа, ВыпуклоГО анализа, мйтемйтпчсскОГО а!!ализа, нелинейно" го анализа, теории функций Вещественной переменной, теории экстремума. Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми.

В диссертйцио1лной работе получены новые результаты, касающиеся свойств регулярных экстремалей Понтрягина в задачах с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств, и свойств кратчайших кривых в Об- ласти, задаваемой регулярной системой ограничений !ТН1Й равенств и неравенств. Получены новые результаты, касающиеся исследования вариационпых систем общего вида. Теоретическая и практическая значимость. Диссертациошгйя работа носит в основном теоретический характер. В работе исследуются свойства функции распределения меры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления в видс, равенств и неравенств.

Вопрос о непрерывности или абсолютной непрерывности меры- множителя Лагранжа является Важным для различных приложений, в *ластности для некоторых проолем механики и задач кинематического управления (см , , '). Скорость в таких задачах рассматривается как фйзовая пере- 2 3 мепная. Если модуль скорости ограничен сверху какой-то константой ~чго вполне естествелшо для задач кипсматического управления), то это приводит к фйзов! !м слгрйлли~!ениям и к !~лере-множ1!!Кгупо ЛЙ1 рапжа В необхОдимь1х условиях оптимальности.

Методы, которые обычно испоу!ьзукугся для решения таких задач, как правило, подразумевают абсолютную непрерывность 'А!охапйоч У, Ч., В|г<1ишвЫу М.А. Ои Кшешанс Соп1го1 Ехггсша1в,',' Епгореаи Согиго! Сгигссгопсе (ЕСС), Хине!0 вчг11вег1апг1. 2013. Р. 210 214. ввгувогг Е. Н., 'г'и-СЫ Но. Арр!1ев орпша1 согиго1, 1969, Впв1геив С., Мапгег Н. ВС1Р-ше11юс1в вп во1ч1п8 орнша1 сои!го! ргоЫешв чиГЬ согиго! апг1 в!асс сопв1гашгаи ал11гигй чапаЫев, веггв1г1ч1гу аг1а1ув1в аш1 геа1-1ш1е согпго1,'у дош па! ос Сснплшгаг1оиа1 агп! Арр!!ела! Мае1геша11св. 2000. Ч. 120.

Р. 83 108. или даже гладкость этой меры. Поэтому предлагаемое направление исследования можег предсгав!!~!!!> интерес пс то.,!ько с чисто теоретической ~о~~и зрения, но и оказаться !!о!!ез!!ы~! д.~п! !!нженернь!х пр!!.'!оже!нпй!. Степень достоверности. Достоверность обусловлена строгостью математических дик!!Зате!!ьств и нспользованием апроби1тованных»аучных мето- дон. Апробация работы. Основные резуль|аты диссертации докладывались автором па следу!ощих семинарах и конференциях: ° науч!!ый се!~!и!!ар ' 1ислеч!нь!е мегоды в опт!!~йзац!и! и теории управления" отдела методов нелинейного анализа ФИЦ ИУ РАН под руководством В. А.

Бсрезпева, ° научный семинар "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления ВМК МГУ под руководством профессора Ф. П. Васильева., ° научный семинар "Экстремальные задачи и нелинейный анализ' кафедры нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математп— ческих и естественных наук РУДН под руководством профессора А. В. Арутюнова, ° международная конференция "Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна 2016" (г. Воронеж, 2016), ° международная научная конфереш!ия "Ломоносов -- 2016" (г. Москва, 2016), ° научная конференция "Ломоносовские чтения' (г. Москва, 2016). Публикации.

По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, 5 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 85 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка условных обозначений и списка.

литературы, содержащего 78 наил!с- нований. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приведено краткое и:зложение некоторых этапов развития вариационного исчисления и оптимального управления, обоснована актуаль- ность исследования, описана его методика, отражена научная новизна диссертации, сформулированы основные положения, выносимые иа защиту,. а также щ)иВедеий ииформац1ля Об апробации $)езульгатов. В первой главе исследуется свойства непрерывности и абсолютной непрерывности меры-множителя Лагранжа из принципа максимума для задач оптимального управ)!ения с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств. При определегп)ых предположениях регулярности, наложенных на экстремальную траекторию, доказано, что функция распределения меры- множителя Лагранжа гельдерова.

Если вдобавок к условиям регулярности предполагается выполненным усиленное услов1ле Лежандра, то мера оказывается уже абсолютно непрерывной, а ее функция распределения даже лип1ПИЦЕВОй. таКжс РЙССМЙТР!ЛВЙК)ТСЯ ПРИМЕР!э1 ЗЙД11,'! УЩ)ЙВЛЕННЯ С фйЗОВЫМИ ограничениями, для которых можно гарантировать а рпоп (то есть без вычисления экстремального процесса), что соответствующая мера непрерывна. Результаты этой главы развивают некоторые результаты работы иа более общий случай зада!И оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств.

В главе активно используется ашгарат теории функций действительного переменного и в частности такое понятие, как замыкание измеримой функции по мере. Рассмотрим следу)ощую задачу оптимального управления 1а с!'(1.1, т1, !2, и(')) ° — ЕО(Р) + !РО(Х, и, т)с!с г ПП11, х = !Р(х, и, 1), 1 Е ~11, 12~,. 11 < 12, д1 (х, й) = О, д2(х, ~) < О, г(х.,и, !) < О, е1(Р) = О, е2(Р) < О, Р = (х), х2, 11, 12) . лАпгтуггттов А. Ч., Каташаш 1).

Уи. Оп еоше согттшв!Гу ргорог1!еа ор 11тс шеаевге Л.аегагт5с пш141р!1ет !тош !Ье шах!пшш рг!гтс!р!е 1ог а!а!е согте!тешет! ртомеша О Я1АМ,1. Соптто! Ориш. 2015. Ч. 53, 5! 4. Р. 2514 2540. Будеьл считат)ь что вектор-функции т', е;, дл принимают зпаче)!Ия в евклидовых пространствах размерности а(т), а(е,;), а(д;) соответственно, функции ее, !Р!), ~.'~ ЯВЛЯ1отсЯ скаляРе1!>1ыи, т =,1,, г 1: [71, Кг| ВРемЯ (конЦы ВРеыелли з): 11 Ел 1г пе предполагаются фиксированными), х есть фазовая переменная из и-мерного евклидового пространства ПГ', и и Е К'" — переменная управления.